168162ALHAZEN
60. In ſpeculo ſphærico cauo, imago uidetur aliâs in reflexionis puncto: aliâs in uiſu: aliâs ul-
tra: aliâs citra ſpeculum: aliâs inter uiſum & ſpeculum. 11 p 8.
tra: aliâs citra ſpeculum: aliâs inter uiſum & ſpeculum. 11 p 8.
IN ſpeculis ſphæricis concauis aliquãdo perpendicularis à pũcto uiſo ducta ſecat lineã reflexio-
nis: aliquãdo eſt æquidiſtãs ei. Quãdo ſecat: erit locus formæ aliquãdo in ſpeculo: aliquãdo ul-
tra ſpeculũ: aliquãdo citra. Et cũ fuerit locus formæ citra ſpeculũ: aliquando erit inter uiſum &
ſpeculũ: aliquãdo in cẽtro uiſus: aliquãdo citra cẽtrũ uiſus. Et nos h æc demõſtrabimus. Sit a cẽtrũ
uiſus: d cẽtrũ ſpeculi: & fiat ſuperficies ſuper hæc puncta: quæ ſecabit ſpeculũ ſuք circulũ [per 1 th. 1
ſphær. Theodo. ] ꝗ circulus ſit h b f g: erit qúidẽ ſuքficies hęc, ſuքficies reflexionis: quoniã eſt ortho
gonalis ſuք quãlibet ſuperficiẽ, cõtingentẽ circulũ: [ք 13 n 4] & ducatur linea a d: & à pũcto a duca
tur linea ad circulũ maior ꝗ̃ a d: quę ſit a e: & à pũcto d ducatur ad circulũ æquidiſtãs a e: q̃ ſit d h: &
ꝓducatur a d uſq; in pũcta b, i: [qñ nimirũ uiſus fuerit intra circulũ h b f g: qđ ſi fuerit in peripheria
uel extra: linea a d ab una tãtùm parte in peripheriã cõtinuabitur: eritq́; eadẽ demõſtrãdi ratio: ꝗa
a e ſemք maior eſſe debet a d] & ducatur linea d e. Palã, qđ angulus a e d eſt minor recto: [cõnexis
enim rectis e i, e b: erit angulus i e b rectus ք 31 p 3, ideoq́; a e d acutus] quoniã e d ſemidiameter: &
quęlibet linea in circulo cũ diametro facit angulũ acutũ [ut patet ք 31 p 3. 32 p 1 uel 9 ax. ] Et ſuք pun
ctũ e fiat angulus æqualis angulo a e d [ք 23 p 1] ꝗ ſit d e t. Palã, qđ e t cadet intra circulũ: [ſi. n. cade
ret extra: uel tãgeret peripheriã, efficeretq́; cũ ſemidiametro de angulũ rectũ ք 18 p 3: uel ſecaret, &
efficeret obtuſum: quorũ uterq; cũ acuto a e d maior ſit ք 11 12 d 1: mãdato ſatis factũ nõ eſſet] & ſe-
cabit lineã d h: [ք lẽma Procli ad 29 p 1: ꝗa ſecat a e ipſi parallelã] ſit pũctũ ſectiõis t. Palã etiã, qđ an
gulus a d e maior eſt angulo d e t: [ꝗa cũ a e maior ſit a d, maior erit ք
97[Figure 97]l g e n h m t q u i a s z b k y f p o 18 p 1 angulus a d e angulo a e d, cui ęquatus eſt angulus d e t] & ita et
ſecabit a b: [ꝗa. n. anguli a d e, e d b æquãtur duob. rectis per 13 p 1: &
angulus a d e maior eſt angulo d et: anguli igitur e d b, d e t minores
ſunt duob. rectis: quare e t, d b cõcurrẽt ք 11 ax. ] ſecet in pũcto z. De-
inde à pũcto a ducatur ad arcũ e h linea: q̃ ſit a n: & ducatur linea d n:
& ſuper pũctũ n fiat angulus æqualis angulo d n a, ք lineã m n: q̃ ne-
ceſſariò cadet intra circulũ: [ob cauſſam ꝓximè expoſitã] & ſecabit
d h: [Nã cũ angulus a n d à ſemidiametro d n & recta linea a n cõpre
henſus, ſit acutus, ut patuit: erit angulus d n m ipſi æquatus, acutus:
ſed & n d m eſt acutus, ꝗa pars eſt acuti e d t: anguli igitur d n m, n d
m ſunt minores duob. rectis. Quare n m, d h cõcurrent ք 11 ax. ] ſecet
in pũcto m. Palã etiã, qđ a n cõcurret cũ d h extra circulũ: [per lẽma
Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus in l. Ducatur etiã à pũcto a linea ad arcũ
e i f: q̃ ſit a g: & ducatur d g: & fiat angulus d g q æqualis angulo a g d.
Palã, qđ q g ſecabit d h: [ut patuit] ſit pũctũ ſectionis q. Palã etiã, qđ
a g cõcurret cũ d h ex parte f: [Nã qđ cõcurrat, cõſtatè lẽmate Pro-
cli ad 29 p 1: qđ uerò uerſus f, è paulò antè demõſtratis քſpicuũ eſt]
ſit cõcurſus o. Qđ aũt g q cadat inter d & h, palã: cũ arcus, quẽ ſecat g
o ex circulo, ſit maior arcu g h: ſi. n. ducatur linea g h: angulus h g d
maiorẽ reſpiciet arcũ angulo a g d. [ideoq́; ք 33 p 6 angulus h g d e-
rit maior angulo a g d: at angulo a g d, æquatus eſt angulus q g d: an-
gulus igitur h g d maior eſt angulo q g d: itaq; linea q g ſecans angu-
lũ q g d, ſecabit baſim h d angulo q g d ſubtẽſam. ] Iterũ à pũcto a du
catur ad arcũ fb, linea a k, ſecãs d h in pũcto s: [qđ. n. ſecet, patet è lẽ
mate Procli ad 29 p 1] ut ſit k s maior s d: [ſecta nẽpe d f bifariã ք 10 ք
1, & ab a ducta linea a k ք ſectionis pũctũ, uel ք quodcũq; aliud uer-
ſus d: utroq; . n. modo erit s k maior fs ք 7 p 3: & ob id maior s d] & ducatur k d. Palã, qđ angulus d k
a eſt acutus. [ut in principio huius numeri oſtẽſum eſt] Fiat [ք 23 p 1] ei æqualis: ꝗ ſit d k u. Palã, qđ,
cũ angulus k d s ſit maior angulo d k s: [ք 18 p 1: ꝗ a s k maior eſt s d ք fabricationẽ]k u cõcurret cũ d
h: [Nã cũ anguli h d k, k d s æquẽtur duob rectis ք 13 p 1: & k d s ſit maior d k s è cõcluſione: erit k d s
etiã maior d k u æquali d k s: anguli igitur h d k, d k u ſũt minores duob. rectis. Quare h d, ku cõcur
rẽt ք 11 ax. ] ſit cõcurſus in pũcto u. Palã ſecũdũ ſupra dicta [& 12 n 4] qđ pũctũ t mouetur ad e, & re
flectitur ad a: & քpẽdicularis à pũcto t ducta, eſt t d: q̃ քpẽdicularis eſt ſuք ſuքficiẽ, cõtingẽtẽ ſpecu
lũ: [ք 25 n 4] & eſt æquidiſtãs lineæ reflexiõis, q̃ eſt a e: [ք fabricationẽ] unde nõ cõcurret cũ e a: [ք
35 d 1. Imago igitur pũcti tuidebitur in reflexiõis pũcto e] Pũctũ aũt z mouetur ad e, & reflectitur ad
a: & քpẽdicularis ducta à pũcto z, eſt a z: q̃ cõcurrit cũ a e in pũcto a. Vnde locus formę pũcti z erit a.
[ք 3 n. ] Pũctũ uerò m mouetur ad n, & reflectitur ad a: & քpẽdicularis ducta à pũcto m, quę eſt m d.
cocurrit cũ a n in pũcto l, qđ eſt ultra ſpeculũ: & locus formę pũcti m erit l. Forma uerò pũcti q m o
uetur ad g, & reflectitur ad a: & locus eius erit o: qui eſt ultra uiſum. Et forma puncti u mouetur ad
k, & reflectitur ad a: & perpendicularis ab eo, eſt k d: & locus imaginis s. [inter uiſum & ſpeculũ. ]
Palàm ergo ex prædictis, quòd imaginum quædam inter uiſum & ſpeculum: quædam in ipſo uiſus
quædam citra uiſum: quædam ultra uiſum apparent. Quod eſt propoſitum.
nis: aliquãdo eſt æquidiſtãs ei. Quãdo ſecat: erit locus formæ aliquãdo in ſpeculo: aliquãdo ul-
tra ſpeculũ: aliquãdo citra. Et cũ fuerit locus formæ citra ſpeculũ: aliquando erit inter uiſum &
ſpeculũ: aliquãdo in cẽtro uiſus: aliquãdo citra cẽtrũ uiſus. Et nos h æc demõſtrabimus. Sit a cẽtrũ
uiſus: d cẽtrũ ſpeculi: & fiat ſuperficies ſuper hæc puncta: quæ ſecabit ſpeculũ ſuք circulũ [per 1 th. 1
ſphær. Theodo. ] ꝗ circulus ſit h b f g: erit qúidẽ ſuքficies hęc, ſuքficies reflexionis: quoniã eſt ortho
gonalis ſuք quãlibet ſuperficiẽ, cõtingentẽ circulũ: [ք 13 n 4] & ducatur linea a d: & à pũcto a duca
tur linea ad circulũ maior ꝗ̃ a d: quę ſit a e: & à pũcto d ducatur ad circulũ æquidiſtãs a e: q̃ ſit d h: &
ꝓducatur a d uſq; in pũcta b, i: [qñ nimirũ uiſus fuerit intra circulũ h b f g: qđ ſi fuerit in peripheria
uel extra: linea a d ab una tãtùm parte in peripheriã cõtinuabitur: eritq́; eadẽ demõſtrãdi ratio: ꝗa
a e ſemք maior eſſe debet a d] & ducatur linea d e. Palã, qđ angulus a e d eſt minor recto: [cõnexis
enim rectis e i, e b: erit angulus i e b rectus ք 31 p 3, ideoq́; a e d acutus] quoniã e d ſemidiameter: &
quęlibet linea in circulo cũ diametro facit angulũ acutũ [ut patet ք 31 p 3. 32 p 1 uel 9 ax. ] Et ſuք pun
ctũ e fiat angulus æqualis angulo a e d [ք 23 p 1] ꝗ ſit d e t. Palã, qđ e t cadet intra circulũ: [ſi. n. cade
ret extra: uel tãgeret peripheriã, efficeretq́; cũ ſemidiametro de angulũ rectũ ք 18 p 3: uel ſecaret, &
efficeret obtuſum: quorũ uterq; cũ acuto a e d maior ſit ք 11 12 d 1: mãdato ſatis factũ nõ eſſet] & ſe-
cabit lineã d h: [ք lẽma Procli ad 29 p 1: ꝗa ſecat a e ipſi parallelã] ſit pũctũ ſectiõis t. Palã etiã, qđ an
gulus a d e maior eſt angulo d e t: [ꝗa cũ a e maior ſit a d, maior erit ք
97[Figure 97]l g e n h m t q u i a s z b k y f p o 18 p 1 angulus a d e angulo a e d, cui ęquatus eſt angulus d e t] & ita et
ſecabit a b: [ꝗa. n. anguli a d e, e d b æquãtur duob. rectis per 13 p 1: &
angulus a d e maior eſt angulo d et: anguli igitur e d b, d e t minores
ſunt duob. rectis: quare e t, d b cõcurrẽt ք 11 ax. ] ſecet in pũcto z. De-
inde à pũcto a ducatur ad arcũ e h linea: q̃ ſit a n: & ducatur linea d n:
& ſuper pũctũ n fiat angulus æqualis angulo d n a, ք lineã m n: q̃ ne-
ceſſariò cadet intra circulũ: [ob cauſſam ꝓximè expoſitã] & ſecabit
d h: [Nã cũ angulus a n d à ſemidiametro d n & recta linea a n cõpre
henſus, ſit acutus, ut patuit: erit angulus d n m ipſi æquatus, acutus:
ſed & n d m eſt acutus, ꝗa pars eſt acuti e d t: anguli igitur d n m, n d
m ſunt minores duob. rectis. Quare n m, d h cõcurrent ք 11 ax. ] ſecet
in pũcto m. Palã etiã, qđ a n cõcurret cũ d h extra circulũ: [per lẽma
Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus in l. Ducatur etiã à pũcto a linea ad arcũ
e i f: q̃ ſit a g: & ducatur d g: & fiat angulus d g q æqualis angulo a g d.
Palã, qđ q g ſecabit d h: [ut patuit] ſit pũctũ ſectionis q. Palã etiã, qđ
a g cõcurret cũ d h ex parte f: [Nã qđ cõcurrat, cõſtatè lẽmate Pro-
cli ad 29 p 1: qđ uerò uerſus f, è paulò antè demõſtratis քſpicuũ eſt]
ſit cõcurſus o. Qđ aũt g q cadat inter d & h, palã: cũ arcus, quẽ ſecat g
o ex circulo, ſit maior arcu g h: ſi. n. ducatur linea g h: angulus h g d
maiorẽ reſpiciet arcũ angulo a g d. [ideoq́; ք 33 p 6 angulus h g d e-
rit maior angulo a g d: at angulo a g d, æquatus eſt angulus q g d: an-
gulus igitur h g d maior eſt angulo q g d: itaq; linea q g ſecans angu-
lũ q g d, ſecabit baſim h d angulo q g d ſubtẽſam. ] Iterũ à pũcto a du
catur ad arcũ fb, linea a k, ſecãs d h in pũcto s: [qđ. n. ſecet, patet è lẽ
mate Procli ad 29 p 1] ut ſit k s maior s d: [ſecta nẽpe d f bifariã ք 10 ք
1, & ab a ducta linea a k ք ſectionis pũctũ, uel ք quodcũq; aliud uer-
ſus d: utroq; . n. modo erit s k maior fs ք 7 p 3: & ob id maior s d] & ducatur k d. Palã, qđ angulus d k
a eſt acutus. [ut in principio huius numeri oſtẽſum eſt] Fiat [ք 23 p 1] ei æqualis: ꝗ ſit d k u. Palã, qđ,
cũ angulus k d s ſit maior angulo d k s: [ք 18 p 1: ꝗ a s k maior eſt s d ք fabricationẽ]k u cõcurret cũ d
h: [Nã cũ anguli h d k, k d s æquẽtur duob rectis ք 13 p 1: & k d s ſit maior d k s è cõcluſione: erit k d s
etiã maior d k u æquali d k s: anguli igitur h d k, d k u ſũt minores duob. rectis. Quare h d, ku cõcur
rẽt ք 11 ax. ] ſit cõcurſus in pũcto u. Palã ſecũdũ ſupra dicta [& 12 n 4] qđ pũctũ t mouetur ad e, & re
flectitur ad a: & քpẽdicularis à pũcto t ducta, eſt t d: q̃ քpẽdicularis eſt ſuք ſuքficiẽ, cõtingẽtẽ ſpecu
lũ: [ք 25 n 4] & eſt æquidiſtãs lineæ reflexiõis, q̃ eſt a e: [ք fabricationẽ] unde nõ cõcurret cũ e a: [ք
35 d 1. Imago igitur pũcti tuidebitur in reflexiõis pũcto e] Pũctũ aũt z mouetur ad e, & reflectitur ad
a: & քpẽdicularis ducta à pũcto z, eſt a z: q̃ cõcurrit cũ a e in pũcto a. Vnde locus formę pũcti z erit a.
[ք 3 n. ] Pũctũ uerò m mouetur ad n, & reflectitur ad a: & քpẽdicularis ducta à pũcto m, quę eſt m d.
cocurrit cũ a n in pũcto l, qđ eſt ultra ſpeculũ: & locus formę pũcti m erit l. Forma uerò pũcti q m o
uetur ad g, & reflectitur ad a: & locus eius erit o: qui eſt ultra uiſum. Et forma puncti u mouetur ad
k, & reflectitur ad a: & perpendicularis ab eo, eſt k d: & locus imaginis s. [inter uiſum & ſpeculũ. ]
Palàm ergo ex prædictis, quòd imaginum quædam inter uiſum & ſpeculum: quædam in ipſo uiſus
quædam citra uiſum: quædam ultra uiſum apparent. Quod eſt propoſitum.
61. In ſpeculo ſphærico cauo imago prouario eius ſitu at loco uariè uidetur. 12 p 8.
AMplius:
palàm, quoniã uiſus քfectius acquirit formas ſibi oppoſitas.
[per 21.
38 n 1.
17 n 3.
] Vn
de cũlocus imaginis fuerit ultra ſpeculũ [ut in puncto l] autinter uiſum & ſpeculum: [ut in
de cũlocus imaginis fuerit ultra ſpeculũ [ut in puncto l] autinter uiſum & ſpeculum: [ut in