17 in proportione que eſt medietas duple vt conſtat:
quia illa eſt proportio diuiſionis: et prima pars
proportionalis impar eſt medietas totius aggre
gati ex omnibus imparibus: et prima par que eſt
ſecunda eſt medietas aggregati ex omnibus pa-
ribus: vt patet ex duabus primis partibus corre-
larii: ergo medietas omnium imparium ſe habet
ad medietatem omnium parium in proportione
que eſt medietas duple: quod fuit probandum.
11Quartū quia illa eſt proportio diuiſionis: et prima pars
proportionalis impar eſt medietas totius aggre
gati ex omnibus imparibus: et prima par que eſt
ſecunda eſt medietas aggregati ex omnibus pa-
ribus: vt patet ex duabus primis partibus corre-
larii: ergo medietas omnium imparium ſe habet
ad medietatem omnium parium in proportione
que eſt medietas duple: quod fuit probandum.
correlar̄.
¶ Sequitur quarto / diuiſo corpore per partes
proportionales proportione irrationali que eſt
medietas triple: omnes partes impares talis di-
uiſionis ſe habent in proportione tripla: et etiam
omēs pares: et omnes inter quas mediant tres in
proportione nouocupla: et aggregatum ex omni-
bus imparibus ſe habet ad aggregatum ex omni
bus paribus in proportione que eſt medietas tri-
ple. Hoc correlarium cum precedenti ſimilem de-
monſtrationem admittit.
proportionales proportione irrationali que eſt
medietas triple: omnes partes impares talis di-
uiſionis ſe habent in proportione tripla: et etiam
omēs pares: et omnes inter quas mediant tres in
proportione nouocupla: et aggregatum ex omni-
bus imparibus ſe habet ad aggregatum ex omni
bus paribus in proportione que eſt medietas tri-
ple. Hoc correlarium cum precedenti ſimilem de-
monſtrationem admittit.
Tertia concluſio:
Ad diuidendū cor
pus in partes proportionales infinitis ſpeciebus
proportionis irrationalis maioris dupla: vt pu-
ta proportione que eſt totius diametri ad exceſſū
quo ipſa diameter excedit coſtam et totius diame
tri cum medietate exceſſus quo excedit coſtam vel
ad quarta in vel ad quintã vel ad ſextã vt ſuperiꝰ
dictum eſt: pro prima parte proportionali capi-
endus eſt exceſſus quo quãtitas maior excedit mi
norem in tali proportione: et quãtitas miuor pro
reſiduo vt ſi velis partiri corpꝰ in partes propor
tionales proportione que eſt totius diametri ad
exceſſum quo diameter excedit coſtam: capienda
eſt coſta quadrati cuius illud corpus diuidendum
eſt diameter pro prima parte proportionali: et ſic
pro reſiduis maneat exceſſus que eſt quãtitas mi-
nor talis proportionis: et pro ſecunda capien-
da eſt coſta quadrati cuius totum aggregatum ex
omnibus ſequentibus primam eſt diameter: et ad
dandam tertiam capiatur coſta quadrati cuius
eſt diameter aggregatum ex omnibus ſequenti-
bus primam et ſecundam. Et ad diuidendum ali-
quod corpus proportione que eſt totius diametri
ad medietatē exceſſus quo excedit coſtaꝫ, pro pri-
ma parte ꝓportionali capiendus eſt exceſſus quo
maior quantitas excedit minorem tali proporti-
one. Conſtituendum .n. eſt totum corpus diameter
alicuius quadrati / et tunc pro prima parte propor
tionali capienda eſt tanta pars illius corporis
pro omnibus ſequentibus non maneat niſi medie
tas exceſſus quo tale corpus exiſtens diameter ex
cedit coſtam eiuſdem quadrati: et addandam ſe-
cundam partem proportionalem conſtituatur to
tum / quod ſequitur primã diameter alicuius qua-
drati: et pro ſecūda parte capiatur tantum / pro
ſequentibus non maneat niſi medietas exceſſus
quo talis diameter excedit ſuam coſtam / et ſic con
ſequenter. Patet hec concluſio eo modo quo ſe-
cūda huius capitis. Hic poteris multa correlaria
inferre ſed iam ad ea inferenda ex predictis faci-
lem haberes aditum. Et hec de proportione irra-
tionali: et de diuiſione corporum eadem irratio-
nali proportione: de qua non eſt facile cum rotio-
ne loqui.
pus in partes proportionales infinitis ſpeciebus
proportionis irrationalis maioris dupla: vt pu-
ta proportione que eſt totius diametri ad exceſſū
quo ipſa diameter excedit coſtam et totius diame
tri cum medietate exceſſus quo excedit coſtam vel
ad quarta in vel ad quintã vel ad ſextã vt ſuperiꝰ
dictum eſt: pro prima parte proportionali capi-
endus eſt exceſſus quo quãtitas maior excedit mi
norem in tali proportione: et quãtitas miuor pro
reſiduo vt ſi velis partiri corpꝰ in partes propor
tionales proportione que eſt totius diametri ad
exceſſum quo diameter excedit coſtam: capienda
eſt coſta quadrati cuius illud corpus diuidendum
eſt diameter pro prima parte proportionali: et ſic
pro reſiduis maneat exceſſus que eſt quãtitas mi-
nor talis proportionis: et pro ſecunda capien-
da eſt coſta quadrati cuius totum aggregatum ex
omnibus ſequentibus primam eſt diameter: et ad
dandam tertiam capiatur coſta quadrati cuius
eſt diameter aggregatum ex omnibus ſequenti-
bus primam et ſecundam. Et ad diuidendum ali-
quod corpus proportione que eſt totius diametri
ad medietatē exceſſus quo excedit coſtaꝫ, pro pri-
ma parte ꝓportionali capiendus eſt exceſſus quo
maior quantitas excedit minorem tali proporti-
one. Conſtituendum .n. eſt totum corpus diameter
alicuius quadrati / et tunc pro prima parte propor
tionali capienda eſt tanta pars illius corporis
pro omnibus ſequentibus non maneat niſi medie
tas exceſſus quo tale corpus exiſtens diameter ex
cedit coſtam eiuſdem quadrati: et addandam ſe-
cundam partem proportionalem conſtituatur to
tum / quod ſequitur primã diameter alicuius qua-
drati: et pro ſecūda parte capiatur tantum / pro
ſequentibus non maneat niſi medietas exceſſus
quo talis diameter excedit ſuam coſtam / et ſic con
ſequenter. Patet hec concluſio eo modo quo ſe-
cūda huius capitis. Hic poteris multa correlaria
inferre ſed iam ad ea inferenda ex predictis faci-
lem haberes aditum. Et hec de proportione irra-
tionali: et de diuiſione corporum eadem irratio-
nali proportione: de qua non eſt facile cum rotio-
ne loqui.
Capitulum ſeptimum / in quo agi
tur de proportione ordinum par-
tium proportionalium interſcala-
riter ſe habentium.
tur de proportione ordinum par-
tium proportionalium interſcala-
riter ſe habentium.
OCcurrit nonnūquam in mate-
teria de motu locali quo ad effectū et mo-
tu augmentationis comparatio alicuius
ordinis aliquarum partium proportionalium in
terſcalariter ſe habentiū ad alium ordinem par-
tium proportionalium: vt cum volumus compara
re totum ordinem partium imparium toti ordini
partium parium: vt iam ex parte tangebatur in
precedēti capite: ideo non abs re pro noticia huiꝰ
pono aliquas concluſiones.
teria de motu locali quo ad effectū et mo-
tu augmentationis comparatio alicuius
ordinis aliquarum partium proportionalium in
terſcalariter ſe habentiū ad alium ordinem par-
tium proportionalium: vt cum volumus compara
re totum ordinem partium imparium toti ordini
partium parium: vt iam ex parte tangebatur in
precedēti capite: ideo non abs re pro noticia huiꝰ
pono aliquas concluſiones.
Prima cõcluſio.
Diuiſo corpore per
partes proportionales quauis proportione: et ca
ptis certis ordinibus partium proportionalium
interſcalariter ſe habentium: totum corpus ab-
ſoluentibus: tunc illi ordines ſe habent continuo
in proportione diuiſionis: vt ſi corpus diuidatur
proportione dupla: et capiantur oēs partes inter
quas mediant due pro primo ordine puta prima
quarta, ſeptima, decima, tridecima .etc̈ / et deinde
pro ſecundo ordine ſecunda, quinta, octaua, vn-
decima, decima quarta, et ſic cõſequenter. et demū
pro tertio ordine capiantur tertia, ſexta, nona,
duodecima, quindecima, et ſic deinceps. Dico /
primus ordo ſe habet ad ſecundū in ꝓportiõe du-
pla: et etiam ſecundus ad tertium in proportione
dupla. Et eſto / centum ordines caperes illi etiaꝫ
in proportione dupla continuo ſe haberent. Pa-
tet hoc / quoniam cuiuſlibet illorum ordinum con-
tinuo partes correſpõdentes ſe habent in eadem
proportione: igitur in quacū proportione ſe ha
bent continuo prime partes illorum ordinum in
eadem proportione continuo ſe habent ille ordi-
nes: ſed prime partes ſe habent in proportione di
uiſionis / vt conſtat: igitur et illi ordines. Proba-
tur tamen cõſequētia per hanc regulam. Quado-
cū aliqua diuiduntur equali ꝓportione in qua-
cū proportione ſe habent prime partes propor
tionales in eadem proportione ſe habent et ipſa
tota: quoniam ſunt partes aliquote eiuſdē deno-
minationis. Modo in quacū proportione ſe ha
bent partes aliquote eiuſdem denominationis in
eadem ſe habent et ipſa tota quorum ſunt partes
aliquote / vt poſtea demonſtrabitur igitur.
partes proportionales quauis proportione: et ca
ptis certis ordinibus partium proportionalium
interſcalariter ſe habentium: totum corpus ab-
ſoluentibus: tunc illi ordines ſe habent continuo
in proportione diuiſionis: vt ſi corpus diuidatur
proportione dupla: et capiantur oēs partes inter
quas mediant due pro primo ordine puta prima
quarta, ſeptima, decima, tridecima .etc̈ / et deinde
pro ſecundo ordine ſecunda, quinta, octaua, vn-
decima, decima quarta, et ſic cõſequenter. et demū
pro tertio ordine capiantur tertia, ſexta, nona,
duodecima, quindecima, et ſic deinceps. Dico /
primus ordo ſe habet ad ſecundū in ꝓportiõe du-
pla: et etiam ſecundus ad tertium in proportione
dupla. Et eſto / centum ordines caperes illi etiaꝫ
in proportione dupla continuo ſe haberent. Pa-
tet hoc / quoniam cuiuſlibet illorum ordinum con-
tinuo partes correſpõdentes ſe habent in eadem
proportione: igitur in quacū proportione ſe ha
bent continuo prime partes illorum ordinum in
eadem proportione continuo ſe habent ille ordi-
nes: ſed prime partes ſe habent in proportione di
uiſionis / vt conſtat: igitur et illi ordines. Proba-
tur tamen cõſequētia per hanc regulam. Quado-
cū aliqua diuiduntur equali ꝓportione in qua-
cū proportione ſe habent prime partes propor
tionales in eadem proportione ſe habent et ipſa
tota: quoniam ſunt partes aliquote eiuſdē deno-
minationis. Modo in quacū proportione ſe ha
bent partes aliquote eiuſdem denominationis in
eadem ſe habent et ipſa tota quorum ſunt partes
aliquote / vt poſtea demonſtrabitur igitur.
Secunda concluſio per modum do-
cumenti poſita. Ad ſciendū quota pars vel quote
partes aliquote eſt quilibet illorum ordinum vi-
dendum eſt quot ſint ordines: et tunc cõſtituantur
in numeris tot proportiões diuiſionis quot ſunt
illi ordinis dempta vna: et coadunētur omnes ter
mini illarum proportionum: et diuidatur totū in
tot partes aliquotas quotꝰ eſt numerus reſultãs
et dentur primo ordini tot ex illis partibas qnotꝰ
eſt maximus numerus in illis proportionibus: et
ſecundo ordini tot quotus eſt ſecundus numerus:
et ſic conſequenter. Et ſic videbis quot partes ali-
quotas et cuiꝰ denominationis continet primꝰ or
do: et ſecundus, et tertius, et ſic conſequenter. Exē-
plum / vt ſi pedale fuerit diuiſum in partes propor
tionales proportione dupla conſtituantur tres
ordines / vt paulo ãte exēplo expreſſimꝰ / q2 ibi tres
ſunt ordines conſtituti: et proportio diuiſionis eſt
dupla: conſtituas in numeris duas proportiones
cumenti poſita. Ad ſciendū quota pars vel quote
partes aliquote eſt quilibet illorum ordinum vi-
dendum eſt quot ſint ordines: et tunc cõſtituantur
in numeris tot proportiões diuiſionis quot ſunt
illi ordinis dempta vna: et coadunētur omnes ter
mini illarum proportionum: et diuidatur totū in
tot partes aliquotas quotꝰ eſt numerus reſultãs
et dentur primo ordini tot ex illis partibas qnotꝰ
eſt maximus numerus in illis proportionibus: et
ſecundo ordini tot quotus eſt ſecundus numerus:
et ſic conſequenter. Et ſic videbis quot partes ali-
quotas et cuiꝰ denominationis continet primꝰ or
do: et ſecundus, et tertius, et ſic conſequenter. Exē-
plum / vt ſi pedale fuerit diuiſum in partes propor
tionales proportione dupla conſtituantur tres
ordines / vt paulo ãte exēplo expreſſimꝰ / q2 ibi tres
ſunt ordines conſtituti: et proportio diuiſionis eſt
dupla: conſtituas in numeris duas proportiones