175 tionabiliter ſicut raritas augetur ita et dēſitas di
minuit̄̄ / g̊ raritas et denſitas nõ ſunt poſitiua. Con
ſequētia eſt nota cū minori, et argr̄ maior / q2 ſi illḋ
eſſet poſſibile de aliquibꝰ poſitiuis: hoc maxīe eſſet
qñ maiꝰ diminuit̄̄ et minꝰ auget̄̄ ſicut dictū eſt in ſo-
lutione: ſed hoc nõ: igr̄. Probat̄̄ minor / q2 vel illud
minꝰ qḋ augetur ſemꝑ in augmentatione manebit
minꝰ altero, vel aliqñ deueniet ad equalitatē: ſi cõ-
tinuo illud qḋ augetur erit minꝰ illo qḋ diminuitur
et ita velociter diminuit̄̄ maiꝰ ſicut augetur minus
ſequit̄̄ / cõtinuo in toto illo tꝑe in quo erit minus
ipſum velociꝰ ꝓportiõabiliter augebit̄̄ ꝙ̄ aliud di-
minuitur volo dicere in quolibet inſtãti intrinſeco
illiꝰ tēporis: ptꝫ hec ↄ̨ña regulã geometricã. Qñcū
aliqua latitudo demit̄̄ a maiori et addit̄̄ minori
ipſo manēte minori ꝙ̄ illud ad quo demit̄̄ illa latitu
do cõtinuo maiorē ꝓportionē acquirit illud minꝰ
̄ deꝑdat illud maiꝰ. Quod ptꝫ / q2 ſi poſt̄ illa la
titudo eſt addita minori addat̄̄ tanta latitudo illi
maiori a quo fuit dēpta, minorē ꝓportionē acq̇ret
illud maiꝰ ꝙ̄ deꝑdet illud minꝰ: g̊ qñ maius deꝑdat
illã latitudinē et minꝰ acq̇rit eandē maiorē ꝓporti-
onē acq̇rit minꝰ ꝙ̄ deꝑdat maiꝰ, cū nõ deꝑdat niſi
illã quã acq̇ſiuit: igr̄ illa regula eſt vera. Si aūt illa
ꝑueniant ad equalitatē, iã nõ eque velociter et eque
ꝓbationabiliter vnū illoꝝ augebitur ſicut aliud di
minuitur / vt ꝓbatū eſt in argumento 111. confir-
matio ¶ Cõfirmatur
Quia raritas et denſitas inter ſe nõ differūt cū idē
ſit ꝓpinquitas punctoꝝ et diſtantia eorūdē: igr̄ ille
nõ ſunt qualitates poſitiue. 222. confir-
matio ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo. Q2
ſi eſſent qualitates eſſent cõtrarie: ſed hoc eſt falſū /
q2 tūc nullū rarū eſſet denſum et eocõtra et aliquid
eſſet qḋ nõ eſſet rarū ne dēſum : q2 rarū et denſum
eſſent termini cõtrarii. 333. confir-
matio ¶ Cõfirmatur tertio. Quia
tūc ſeq̇tur / poſſibile eſt dare rarū vniformiter dif
forme a certo gradu vſ ad nõ gradū, vt ab octa-
uo vſ ad nõ gradū: ſed ↄ̨ñs eſt falſū: g̊ et illud ex q̊
ſeq̇tur. Cõſequētia ꝓbatur: q2 oīs qualitas corpo-
rea poteſt eſſe vniformiter difformis a certo gradu
vſ ad nõ gradū: ſed raritas eſt huiuſmodi per te
igr̄. Maior ptꝫ / q2 vbicū eſt qualitas vniformis:
ibi eſt vna medietas intenſiua vniformiter diffor-
mis a maximo gradu quē hꝫ illa qualitas vſ ad
nõ gradū: vt ptꝫ iutuenti. Sed iam argr̄ falſitas cõ
ſequentis / q2 ſit illud a. / et arguo ſic / illud eſt vniformi
ter difformiter rarū ab octauo vſ ad nõ gradū: g̊
prima pars ꝓportionalis eiꝰ eſt aliqualiter rara et
ſcḋa in duplo minꝰ rara, et tertia in duplo minꝰ ra-
ra ꝙ̄ ſcḋa, et ſic ↄ̨ñter / vt ptꝫ de albedine vniformiter
difformi ab octauo vſ ad nõ g̈dū, et ꝑ ↄ̨ñs ṗma ꝑs
ꝓportiõalis eſt aliq̈liṫ denſa, et ſcḋa in duplo den
ſior, et tertia in duplo denſior ꝙ̄ ſcḋa. etc̈. / igr̄ a. eſt
infinite denſū q2 infinitã materiã cõtinet ſub finita
quãtitate, nã q̄libet pars ꝓportionalis cõtinet tan
tam materiã ſicut prima: q2 in quacū ꝓportione
aliqua pars ꝓportiõalis eſt minor prima in eadē
eſt denſior prima, et vltra a. eſt īfinite denſum: g̊ nõ
eſt rarū, et ſic nõ eſt vniformiter difformiter rarum /
quod eſt oppoſitū cõceſſi. 444. confir
matio. ¶ Cõfirmatur quarto / q2
rarū eſt qḋ ſub magna quãtitate cõtinet parum de
materia, denſum vero eſt / ſub parua quãtitate cõ
tinet multū de materia: et hoc deſcribendo rarū et
denſum: g̊ dato a. nullã qualititatē haberet et ſub
finita quantitate finitam materiam contineret ad
huc illud eſſet rarum et denſum, vt facile deducitur
ex deſcriptione rari et denſi: igitur raritas et den-
ſitas nõ ſunt qualitates nec poſitiue ſe habent.
minuit̄̄ / g̊ raritas et denſitas nõ ſunt poſitiua. Con
ſequētia eſt nota cū minori, et argr̄ maior / q2 ſi illḋ
eſſet poſſibile de aliquibꝰ poſitiuis: hoc maxīe eſſet
qñ maiꝰ diminuit̄̄ et minꝰ auget̄̄ ſicut dictū eſt in ſo-
lutione: ſed hoc nõ: igr̄. Probat̄̄ minor / q2 vel illud
minꝰ qḋ augetur ſemꝑ in augmentatione manebit
minꝰ altero, vel aliqñ deueniet ad equalitatē: ſi cõ-
tinuo illud qḋ augetur erit minꝰ illo qḋ diminuitur
et ita velociter diminuit̄̄ maiꝰ ſicut augetur minus
ſequit̄̄ / cõtinuo in toto illo tꝑe in quo erit minus
ipſum velociꝰ ꝓportiõabiliter augebit̄̄ ꝙ̄ aliud di-
minuitur volo dicere in quolibet inſtãti intrinſeco
illiꝰ tēporis: ptꝫ hec ↄ̨ña regulã geometricã. Qñcū
aliqua latitudo demit̄̄ a maiori et addit̄̄ minori
ipſo manēte minori ꝙ̄ illud ad quo demit̄̄ illa latitu
do cõtinuo maiorē ꝓportionē acquirit illud minꝰ
̄ deꝑdat illud maiꝰ. Quod ptꝫ / q2 ſi poſt̄ illa la
titudo eſt addita minori addat̄̄ tanta latitudo illi
maiori a quo fuit dēpta, minorē ꝓportionē acq̇ret
illud maiꝰ ꝙ̄ deꝑdet illud minꝰ: g̊ qñ maius deꝑdat
illã latitudinē et minꝰ acq̇rit eandē maiorē ꝓporti-
onē acq̇rit minꝰ ꝙ̄ deꝑdat maiꝰ, cū nõ deꝑdat niſi
illã quã acq̇ſiuit: igr̄ illa regula eſt vera. Si aūt illa
ꝑueniant ad equalitatē, iã nõ eque velociter et eque
ꝓbationabiliter vnū illoꝝ augebitur ſicut aliud di
minuitur / vt ꝓbatū eſt in argumento 111. confir-
matio ¶ Cõfirmatur
Quia raritas et denſitas inter ſe nõ differūt cū idē
ſit ꝓpinquitas punctoꝝ et diſtantia eorūdē: igr̄ ille
nõ ſunt qualitates poſitiue. 222. confir-
matio ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo. Q2
ſi eſſent qualitates eſſent cõtrarie: ſed hoc eſt falſū /
q2 tūc nullū rarū eſſet denſum et eocõtra et aliquid
eſſet qḋ nõ eſſet rarū ne dēſum : q2 rarū et denſum
eſſent termini cõtrarii. 333. confir-
matio ¶ Cõfirmatur tertio. Quia
tūc ſeq̇tur / poſſibile eſt dare rarū vniformiter dif
forme a certo gradu vſ ad nõ gradū, vt ab octa-
uo vſ ad nõ gradū: ſed ↄ̨ñs eſt falſū: g̊ et illud ex q̊
ſeq̇tur. Cõſequētia ꝓbatur: q2 oīs qualitas corpo-
rea poteſt eſſe vniformiter difformis a certo gradu
vſ ad nõ gradū: ſed raritas eſt huiuſmodi per te
igr̄. Maior ptꝫ / q2 vbicū eſt qualitas vniformis:
ibi eſt vna medietas intenſiua vniformiter diffor-
mis a maximo gradu quē hꝫ illa qualitas vſ ad
nõ gradū: vt ptꝫ iutuenti. Sed iam argr̄ falſitas cõ
ſequentis / q2 ſit illud a. / et arguo ſic / illud eſt vniformi
ter difformiter rarū ab octauo vſ ad nõ gradū: g̊
prima pars ꝓportionalis eiꝰ eſt aliqualiter rara et
ſcḋa in duplo minꝰ rara, et tertia in duplo minꝰ ra-
ra ꝙ̄ ſcḋa, et ſic ↄ̨ñter / vt ptꝫ de albedine vniformiter
difformi ab octauo vſ ad nõ g̈dū, et ꝑ ↄ̨ñs ṗma ꝑs
ꝓportiõalis eſt aliq̈liṫ denſa, et ſcḋa in duplo den
ſior, et tertia in duplo denſior ꝙ̄ ſcḋa. etc̈. / igr̄ a. eſt
infinite denſū q2 infinitã materiã cõtinet ſub finita
quãtitate, nã q̄libet pars ꝓportionalis cõtinet tan
tam materiã ſicut prima: q2 in quacū ꝓportione
aliqua pars ꝓportiõalis eſt minor prima in eadē
eſt denſior prima, et vltra a. eſt īfinite denſum: g̊ nõ
eſt rarū, et ſic nõ eſt vniformiter difformiter rarum /
quod eſt oppoſitū cõceſſi. 444. confir
matio. ¶ Cõfirmatur quarto / q2
rarū eſt qḋ ſub magna quãtitate cõtinet parum de
materia, denſum vero eſt / ſub parua quãtitate cõ
tinet multū de materia: et hoc deſcribendo rarū et
denſum: g̊ dato a. nullã qualititatē haberet et ſub
finita quantitate finitam materiam contineret ad
huc illud eſſet rarum et denſum, vt facile deducitur
ex deſcriptione rari et denſi: igitur raritas et den-
ſitas nõ ſunt qualitates nec poſitiue ſe habent.
Scḋo prīcipaliter.
Tangēdo penes
quid maioritas raritatis et dēſitatis attēdat̄̄ argr̄
ſic. Si raritas et denſitas eſſent poſſibiles vel ī qua
cun ꝓportione raritas efficitur maior: ꝓportio
quãtitatis ad materiã efficiret̄̄ maior, et nõ quãti-
tas in illa ꝓportione, vel in quacū ꝓportione ra
ritas efficit̄̄ maior: quãtitas efficit̄̄ maior. Sed neu
trū iſtoꝝ eſt dicendū: igr̄ raritas et denſitas nõ ſūt
poſſibiles. Minor ptꝫ / q2 iſte due ſunt famate opi-
niones quas maior tangit de maioritate et minori
tate raritatis et nõ plures ꝓ nūc practicantur. Sed
iam ꝓbatur minor: et primo nõ in quacū ꝓpor
tione raritas efficitur maior proportio quãtitatis
ad materiã efficitur maior: q2 tūc ſeq̄retur / ad du
plationē raritatis nõ ſeq̄retur duplatio quãtita-
tis q2 aliqñ ſequitur magis ꝙ̄ duplatio quantita-
tes, et aliqñ minꝰ, et aliqñ adequata duplatio: igr̄.
ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄. Falſitas ↄ̨ñtis argr̄ / q2 rarum
eſt qḋ ſub magna quãtitate cõtinet modicū de ma-
teria, ergo illud erit in duplo magis rarum quod
ſubdupla maiori quantitate ↄ̨tinet equale de ma-
teria, et ſic ſemꝑ ad duplationē raritatis ſequitur
duplatio quãtitatꝪ. Sed iam ꝓbo ſequelã: et capio
vnū pedale cuiꝰ quãtitatis ad materiã ſit ꝓportio
ſexq̇altera et volo / dupletur eiꝰ raritas quo po-
ſito argr̄ ſic / quãtitas illiꝰ pedalis nõ efficitur in du
plo maior: ſed p̄ciſe in ſexq̇altero maior: igr̄ ꝓpoſi
tum. Probat̄̄ añs, q2 in fine ꝓportio quantitatis
ad materiã erit dupla ad ſexquialterã puta dupla
ſexquiq̈rta: g̊ ſeq̇tur, p̄ciſe quãtitas acq̇ſiuit pro
portionē ſexq̇alterã et nõ duplã. Ptꝫ ↄ̨ña / q2 ꝓpor-
tio quãtitatis ad materiã in fine cõponitur ex dua
bus ſexq̇alteris: et iã quãtitas ad materiã habebat
ꝓportionē ſexquialterã: g̊ modo p̄ciſe acq̇ſiuit ſexq̇al
terã ſupra ſe. Probat̄̄ ſcḋa / q2 ſi acq̇ſiuiſſet duplaꝫ
ꝓportionē ſupra ſe in fine ꝓportio quantitatis ad
materiã fuiſſet tripla q̄ ex dupla et ſexq̇altera cõpo
nitur et ſic nõ ad duplationē raritatis fuiſſet ſequu
ta duplatio ꝓportionis cū tripla ſit maior ꝙ̄ du-
pla ad ſexq̇alterã / vt pꝫ ex ſecūda parte huiꝰ operꝪ
et ſic ſeq̇tur / ad duplationē raritatis aliqñ ſeq̇tur
minꝰ ꝙ̄ duplatio quãtitatis. Q, vero aliqñ
ſeq̈tur p̄ciſe duplatio quãtitatis ꝓbatur ponendo
ꝓportio quãtitatis ad materiã ſit dupla, et du
pletur raritas, et ſic habebitur intentū. Nã tūc ꝓ-
portio quãtitatis ad materiã efficeretur quadru-
pla q̄ eſt dupla ad duplã, et iã antea ꝓportio ̄tita
tis ad materiã fuit dupla adequate: g̊ modo acq̇ſi-
uit aliquã ꝓportionē duplã, et ſic ſeq̇tur / quãtitas
acq̇ſiuit duplã ꝓportionē ſupra ſe: qm̄ tantã acq̇ſi-
uit ſupra ſe quantam ſupra ſuam materiam. Sed
iam ꝓbo / nõ in quacū ꝓportione raritas effici
tur maior quãtitas efficitur maior: q2 alias ſeq̄ret̄̄ /
poſſet dari infinite rarū: ſed ↄ̨ñs eſt falſum: igr̄ et
illud ex quo ſeq̇tur. Seq̄la ꝓbatur et capio vnū pe-
dale vniforme ꝑ totū et volo / rarefiat in īfinitum
quo poſito illud erit īfinite raꝝ qm̄ ad duplationē
eiꝰ ſeq̇tur duplatio raritatis et ad triplationē quã
tatis ſeq̇tur triplatio raritatis / et ſic cõſequenter:
et acquiret̄̄ quãtitas īfinita: g̊ raritas īfinita. Sed
falſitas ↄ̨ñtis argr̄ et ſi illud eſt infinite rarū: ſequit̄̄ /
nullã materiã cõtinet, et vltra nullã materiã cõti
net. g̊ nec eſt rarū nec eſt dēſum. Conſequētia ptꝫ et
argr̄ ſeq̄la qm̄ vt ſuppono ipſum eſt vniforme, et
vniformiter rarefactū: ſi igr̄ hꝫ aliquã materiaꝫ in
aliqua parte ſui cū ipſum ſit vniforme: ſeq̇tur / in
qualibet tanta ſui parte hꝫ tantaꝫ ſicut ipſa eſt: et
ſunt infinite partes illi parti equales: g̊ ſeq̇tur /
hꝫ īfinitã materiã, et ſic eſt īfinite raꝝ / qḋ fuit ꝓbandū
quid maioritas raritatis et dēſitatis attēdat̄̄ argr̄
ſic. Si raritas et denſitas eſſent poſſibiles vel ī qua
cun ꝓportione raritas efficitur maior: ꝓportio
quãtitatis ad materiã efficiret̄̄ maior, et nõ quãti-
tas in illa ꝓportione, vel in quacū ꝓportione ra
ritas efficit̄̄ maior: quãtitas efficit̄̄ maior. Sed neu
trū iſtoꝝ eſt dicendū: igr̄ raritas et denſitas nõ ſūt
poſſibiles. Minor ptꝫ / q2 iſte due ſunt famate opi-
niones quas maior tangit de maioritate et minori
tate raritatis et nõ plures ꝓ nūc practicantur. Sed
iam ꝓbatur minor: et primo nõ in quacū ꝓpor
tione raritas efficitur maior proportio quãtitatis
ad materiã efficitur maior: q2 tūc ſeq̄retur / ad du
plationē raritatis nõ ſeq̄retur duplatio quãtita-
tis q2 aliqñ ſequitur magis ꝙ̄ duplatio quantita-
tes, et aliqñ minꝰ, et aliqñ adequata duplatio: igr̄.
ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄. Falſitas ↄ̨ñtis argr̄ / q2 rarum
eſt qḋ ſub magna quãtitate cõtinet modicū de ma-
teria, ergo illud erit in duplo magis rarum quod
ſubdupla maiori quantitate ↄ̨tinet equale de ma-
teria, et ſic ſemꝑ ad duplationē raritatis ſequitur
duplatio quãtitatꝪ. Sed iam ꝓbo ſequelã: et capio
vnū pedale cuiꝰ quãtitatis ad materiã ſit ꝓportio
ſexq̇altera et volo / dupletur eiꝰ raritas quo po-
ſito argr̄ ſic / quãtitas illiꝰ pedalis nõ efficitur in du
plo maior: ſed p̄ciſe in ſexq̇altero maior: igr̄ ꝓpoſi
tum. Probat̄̄ añs, q2 in fine ꝓportio quantitatis
ad materiã erit dupla ad ſexquialterã puta dupla
ſexquiq̈rta: g̊ ſeq̇tur, p̄ciſe quãtitas acq̇ſiuit pro
portionē ſexq̇alterã et nõ duplã. Ptꝫ ↄ̨ña / q2 ꝓpor-
tio quãtitatis ad materiã in fine cõponitur ex dua
bus ſexq̇alteris: et iã quãtitas ad materiã habebat
ꝓportionē ſexquialterã: g̊ modo p̄ciſe acq̇ſiuit ſexq̇al
terã ſupra ſe. Probat̄̄ ſcḋa / q2 ſi acq̇ſiuiſſet duplaꝫ
ꝓportionē ſupra ſe in fine ꝓportio quantitatis ad
materiã fuiſſet tripla q̄ ex dupla et ſexq̇altera cõpo
nitur et ſic nõ ad duplationē raritatis fuiſſet ſequu
ta duplatio ꝓportionis cū tripla ſit maior ꝙ̄ du-
pla ad ſexq̇alterã / vt pꝫ ex ſecūda parte huiꝰ operꝪ
et ſic ſeq̇tur / ad duplationē raritatis aliqñ ſeq̇tur
minꝰ ꝙ̄ duplatio quãtitatis. Q, vero aliqñ
ſeq̈tur p̄ciſe duplatio quãtitatis ꝓbatur ponendo
ꝓportio quãtitatis ad materiã ſit dupla, et du
pletur raritas, et ſic habebitur intentū. Nã tūc ꝓ-
portio quãtitatis ad materiã efficeretur quadru-
pla q̄ eſt dupla ad duplã, et iã antea ꝓportio ̄tita
tis ad materiã fuit dupla adequate: g̊ modo acq̇ſi-
uit aliquã ꝓportionē duplã, et ſic ſeq̇tur / quãtitas
acq̇ſiuit duplã ꝓportionē ſupra ſe: qm̄ tantã acq̇ſi-
uit ſupra ſe quantam ſupra ſuam materiam. Sed
iam ꝓbo / nõ in quacū ꝓportione raritas effici
tur maior quãtitas efficitur maior: q2 alias ſeq̄ret̄̄ /
poſſet dari infinite rarū: ſed ↄ̨ñs eſt falſum: igr̄ et
illud ex quo ſeq̇tur. Seq̄la ꝓbatur et capio vnū pe-
dale vniforme ꝑ totū et volo / rarefiat in īfinitum
quo poſito illud erit īfinite raꝝ qm̄ ad duplationē
eiꝰ ſeq̇tur duplatio raritatis et ad triplationē quã
tatis ſeq̇tur triplatio raritatis / et ſic cõſequenter:
et acquiret̄̄ quãtitas īfinita: g̊ raritas īfinita. Sed
falſitas ↄ̨ñtis argr̄ et ſi illud eſt infinite rarū: ſequit̄̄ /
nullã materiã cõtinet, et vltra nullã materiã cõti
net. g̊ nec eſt rarū nec eſt dēſum. Conſequētia ptꝫ et
argr̄ ſeq̄la qm̄ vt ſuppono ipſum eſt vniforme, et
vniformiter rarefactū: ſi igr̄ hꝫ aliquã materiaꝫ in
aliqua parte ſui cū ipſum ſit vniforme: ſeq̇tur / in
qualibet tanta ſui parte hꝫ tantaꝫ ſicut ipſa eſt: et
ſunt infinite partes illi parti equales: g̊ ſeq̇tur /
hꝫ īfinitã materiã, et ſic eſt īfinite raꝝ / qḋ fuit ꝓbandū