177171OPTICAE LIBER V.
metris à centro inæquabiliter diſtantia, reflectuntur à quolibet puncto peripheriæ inter ſemidia
metros, extra quas ſunt, comprehenſæ: excepto eo, in quo ſecans diameter terminatur. 28 p 8.
metros, extra quas ſunt, comprehenſæ: excepto eo, in quo ſecans diameter terminatur. 28 p 8.
AMplius:
ductis diametris b q, a g:
& diametro e z diuidente angulum b d g per æqualia.
Dico,
quòd quodcũq; punctũ ſumatur in arcu a q, pręter punctũ z: [à pũcto enim z reflectũtur tan
tùm pũcta diametrorũ à centro æquabiliter diſtania, ut conſtat è ſuperioribus numeris] ab
illo poterunt reflecti infinita paria punctorũ, inæqualiter à centro diſtantiũ. Verbi gratia: ſumatur h
punctum: & ſumatur in ſemidiametro g d punctũ l: & à ſemidiametro b d ſecetur m d, æqualis l d:
[per 3 p 1] & ducantur lineę l m, l h, m h, d h. Punctũ, in quo e z diuidit l m, ſit f: erit [per 4 p 1] f l æqua-
lis f m: & ducatur h d, quouſq; cadat ſuper l m in pun-
116[Figure 116]b a m h e f t d z n p l g q cto n: erit igitur l n minor m n. Verùm cum angulus
m d f ſit æqualis f d l [ex theſi] & angulo q d z: [per
15 p 1] & angulus m d a æqualis angulo l d q: [per ean
dem] & angulus a d h æqualis angulo n d l: erit angu-
lus l d h maior angulo m d h: [Quia enim m d n, id eſt
per 15 p 1 h d q maior eſt n d l, id eſt a d h, & m d a æ-
quatur ipſi l d q: angulus igitur l d h maior eſt angulo
m d h] igitur [per 24 p 1] l h erit maior m h: cum m d,
d h æqualia ſint l d, d h. Erit ergo angulus d h l minor
angulo d h m. Si enim eſſet æqualis: eſſet proportio l
h ad h m, ſicut l n ad n m: [per 3 p 6] qđ eſt impoſsibi
le. [Sic enim maior l h ad minorẽ h m eandẽ haberet
rationẽ, quam minor l n ad maiorẽ n m. ] Si autẽ fue-
rit maior: ſecetur ex e o æqualis: & improbabitur eo-
dẽ modo. Igitur eſt minor. Secetur igitur ab angulo
m h d ęqualis illi [d h l: ] qui ſit t h d. Igitur t reflectetur
ad l à puncto h [per 12 n 4. ] Et linea t d eſt minor l d.
[quia minor eſt d m, pertheſin æquali ipſi d l. ] Similiter ſi ſumãtur in ſemidiametris b d, g d alia pun
cta, quàm l, m, æqualiter à puncto d diſtantia: probabitur ſimiliter, quòd à puncto h fit reflexio pun-
ctorum ad inuicem, in æqualiter diſtantium à centro: & ita de infinitis punctis in his diametris ſum-
ptis ſimilis erit probatio: & à quocunq; puncto arcus a q ſumpto, præter quàm à puncto z.
quòd quodcũq; punctũ ſumatur in arcu a q, pręter punctũ z: [à pũcto enim z reflectũtur tan
tùm pũcta diametrorũ à centro æquabiliter diſtania, ut conſtat è ſuperioribus numeris] ab
illo poterunt reflecti infinita paria punctorũ, inæqualiter à centro diſtantiũ. Verbi gratia: ſumatur h
punctum: & ſumatur in ſemidiametro g d punctũ l: & à ſemidiametro b d ſecetur m d, æqualis l d:
[per 3 p 1] & ducantur lineę l m, l h, m h, d h. Punctũ, in quo e z diuidit l m, ſit f: erit [per 4 p 1] f l æqua-
lis f m: & ducatur h d, quouſq; cadat ſuper l m in pun-
116[Figure 116]b a m h e f t d z n p l g q cto n: erit igitur l n minor m n. Verùm cum angulus
m d f ſit æqualis f d l [ex theſi] & angulo q d z: [per
15 p 1] & angulus m d a æqualis angulo l d q: [per ean
dem] & angulus a d h æqualis angulo n d l: erit angu-
lus l d h maior angulo m d h: [Quia enim m d n, id eſt
per 15 p 1 h d q maior eſt n d l, id eſt a d h, & m d a æ-
quatur ipſi l d q: angulus igitur l d h maior eſt angulo
m d h] igitur [per 24 p 1] l h erit maior m h: cum m d,
d h æqualia ſint l d, d h. Erit ergo angulus d h l minor
angulo d h m. Si enim eſſet æqualis: eſſet proportio l
h ad h m, ſicut l n ad n m: [per 3 p 6] qđ eſt impoſsibi
le. [Sic enim maior l h ad minorẽ h m eandẽ haberet
rationẽ, quam minor l n ad maiorẽ n m. ] Si autẽ fue-
rit maior: ſecetur ex e o æqualis: & improbabitur eo-
dẽ modo. Igitur eſt minor. Secetur igitur ab angulo
m h d ęqualis illi [d h l: ] qui ſit t h d. Igitur t reflectetur
ad l à puncto h [per 12 n 4. ] Et linea t d eſt minor l d.
[quia minor eſt d m, pertheſin æquali ipſi d l. ] Similiter ſi ſumãtur in ſemidiametris b d, g d alia pun
cta, quàm l, m, æqualiter à puncto d diſtantia: probabitur ſimiliter, quòd à puncto h fit reflexio pun-
ctorum ad inuicem, in æqualiter diſtantium à centro: & ita de infinitis punctis in his diametris ſum-
ptis ſimilis erit probatio: & à quocunq; puncto arcus a q ſumpto, præter quàm à puncto z.
75. Si uiſus & uiſibile in diuerſis diametris circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ refle-
xiõis, et ſpeculι ſphærici caui) à cẽtro inæquabilιter diſtãtia, à pũcto aliquo peripheriæinter ſemi
diametros, extr a quas ſunt, inter ſe mutuò reflectãtur: ab uno tatùm puncto reflectẽtur. 29 p 8.
xiõis, et ſpeculι ſphærici caui) à cẽtro inæquabilιter diſtãtia, à pũcto aliquo peripheriæinter ſemi
diametros, extr a quas ſunt, inter ſe mutuò reflectãtur: ab uno tatùm puncto reflectẽtur. 29 p 8.
AMplius:
ſumptis punctis t, l in diametris:
quorũ inæqualis ſit lõgitudo à centro:
reflectantur
ipla ad inuicẽ à puncto h: nõ poterit reflecti t ad l ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h.
Si enim ab alio: ſit illud k: & ducantur, t k, l k,
117[Figure 117]b a t h e p d z n l k g q d k, l t, t h, l h, n d h: & producatur d k; quouſq; con-
currat cum l t in puncto p [concurret autem, quia
ſecat angulũ t k l à baſi t l ſubtenſum. ] Palàm, quòd
proportio l h ad h t, ſicut l n ad n t. [per 3 p 6: quia e-
nim t ex theſi eſt reflexionis punctũ: æquabitur per
12 n 4 angulus l h n angulo t h n. ] Et ſimiliter cũ an-
gulus t p k ſit æqualis l k p, exhypotheſi: erit [per 3 p
6] proportio l k ad k t, ſicut l p ad p t: Sed [per 7
p 3] l h maior l k, & t h minor t k: igitur maior eſt pro
portio l h ad t h, quàm l k ad t k. [ut patet per 8 p 5. ]
Quare maior erit proportio l n ad n t, quàm l p ad p
t: quod planè impoſsibile. [Quia enim l n minor eſt
l p per 9 ax: & n t maior p t: erit ratio l n ad n t mi-
nor, quàm ratio l p ad p t, ut conſtat ex 8 p 5. ] Re-
ſtat, ut ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h
non poſsit t reflecti ad l. Palàm igitur, quæ acci-
dunt in arcu a q.
ipla ad inuicẽ à puncto h: nõ poterit reflecti t ad l ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h.
Si enim ab alio: ſit illud k: & ducantur, t k, l k,
117[Figure 117]b a t h e p d z n l k g q d k, l t, t h, l h, n d h: & producatur d k; quouſq; con-
currat cum l t in puncto p [concurret autem, quia
ſecat angulũ t k l à baſi t l ſubtenſum. ] Palàm, quòd
proportio l h ad h t, ſicut l n ad n t. [per 3 p 6: quia e-
nim t ex theſi eſt reflexionis punctũ: æquabitur per
12 n 4 angulus l h n angulo t h n. ] Et ſimiliter cũ an-
gulus t p k ſit æqualis l k p, exhypotheſi: erit [per 3 p
6] proportio l k ad k t, ſicut l p ad p t: Sed [per 7
p 3] l h maior l k, & t h minor t k: igitur maior eſt pro
portio l h ad t h, quàm l k ad t k. [ut patet per 8 p 5. ]
Quare maior erit proportio l n ad n t, quàm l p ad p
t: quod planè impoſsibile. [Quia enim l n minor eſt
l p per 9 ax: & n t maior p t: erit ratio l n ad n t mi-
nor, quàm ratio l p ad p t, ut conſtat ex 8 p 5. ] Re-
ſtat, ut ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h
non poſsit t reflecti ad l. Palàm igitur, quæ acci-
dunt in arcu a q.
76. Viſu in diametro circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphæ-
rici caui) intra peripheriam poſito: uiſibile cum uiſu à centro utlibet diſtans: à quolιbet ſemicir-
culi puncto ad ipſum reflecti poteſt. 30 p 8.
rici caui) intra peripheriam poſito: uiſibile cum uiſu à centro utlibet diſtans: à quolιbet ſemicir-
culi puncto ad ipſum reflecti poteſt. 30 p 8.
AMplius:
ſit a centrũ uiſus:
b centrum ſpeculi:
& ducatur diameter d a b g:
& ſumatur ſuperfi.
cies, in qua ſit a b quocunq; modo: quæ ſecabit ſphærã ſuper circulum: [per 1 th. 1 ſphær. ] qui
ſit d l g. Dico, quòd à quolibet puncto ſemicirculi d l g reflectuntur puncta ad a, inæqualis
longitudinis à centro, cum eo. Verbi gratia: ſumatur punctũ e: & ducantur lineę e a, e b. Palàm, quòd
angulus a e b erit acutus: quia cadet in minorem arcum ſemicirculo. [Nam angulus inſiſtens in pe-
ripheriam ſemicirculi rectus eſt per 31 p 3. Vel etiã angulus a e b acutus eſt per ea, quæ 60 n demon-
cies, in qua ſit a b quocunq; modo: quæ ſecabit ſphærã ſuper circulum: [per 1 th. 1 ſphær. ] qui
ſit d l g. Dico, quòd à quolibet puncto ſemicirculi d l g reflectuntur puncta ad a, inæqualis
longitudinis à centro, cum eo. Verbi gratia: ſumatur punctũ e: & ducantur lineę e a, e b. Palàm, quòd
angulus a e b erit acutus: quia cadet in minorem arcum ſemicirculo. [Nam angulus inſiſtens in pe-
ripheriam ſemicirculi rectus eſt per 31 p 3. Vel etiã angulus a e b acutus eſt per ea, quæ 60 n demon-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib