Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio prima. Capitulum </p>
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      detto, l’ area del detto triangolo haversi dela multiplicatione del .ga. in la mitá del .bd. overo
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      dela multiplicatione del .bd. nela mitá del .ag., che si manifesta per quello che habiamo detto.
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      E peró non è da replicare. E con numeri sia .bd.3 1/5. che, multiplicato .3 1/5. via .7 1/2., fanno .24. per l’ area
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      del
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      detto triangolo. Overo, multiplicato la mitá de .3 1/5., cioé .1 3/5. via .15., fanno ancora el .24., comme se disse.
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      Ma, se dal’ angolo .a. overo dal’ angolo .g. vorrai menare il catetto sopra quel trian-
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      golo, non cadrá dentro ma cadrá fuor del triangolo comme dimostrammo. Onde
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      menise dal’ angolo .a. il catetto .ad. E continuise .gb. con .d. e haremo .gbd. Dico che
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      l’ area del detto triangolo .abg. s’ á del multiplicare .ad. nela mitá del .gb. overo del
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      .gb. nela mitá del .ad., che si conviene dimostrare. Lo triangolo .adg. è ortogonio e l’ angolo .d.
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      è retto. Adunca l’ area di quello s’ á de multiplicare .ad. nela mitá del .gd. E il triangolo .agd.
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      è diviso in .2. triangoli .adb. e .abg. Dove il triangolo .agd. avanza al triangolo .abg. l’ area del
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      triangolo .adb. E l’ area del triangolo .adb. s’ á del multiplicare .ad. in mitá del .bd. Onde, se
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      trarremo la mitá del .bd. dela mitá del .dg., rimarrá la mitá del .gb. Adunca l’ area del triango-
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      lo .abg. s’ á del multiplicare .ad. nela mitá del .gb., che se doveva mostrare. E per numeri sia .cd.12.
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      che, multiplicato per la mitá del .gb., fanno .24. Overo, mulplicato .gb. per la mitá di .12., hare-
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      mo ancora .24. per la detta area, che è il </p>
      <p class="main"> E accioché perfetta dottrina in questo libro sia a misurare e triangoli, è da mostrare
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      comme ciascuno triangolo, senza investigatione del catetto, si possa misurare. Li
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      lati de ciascun triangolo agiongni insiemi: e di quel togli la mitá, del qual trae
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      per ordine e lati del triangolo e multiplica l’ avanzo del’ un lato per l’ altro avanzo
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      del’ altro lato e la somma per l’ avanzo del’ altro lato multiplica. E tutto multiplicarai per la mitá
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      de’ .3. lati. E dela somma truova la radici, la qual radici sia l’ area del detto triangolo. Verbi
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      gratia, agionti insiemi li lati del triangolo .abg., del quel il lato .ab. è .15. braccia e .bg. 14. e .ag. è .13.
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      che, in uno agionti, fanno .42., del qual la mitá è .21., dal qual il maggior lato è distante .6. braccia
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      e l’ altro .7. e l’ altro .8. braccia. Dove multiplicarai .6. per .7. e tutto per .8., fanno .336. E questo
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      multiplica per .21., cioé per la mitá de’ lati, fanno .7056. La cui radici è .84. per l’ area del detto tri-
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      angolo, comme giá di sopra mostrammo. E questo basti quanto al presente capitolo: e seguen-
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      do del’ ultimo capitolo di questa distintione </p>
      <p class="main"> Qualiter inveniantur catheti. siue perpendiculares. cuiuscunque trianguli. capitulun. octavum.
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      Havendo mostro comme l’ area di ciascuno triangolo si truova per la multiplicatione
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      dela mitá del catetto per tutta la basa: over la mitá dela basa per tutto il catetto, è ra-
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      gionevole cosa de dimostrare comme tale catetto si truova. Detto adunca habia-
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      mo che tutti i triangoli o e sonno di .3. lati iguali overo di .2. lati iguali. e uno non
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      iguale overo di .3. lati non iguali. El catetto che si muove da ciascuno angolo del triangolo
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      di .3. lati iguali sempre cade in sul ponto del mezzo lato oposto a quello angolo. Comme sia il
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      triangolo .abc. che ciascuno lato sia .10.bracia. Dico che ’l catetto che si muove dal’ angolo .a. ca-
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      de nel ponto del mezzo lato .bc. el quale è il ponto .d. e che questo sia vero. Ponga l’ aversario
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      che caggia in sul ponto .f. e non sia .f. nel mezzo dela linea, ma sia meno .bf. che .cf. Dove, a tro-
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      vare quanto sia .fa. (secondo la .46a. del primo d’ Euclide), tu trarai el quadrato del .bf. del quadra-
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      to del .ab. overo el quadrato del .fc., del quadrato .ac. E tanto debia essere l’ uno rimanente quan-
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      to l’ altro. E questo non puó essere, imperoché meno rimane a trare il quadrato .fc. del qua-
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      drato .ac. che non rimane a trare el quadrato .fb. del quadrato .ba. E peró, di necessitá, il pon-
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      to dove cade il catetto è in sul mezzo lato .bc., cioé in sul ponto .d. Adunca .bd. è .5.bracia. Dove,
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      a trovare quanto è .ad., trarai el quadrato .bd. overo .dc. del quadrato .ba. overo del quadra-
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      to .ac. e quello rimane è il quadrato del .ad. Adunca trarai .25. di .100., riman .75. e dirai che’ l
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      quadrato del .ad. sia .75. E peró il catetto .ad. è radici di .75. che è circa .8 2/3. E questo volemo di-
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      <p class="main"> Se ’l triangolo è di .2. lati iguali e l’ altro non iguale. Comme sia il triangolo .dfe., del
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      quale il lato .de. e .df. sia ciascuno .10.bracia. e il lato .ef. sia .12. E noi volessimo me-
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      nare il catetto dal ponto .d. in sula faccia .ef., dico il ponto dove cade detto catet-
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      to essere aponto nel mezzo della linea .ef. che, per lo modo dela passata, si pruova, el qual pon-
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      to è il ponto .g. E, se el ponto .g. è nel mezzo dela linea .ef. e tu voglia la perpendiculare .dg.,
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      trai el quadrato dela linea .eg. del quadrato dela linea .ed. overo trai el quadrato dela linea
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      .gf. del quadrato dela linea .fd. E quello che rimane è il quadrato dela perpendiculare .dg.,
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      cioé trarai .36. di .100., che rimane .64., la cui radici è la linea .dg., che è .8. et cetera.
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