1spatio se non dal non formare angolo alcuno? E
che ciò sia vero si osservi Euclide che si dichiara espressamente, dicendo,
due linee rette; che se havesse detto simplicemente, due linee non chiudono
spatio, non sarebbe vero; che due linee curve chiudono spatio, formando la
figura binangola; poiché si toccano e formano due angoli. Adunque ‘l
chiuder lo spatio nasce dalla costitution degli angoli adunque dagli angoli
nasce lo spatio rettilineo e curvilineo anchora. Però se avverrà che
si divida lo spatio si divideranno anchora gli angoli qualunque sieno.
AGGIUNTA (1)
Vediamo ora se da altri luoghi di Euclide si può ritrarre, che
ogn’angolo sia divisibile. Nella trentaquattresima del primo afferma,
che gli spatij parallelogrammi si segano per mezzo dal diametro, il quale
taglia ancho gli angoli pel mezzo: e nella descrittione si formano acuti.
Dove dal segamento degli angoli si conclude ‘l segamento dello spatio
parallelogrammo; così convertendo questo detto si può affermare, che dal
segamento dello spatio parallelogrammo si può venire al segamento degli
angoli opposti. La qual cosa serva in confermation delle cose dette.
Nella dimostratione undicesima del 4° si conclude due angoli di un
triangolo equicrure simile a un altro triangolo dato, esser doppij di un
angolo del medesimo triangolo posto nella cima, cioè ciascuno per se stesso
esser doppio del detto angolo: e non si mostra altramente, che col segamento
degli angoli, che sono acuti. Così anchora nella dimostratione della
dodicesima si vede un angolo acuto diviso esser doppio d’un altro acuto,
tutti collocati nel centro d’un cerchio, intorno al quale si è descritto un
pentagono. Nella prop. terza del 6° suppone, che un’angolo
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AGGIUNTA (1) [Oltre acciò habbiamo ‘l Padre Clavio
dalla nostra, il quale nello scholio sopra la IX del I dice: quindi è
manifesto che l’angolo rettilineo si può dividere in quattro angoli uguali,
in 8, in 32, in 64 e così negli altri sempre procedendo per l’agumento del
doppio. Ma Euclide none insegnò in verun luogo in che modo si potesse
dividere un angolo rettilineo in tante parti uguali, in quante altri voglia;
perciò che fine al suo tempo non era stato dimostrato. E pertanto,
per dimostrarlo ci serviremo della dimostratione di Pappo Alessandrino, il
quale prende per mezzo una certa linea curva, nel fine del sesto libro.
Ma se fra tanto con l’operatione del compasso vorremo dividere
qualunque angolo rettilineo si propunga l’angolo BAC. da dividersi in cinque
angoli uguali. Dal ponto A. centro si descriva l’arco BC. il quale
tagli le rette linee AB. AC. in qualunque intervallo. Si divida
l’arco BC. con le seste in tante parti uguali, in quante si ha da dividere
l’angolo BAC e per essempio si divida in cinque parti uguali ne’ ponti D. E.
F. G. Hora se dal centro A. a’ detti punti si tirino le linee rette, sarà
diviso l’angolo BAC. in cinque parti uguali, essendo uguali gl’intervalli
presi col compasso, cioè BD. DE. EF. FG. GC. saranno tutte queste linee
uguali. Adunque i due lati BA. AD. del triangolo BAD. l’uno all’altro
saranno uguali, essendo tutti tirati dal centro per la quindicesima def. del
primo d’Euclide. E la base BD. e la DE. essendo uguali, come s’è
detto; gli angoli DAB. ed EAD. saranno uguali e per la medesima ragione
l’angolo EAD. è uguale all’angolo EAF. e così gli altri. Adunque
tutti gli angoli appresso all’A. sono fra loro uguali per la ventisettesima
del 3°; perciochè le circonferenze BD e DE etc. si son poste uguali.
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