182113HOROLOG. OSCILLATOR.
X V, X K, ipſam K T;
hinc autem relinqui apparet V X
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.& X T: erunt igitur hæ duæ V X, X T ipſi M N æqua-
les, ac proinde ratio K L ad M N eadem quæ V X ad
duas ſimul V X, X T. Ut autem hæc ratio innoteſcat cum
intervallum K L eſt minimum; oportet ſecundum prædicta
inquirere quis ſit locus, ſive linea ad quam ſunt puncta
T, V. Quod ut fiat ſit latus rectum paraboloidis A B F = a;
S K = x; K T = y.
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.& X T: erunt igitur hæ duæ V X, X T ipſi M N æqua-
les, ac proinde ratio K L ad M N eadem quæ V X ad
duas ſimul V X, X T. Ut autem hæc ratio innoteſcat cum
intervallum K L eſt minimum; oportet ſecundum prædicta
inquirere quis ſit locus, ſive linea ad quam ſunt puncta
T, V. Quod ut fiat ſit latus rectum paraboloidis A B F = a;
S K = x; K T = y.
Quia igitur proportionales ſunt K H, K B, K M, eſt-
que H K = {1/2} x: K B ex natura paraboloidis æqualis R.
cub. a x x: fiet K M, hoc eſt K T = {2/3} R. cub. a a x = y,
ac proinde {8/27} a a x = y3. Unde patet locum punctorum T,
V, eſſe paraboloidem illam, quam cubicam vocant geome-
træ. Cui proinde ad T tangens ducetur, ſumptâ S Y duplâ
ipſius S K, junctâque Y T. Et jam quidem ratio V X ad
duas ſimul V X, X T, quam diximus eandem eſſe ac K L
ad M N, erit ea quæ Y K ad utramque ſimul Y K, K T.
Hæc autem ratio data eſt, ergo & ratio K L ad M N. Sed
& rationem O B ad P B datam eſſe oſtenſum eſt. Ergo,
cum ex duabus hiſce componatur ratio B D ad D M, ut ſu-
pra patuit, dabitur & hæc; & dividendo, ratio B M ad
M D; adeoque & punctum D in curva D E.
que H K = {1/2} x: K B ex natura paraboloidis æqualis R.
cub. a x x: fiet K M, hoc eſt K T = {2/3} R. cub. a a x = y,
ac proinde {8/27} a a x = y3. Unde patet locum punctorum T,
V, eſſe paraboloidem illam, quam cubicam vocant geome-
træ. Cui proinde ad T tangens ducetur, ſumptâ S Y duplâ
ipſius S K, junctâque Y T. Et jam quidem ratio V X ad
duas ſimul V X, X T, quam diximus eandem eſſe ac K L
ad M N, erit ea quæ Y K ad utramque ſimul Y K, K T.
Hæc autem ratio data eſt, ergo & ratio K L ad M N. Sed
& rationem O B ad P B datam eſſe oſtenſum eſt. Ergo,
cum ex duabus hiſce componatur ratio B D ad D M, ut ſu-
pra patuit, dabitur & hæc; & dividendo, ratio B M ad
M D; adeoque & punctum D in curva D E.
Ad conſtructionem autem breviſſimam hoc pacto hic per-
veniemus. K T ſive K M dicta fuit y. Itaque M H erit y
+ {3/2} x. Et M H ad H K, ſive O B ad B P, ut y + {3/2} x
ad {3/2} x. ſive, ſumptis omnium duplis, ut 2 y + 3 x ad 3 x.
Deinde quia Y K = 3 x, erit Y K ad Y K + K T, ſi-
ve per prædicta, K L ad M N, ut 3 x ad 3 x + y. Atqui
ex rationibus O B ad B P, & K L ad M N, componi di-
ximus rationem B D ad D M. Ergo ratio B D ad D M erit
compoſita ex rationibus 2 y + 3 x ad 3 x, & 3 x ad 3 x
+ y; ideoque erit ea quæ 2 y + 3 x ad 3 x + y. & divi-
dendo, ratio B M ad M D, eadem quæ y ad 3 x + y.
veniemus. K T ſive K M dicta fuit y. Itaque M H erit y
+ {3/2} x. Et M H ad H K, ſive O B ad B P, ut y + {3/2} x
ad {3/2} x. ſive, ſumptis omnium duplis, ut 2 y + 3 x ad 3 x.
Deinde quia Y K = 3 x, erit Y K ad Y K + K T, ſi-
ve per prædicta, K L ad M N, ut 3 x ad 3 x + y. Atqui
ex rationibus O B ad B P, & K L ad M N, componi di-
ximus rationem B D ad D M. Ergo ratio B D ad D M erit
compoſita ex rationibus 2 y + 3 x ad 3 x, & 3 x ad 3 x
+ y; ideoque erit ea quæ 2 y + 3 x ad 3 x + y. & divi-
dendo, ratio B M ad M D, eadem quæ y ad 3 x + y.