183163LIBER SECVNDVS.
in eodem horologio, qui angulo D H F, æqualis eſt.
Quod hac ratione oſtendemus.
Ducta recta
D K, erit D K, ipſi D F, æqualis; propterea quòd latera I D, I F, trianguli D I F, lateribus I D, I K,
114. primi. trianguli D I K, æqualia ſint, angulosq́; contineant æquales, nimirum rectos. Quoniam igitur la-
tera D H, D F, trianguli D H F, in horologio, lateribus D H, D k, trianguli D H k, in eodem horo-
logio æqualia ſunt, angulosq́; continent æquales, vtpote rectos; Eſt enim axis H D, rectus exiſtens
ad planum Aequatoris, ad rectas D F, D K, in plano eodem Aequatoris exiſtentes perpendicularis,
ex defin. 3. lib. 11. Euclidis; æquales erunt anguli D H F, D H k) erit quoque reliquus X H D, in
dicta figura reliquo D H X, in horologio æqualis; & ſic de aliis. Quæ cum ita ſint, coniungetur
recta H X, dictæ figuræ cum recta H X, horologii, in illa circumuolutione radiorum, propter an-
gulo rum æqualitatem, quos rectę H X, H X, faciunt cum axe H D, & c. Eademq́; eſt ratio de cæte-
2210 ris. Conſtat igitur Ioan. Baptiſtam Benedictum in ſua Gnomonica immerito deſcriptionẽ hanc
arcuum ſignorum reprehendere.
D K, erit D K, ipſi D F, æqualis; propterea quòd latera I D, I F, trianguli D I F, lateribus I D, I K,
114. primi. trianguli D I K, æqualia ſint, angulosq́; contineant æquales, nimirum rectos. Quoniam igitur la-
tera D H, D F, trianguli D H F, in horologio, lateribus D H, D k, trianguli D H k, in eodem horo-
logio æqualia ſunt, angulosq́; continent æquales, vtpote rectos; Eſt enim axis H D, rectus exiſtens
ad planum Aequatoris, ad rectas D F, D K, in plano eodem Aequatoris exiſtentes perpendicularis,
ex defin. 3. lib. 11. Euclidis; æquales erunt anguli D H F, D H k) erit quoque reliquus X H D, in
dicta figura reliquo D H X, in horologio æqualis; & ſic de aliis. Quæ cum ita ſint, coniungetur
recta H X, dictæ figuræ cum recta H X, horologii, in illa circumuolutione radiorum, propter an-
gulo rum æqualitatem, quos rectę H X, H X, faciunt cum axe H D, & c. Eademq́; eſt ratio de cæte-
2210 ris. Conſtat igitur Ioan. Baptiſtam Benedictum in ſua Gnomonica immerito deſcriptionẽ hanc
arcuum ſignorum reprehendere.
PORRO deſcriptis hyperbolis borealium ſignorum, hoc eſt, quæ inter centrum H, &
æqui-
33Quomodo ex
hyperbolis ſi-
gnorum borea-
lium deſcriban
tur hyperbolæ
auſtraliũ ſign@@
ium. noctialem lineam continentur, deſcribemus accuratius hyperbolas oppoſitas ſignorum auſtraliũ,
id eſt, quæ ex altera parte lineæ æquinoctialis deſcribuntur, (quoniam hæ difficilius deſcribentur,
quòd puncta in lineis horarijs vltra lineam æquinoctialem, per quæ ducendæ ſunt, magis inter ſe
diſtent, quàm citra lineam æquinoctialem) hac ratione. Inuenta diametro transuerſa oppoſita-
rum ſectionum in linea meridiana horologij, quæ quidem æqualis ſemper eſt portioni rectę H B,
in figura radiorum inter radios ſignorum oppoſitorum interceptæ, (quemadmodum in horolo-
gio recta K N, diameter eſt oppoſitarum ſectionum ♋, & ♑, atque ęqualis portioni μ a, rectæ
4420 H B, in figura radiorum inter radios ♋, & ♑, interiectæ) diuidemus eam bifariam, vt habeamus
centrum oppoſitarum ſectionum, ſecundum doctrinam Apollonii in ſecundis definitionibus lib.
1. conicorum elementorum. Deinde quia per propoſ. 30. lib. 1. Apollonii, recta linea quæcunque
per centrum oppoſitarum ſectionum ducta in centro ſecatur bifariam, ducemus ex punctis linea-
rum horariarum ſupra lineam ęquinoctialem, per quæ hyperbolæ boreales tranſeunt, per centrũ
inuentum lineas occultas. Si enim ſegmentis illarum inter dicta puncta, & centrum poſitis ab-
ſcindamus infra centrum dictum lineas ęquales, habebimus in lineis illis occultis puncta, per quæ
hyperbolæ auſtrales ducendæ ſunt. Qua arte, & induſtria vtemur quoque in ſequentibus horolo-
giis, in quibus oppoſitæ hyperbolæ deſcribendę erunt, ſiue illæ ſint parallelorum Æquatoris per
initia ſignorum Zodiaci ductorum, ſiue parallelorum Horizontis.
553033Quomodo ex
hyperbolis ſi-
gnorum borea-
lium deſcriban
tur hyperbolæ
auſtraliũ ſign@@
ium. noctialem lineam continentur, deſcribemus accuratius hyperbolas oppoſitas ſignorum auſtraliũ,
id eſt, quæ ex altera parte lineæ æquinoctialis deſcribuntur, (quoniam hæ difficilius deſcribentur,
quòd puncta in lineis horarijs vltra lineam æquinoctialem, per quæ ducendæ ſunt, magis inter ſe
diſtent, quàm citra lineam æquinoctialem) hac ratione. Inuenta diametro transuerſa oppoſita-
rum ſectionum in linea meridiana horologij, quæ quidem æqualis ſemper eſt portioni rectę H B,
in figura radiorum inter radios ſignorum oppoſitorum interceptæ, (quemadmodum in horolo-
gio recta K N, diameter eſt oppoſitarum ſectionum ♋, & ♑, atque ęqualis portioni μ a, rectæ
4420 H B, in figura radiorum inter radios ♋, & ♑, interiectæ) diuidemus eam bifariam, vt habeamus
centrum oppoſitarum ſectionum, ſecundum doctrinam Apollonii in ſecundis definitionibus lib.
1. conicorum elementorum. Deinde quia per propoſ. 30. lib. 1. Apollonii, recta linea quæcunque
per centrum oppoſitarum ſectionum ducta in centro ſecatur bifariam, ducemus ex punctis linea-
rum horariarum ſupra lineam ęquinoctialem, per quæ hyperbolæ boreales tranſeunt, per centrũ
inuentum lineas occultas. Si enim ſegmentis illarum inter dicta puncta, & centrum poſitis ab-
ſcindamus infra centrum dictum lineas ęquales, habebimus in lineis illis occultis puncta, per quæ
hyperbolæ auſtrales ducendæ ſunt. Qua arte, & induſtria vtemur quoque in ſequentibus horolo-
giis, in quibus oppoſitæ hyperbolæ deſcribendę erunt, ſiue illæ ſint parallelorum Æquatoris per
initia ſignorum Zodiaci ductorum, ſiue parallelorum Horizontis.
HÆC ratio deſcribendarum hyperbolarum auſtralium ſignorum ex hyperbolis ſignorũ bo-
realium planius intelligetur ex ſequenti figura: In qua diameter oppoſitarum hyperbolarum eſt
D E, & centrum earum punctum F. Si igitur ex puncto K, ſuperioris hyperbolæ ducatur per cen-
trum F, recta K F N, abſcindaturq́; F N, ipſi F K, æqualis, ducenda erit per punctum N, hyperbola
oppoſita; quandoquidem ex propoſ. 30. lib. 1. Apolì. recta F k, æqualis eſt ſegmento eiuſdem re-
ctæ vltra F, extenſæ inter F, centrum & oppoſitam hyperbolam comprehenſo. Sic etiam, ducta
recta L F M, ſi rectæ F L, abſcindatur recta F M, ducenda erit oppoſita hyperbole per punctum M;
& ſic de cæteris. Ducendæ porro erunt, meo iudicio, rectæ per centrum hyperbolarum oppoſita-
rum ex illis punctis borealium hyperbolarum, per quæ tranſeunt lineæ horariæ: quoniã illa pun-
cta per conſtructionem ſunt inuenta. Vnde accuratius per illa deſcribemus hyperbolam oppoſi-
6640 tam, quàm per alia puncta inter illa intermedia, quæ non ſunt per conſtructionem inuenta, ſed
per coniecturam.
realium planius intelligetur ex ſequenti figura: In qua diameter oppoſitarum hyperbolarum eſt
D E, & centrum earum punctum F. Si igitur ex puncto K, ſuperioris hyperbolæ ducatur per cen-
trum F, recta K F N, abſcindaturq́; F N, ipſi F K, æqualis, ducenda erit per punctum N, hyperbola
oppoſita; quandoquidem ex propoſ. 30. lib. 1. Apolì. recta F k, æqualis eſt ſegmento eiuſdem re-
ctæ vltra F, extenſæ inter F, centrum & oppoſitam hyperbolam comprehenſo. Sic etiam, ducta
recta L F M, ſi rectæ F L, abſcindatur recta F M, ducenda erit oppoſita hyperbole per punctum M;
& ſic de cæteris. Ducendæ porro erunt, meo iudicio, rectæ per centrum hyperbolarum oppoſita-
rum ex illis punctis borealium hyperbolarum, per quæ tranſeunt lineæ horariæ: quoniã illa pun-
cta per conſtructionem ſunt inuenta. Vnde accuratius per illa deſcribemus hyperbolam oppoſi-
6640 tam, quàm per alia puncta inter illa intermedia, quæ non ſunt per conſtructionem inuenta, ſed
per coniecturam.
FACILE autem ex propoſ.
6.
ſuperioris lib.
cognoſcemus, quinam paralleli faciant in ho-
rologio ſectiones oppoſitas, hoc eſt, hyperbolas, vel alias ſectiones. In ſolas enim hyperbolas qua-
drat prædicta ratio. Quod tamen etiam ex figura radiorum Zodiaci paulo ante deſcripta ita eli-
77Quomodo co-
gnoſcatur, an a@
cus ſignorũ ſint
hyper@olæ, pa-
rabolæ, aut elli-
pſes. ciemus. Quotieſcunque recta H B, in dicta figura ſecat duos radios ſignorum oppoſitorum, hoc
eſt, radios æqualiter hinc inde à radio Æquatoris diſtantes, quales ſunt radij ♋, & ♑; ♊, & ♐; ♉,
& ♏, & c. arcus, ſeu paralleli illorum oppoſitorum ſignorum ſunt hyperbolæ oppoſitæ. Quoniam
enim in triangulo D H a, angulus externus A D a, maior eſt interno oppoſito D H a; eſt autem an-
8816. primi. gulus A D a, complemento declinationis paralleli, cuius radius D a, atque adeò & oppoſiti, cuius
9950 radius D μ, æqualis; angulus autem D H a, altitudini poli ſupra Horizontem æqualis eſt, ſecabit
Horizon vtrumque parallelum radiorũ D a, D μ, vt in coroll propoſ. 6. ſuperioris lib. docuimus.
Quare per eandem@propoſ. 6. arcus illorum ſignorum hyperbolæ ſunt oppoſitæ, & ęquales. Quan-
do verò recta H B, non ſecat vtrumque radium ſignorum oppoſitorum, ſed vni æquidiſtat, & alte-
rum ſecat; erit arcus illius ſigni, cuius radius ſecatur, Parabola. Quoniam enim tunc externus
angulus A D a, cõplementi declinationis, æqualis eſt interno angulo D H μ, altitudinis poli, quòd
101029. primi. H μ, D a, parallelæ ponantur; tanget Horizon, ex coroll. propoſ. 5. antecedentis lib. vtrumque pa-
rallelorum oppoſitorum. Quare per eandem propoſ. 5. arcus alterius, cuius radius ſecatur, Para-
bole erit. Quando denique recta H B, neque vtrumque radium oppoſitorum ſignorum ſecat, neq;
vni æquidiſtat, ſed vnum quidem ſecat, ab altero autem ſemper magis, ac magis recedit, erit arcus
illius ſigni, cuius radius ſecatur, Ellipſis. Nam quia tunc angulus A D a, complementi
rologio ſectiones oppoſitas, hoc eſt, hyperbolas, vel alias ſectiones. In ſolas enim hyperbolas qua-
drat prædicta ratio. Quod tamen etiam ex figura radiorum Zodiaci paulo ante deſcripta ita eli-
77Quomodo co-
gnoſcatur, an a@
cus ſignorũ ſint
hyper@olæ, pa-
rabolæ, aut elli-
pſes. ciemus. Quotieſcunque recta H B, in dicta figura ſecat duos radios ſignorum oppoſitorum, hoc
eſt, radios æqualiter hinc inde à radio Æquatoris diſtantes, quales ſunt radij ♋, & ♑; ♊, & ♐; ♉,
& ♏, & c. arcus, ſeu paralleli illorum oppoſitorum ſignorum ſunt hyperbolæ oppoſitæ. Quoniam
enim in triangulo D H a, angulus externus A D a, maior eſt interno oppoſito D H a; eſt autem an-
8816. primi. gulus A D a, complemento declinationis paralleli, cuius radius D a, atque adeò & oppoſiti, cuius
9950 radius D μ, æqualis; angulus autem D H a, altitudini poli ſupra Horizontem æqualis eſt, ſecabit
Horizon vtrumque parallelum radiorũ D a, D μ, vt in coroll propoſ. 6. ſuperioris lib. docuimus.
Quare per eandem@propoſ. 6. arcus illorum ſignorum hyperbolæ ſunt oppoſitæ, & ęquales. Quan-
do verò recta H B, non ſecat vtrumque radium ſignorum oppoſitorum, ſed vni æquidiſtat, & alte-
rum ſecat; erit arcus illius ſigni, cuius radius ſecatur, Parabola. Quoniam enim tunc externus
angulus A D a, cõplementi declinationis, æqualis eſt interno angulo D H μ, altitudinis poli, quòd
101029. primi. H μ, D a, parallelæ ponantur; tanget Horizon, ex coroll. propoſ. 5. antecedentis lib. vtrumque pa-
rallelorum oppoſitorum. Quare per eandem propoſ. 5. arcus alterius, cuius radius ſecatur, Para-
bole erit. Quando denique recta H B, neque vtrumque radium oppoſitorum ſignorum ſecat, neq;
vni æquidiſtat, ſed vnum quidem ſecat, ab altero autem ſemper magis, ac magis recedit, erit arcus
illius ſigni, cuius radius ſecatur, Ellipſis. Nam quia tunc angulus A D a, complementi