187 tis quantitatis ad materiã eſſet rarū: et bipedale
in cuiꝰ vna medietate eſſet ꝓportio dupla quãtita-
tis ad materiã et in alia eſſet ꝓportio dupla mate-
rie ad quantitatē eſſet denſum et nõ rarū et bipeda
le in cuiꝰ vna medietate eſſet ꝓportio dupla quan-
titatis ad materiã: et in alia eſſe ꝓportio ſexq̇al-
ra materie ad quantitatē nec eſſet rarū nec denſuꝫ /
ſed cõſequēs videtur falſum: igr̄ illud ex quo ſequit̄̄
Seq̄la ꝓbatur / qm̄ ſi in vna medietate bipedalis eſt
ꝓportio dupla quantitatis ad materiaꝫ: et in alia
ꝓportio equalitatis cū vtra medietas bipedalis
ex dictis habeat quatuor gradus quantitatis: ſe-
quitur / vna medietas illiꝰ bipedalis hꝫ duos g̈dꝰ
materie, et altera .4. / et ꝑ ↄ̨ñs totum illud bipedale
hꝫ ſex gradus materie et hꝫ .8. quãtitatis: g̊ in eo eſt
ꝓportio maioris inequalitatis quãtitatis ad ma-
teriã / et ꝑ ↄ̨ñs ipſū eſt rarū / et ſic ptꝫ prima pars illa
ti. Secūda pars ꝓbatur / qm̄ ſi vna medietas bipe-
dalis ita ſe hꝫ in ea eſt ꝓportio dupla quautita-
tis ad materiã, et in reliqua materie ad quantitatē
et vtra medietas bipedalis hꝫ q̈tuor gradꝰ quãti
tatis / ſequit̄̄ / vna medietas illiꝰ bipedalis habet
duos gradus materie et reliqua hꝫ octo: et ꝑ conſe-
quens materia illiꝰ bipedalis eſt vt decē, et quanti-
tas eſt vt octo: igr̄ in hoc bipedali eſt ꝓportio ma-
ioris inequalitatis materie ad quantitatē hoc igr̄
fidē facit illud bipedale denſum eſſe. Et ꝑ hoc etiaꝫ
ptꝫ tertia pars: qm̄ in tali bipedali (ſi bene calcula
ueris) reperies octo gradus materie gradibꝰ quã-
titatꝪ equari. Quare illud bipedale nec rarum nec
denſum erit / quod fuit ꝓbãdū. Sed iã ꝓbo falſita
tem cõſequentis: qm̄ illud bipedale in cuiꝰ vna me-
dietate eſt dupla ꝓportio quantitatis ad materiã
et in alia eſt dupla ꝓportio materie ad quantitatē
hꝫ vnã medietatē rarã vt duo: et aliū denſaꝫ vt duo
volo em̄ / ꝓportio dupla nata ſit ꝓducere rarita
tem vt duo, et etiã denſitatē vt duo Nec valet hoc ne
gari: q2 aliqua ꝓportio nata eſt ꝓducere raritateꝫ
vt duo: et aliqua denſitatē vt duo: ponãtur igr̄ ille
ꝓportiones in illis medietatibꝰ et ſic ſemꝑ ꝓcedit
argumentū: igr̄ illud bipedale nec eſt rarū, nec dē-
ſum. Ptꝫ hec cõſequētia a ſimili: qm̄ ſi vniꝰ bipeda
lis vna medietas eſſet calida vt duo et altera frigi-
da vt duo: illud nec eſſet calidum nec frigidum. Et
ſic facile eſt inferre oppoſitum aliarum partium.
in cuiꝰ vna medietate eſſet ꝓportio dupla quãtita-
tis ad materiã et in alia eſſet ꝓportio dupla mate-
rie ad quantitatē eſſet denſum et nõ rarū et bipeda
le in cuiꝰ vna medietate eſſet ꝓportio dupla quan-
titatis ad materiã: et in alia eſſe ꝓportio ſexq̇al-
ra materie ad quantitatē nec eſſet rarū nec denſuꝫ /
ſed cõſequēs videtur falſum: igr̄ illud ex quo ſequit̄̄
Seq̄la ꝓbatur / qm̄ ſi in vna medietate bipedalis eſt
ꝓportio dupla quantitatis ad materiaꝫ: et in alia
ꝓportio equalitatis cū vtra medietas bipedalis
ex dictis habeat quatuor gradus quantitatis: ſe-
quitur / vna medietas illiꝰ bipedalis hꝫ duos g̈dꝰ
materie, et altera .4. / et ꝑ ↄ̨ñs totum illud bipedale
hꝫ ſex gradus materie et hꝫ .8. quãtitatis: g̊ in eo eſt
ꝓportio maioris inequalitatis quãtitatis ad ma-
teriã / et ꝑ ↄ̨ñs ipſū eſt rarū / et ſic ptꝫ prima pars illa
ti. Secūda pars ꝓbatur / qm̄ ſi vna medietas bipe-
dalis ita ſe hꝫ in ea eſt ꝓportio dupla quautita-
tis ad materiã, et in reliqua materie ad quantitatē
et vtra medietas bipedalis hꝫ q̈tuor gradꝰ quãti
tatis / ſequit̄̄ / vna medietas illiꝰ bipedalis habet
duos gradus materie et reliqua hꝫ octo: et ꝑ conſe-
quens materia illiꝰ bipedalis eſt vt decē, et quanti-
tas eſt vt octo: igr̄ in hoc bipedali eſt ꝓportio ma-
ioris inequalitatis materie ad quantitatē hoc igr̄
fidē facit illud bipedale denſum eſſe. Et ꝑ hoc etiaꝫ
ptꝫ tertia pars: qm̄ in tali bipedali (ſi bene calcula
ueris) reperies octo gradus materie gradibꝰ quã-
titatꝪ equari. Quare illud bipedale nec rarum nec
denſum erit / quod fuit ꝓbãdū. Sed iã ꝓbo falſita
tem cõſequentis: qm̄ illud bipedale in cuiꝰ vna me-
dietate eſt dupla ꝓportio quantitatis ad materiã
et in alia eſt dupla ꝓportio materie ad quantitatē
hꝫ vnã medietatē rarã vt duo: et aliū denſaꝫ vt duo
volo em̄ / ꝓportio dupla nata ſit ꝓducere rarita
tem vt duo, et etiã denſitatē vt duo Nec valet hoc ne
gari: q2 aliqua ꝓportio nata eſt ꝓducere raritateꝫ
vt duo: et aliqua denſitatē vt duo: ponãtur igr̄ ille
ꝓportiones in illis medietatibꝰ et ſic ſemꝑ ꝓcedit
argumentū: igr̄ illud bipedale nec eſt rarū, nec dē-
ſum. Ptꝫ hec cõſequētia a ſimili: qm̄ ſi vniꝰ bipeda
lis vna medietas eſſet calida vt duo et altera frigi-
da vt duo: illud nec eſſet calidum nec frigidum. Et
ſic facile eſt inferre oppoſitum aliarum partium.
Tertio ad idē argr̄.
Si hec opinio eēt
vera ſeq̄retur / rarum difformiter difforme cuius
vtra medietas eſſet vniformis nõ correſponderet
ſuo gradui medio: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud
ex quo ſequitur. Falſitas cõſequētis oſtenditur: q2
oē qualificatū vniformiter difforme correſpondet
ſuo gradui medio: et etiã difformiter difforme cuiꝰ
vtra medietas eſt vniformis: igr̄ a ſimili ita d3
eſſe ꝓpoſito. Seq̄la ꝓbatur. et capio vnū bipedale
in cuiꝰ vna medietate ſit ꝓportio dupla quãtitatis
ad materiã, et in alia medietate ſit ꝓportio quadru
pla, et volo / ꝓportioni dupla correſpondeãt duo
gradus raritatis, et ex hoc quadruple quatuor: ita
vna medietas ſit rara vt duo, et alia vt quatuor
Quo poſito ſic argumentor: illud bipedale eſt dif-
formiter difforme cuiꝰ vtra medietas eſt vnifor-
mis, et eiꝰ raritas nõ correſpondet ſuo gradui me-
dio: igr̄ ꝓpoſitū. Argr̄ minor / qm̄ ſi eiꝰ raritas cor-
reſponderet ſuo gradui medio: ipſa eſſet vt tria vt
ſatis ptꝫ, nã gradus vt tria eſt medius inter q̈tuor
et duo: ſed hoc eſt falſum: igr̄. Cuiꝰ cõſequētis falſi-
tas oſtenditur qm̄ raritas vt tria q̄ eſt ſexquialtera
ad raritatē vt duo correſpondet ꝓportioni ſexq̇al
tere ad ꝓportionē duplã que ꝓportio ſexquialtera
vcꝫ ad duplã eſt ꝓportio irrationalis / vt ptꝫ ex ſecū
da parte huiꝰ operis: ſed quãtitatis illiꝰ bipedalis
ad ſuã materiã nõ eſt ꝓportio irrationalis que eſt
ſexquialtera ad duplã: g̊ ſequitur / raritas illius
bipedalis nõ eſt vt tria. Ptꝫ hoc cõſequentia / qm̄ ra
ritas vt tria non eſt nata ꝓuenire niſi a ꝓportione
ſexquialtera ad duplã. Secundū / em̄ hanc opinio-
nē in quacū ꝓportione ſe habent raritates ad in
uicē in eadē ꝓportione ſe habent ꝓportiones a qui
bus ꝓueniūt. Sed iam ꝓbo / quantitatis illiꝰ bi-
pedalis ad ſuã materiã nõ ſit ꝓportio irratiõalis
que ſit ſexquialtera ad duplã: qm̄ materia vniꝰ me
dietatis eſt duoꝝ graduū puta illiꝰ in qua eſt ꝓpor
tio dupla quantitatis ad materiã: et materia alte-
rius medietatis eſt vniꝰ gradus, et ſic tota materia
eſt vt tria quantitas vero vt octo, qm̄ vna quarta
pedalis eſt vnꝰ gradus quantitatis vt predictū eſt
modo .8. ad .3. eſt ꝓportio dupla ſuꝑbipartiens ter
tias q̄ eſt minor ꝙ̄ ſexquialtera ad duplã. Cõtinet
em̄ duplã et ſexquitertiã adequate ſupra duplam et
ſexquitertia eſt minor ꝙ̄ medietas duple vt patꝫ ex
ſecūda parte huius operis: g̊ cõtinet duplã, et minꝰ
̄ medietatē duple adequate: , ꝑ cõſequēs eſt mīor
̄ ſexquialtera ad duplã. Itē ſexquialtera ad du-
plam eſt irrationalis / vt dictū eſt iſta vero: eſt rati-
onalis: g̊ nõ eſt ſexquialtera ad duplã / quod fuit ꝓ-
banduꝫ. Nec valet dicere / non oportet ſic ſignare
gradus quantitatis aut materiae q2 quocū modo
ſignētur ſemꝑ erit ꝓportio rationalis quãtitatis
ad materiã in tali caſu et iſta raritas vt tria non eſt
nata ꝓuenire ꝓportione aliqua rationali: eſto
raritas vt duo nata ſit produci a ꝓportiõe dupla.
vera ſeq̄retur / rarum difformiter difforme cuius
vtra medietas eſſet vniformis nõ correſponderet
ſuo gradui medio: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud
ex quo ſequitur. Falſitas cõſequētis oſtenditur: q2
oē qualificatū vniformiter difforme correſpondet
ſuo gradui medio: et etiã difformiter difforme cuiꝰ
vtra medietas eſt vniformis: igr̄ a ſimili ita d3
eſſe ꝓpoſito. Seq̄la ꝓbatur. et capio vnū bipedale
in cuiꝰ vna medietate ſit ꝓportio dupla quãtitatis
ad materiã, et in alia medietate ſit ꝓportio quadru
pla, et volo / ꝓportioni dupla correſpondeãt duo
gradus raritatis, et ex hoc quadruple quatuor: ita
vna medietas ſit rara vt duo, et alia vt quatuor
Quo poſito ſic argumentor: illud bipedale eſt dif-
formiter difforme cuiꝰ vtra medietas eſt vnifor-
mis, et eiꝰ raritas nõ correſpondet ſuo gradui me-
dio: igr̄ ꝓpoſitū. Argr̄ minor / qm̄ ſi eiꝰ raritas cor-
reſponderet ſuo gradui medio: ipſa eſſet vt tria vt
ſatis ptꝫ, nã gradus vt tria eſt medius inter q̈tuor
et duo: ſed hoc eſt falſum: igr̄. Cuiꝰ cõſequētis falſi-
tas oſtenditur qm̄ raritas vt tria q̄ eſt ſexquialtera
ad raritatē vt duo correſpondet ꝓportioni ſexq̇al
tere ad ꝓportionē duplã que ꝓportio ſexquialtera
vcꝫ ad duplã eſt ꝓportio irrationalis / vt ptꝫ ex ſecū
da parte huiꝰ operis: ſed quãtitatis illiꝰ bipedalis
ad ſuã materiã nõ eſt ꝓportio irrationalis que eſt
ſexquialtera ad duplã: g̊ ſequitur / raritas illius
bipedalis nõ eſt vt tria. Ptꝫ hoc cõſequentia / qm̄ ra
ritas vt tria non eſt nata ꝓuenire niſi a ꝓportione
ſexquialtera ad duplã. Secundū / em̄ hanc opinio-
nē in quacū ꝓportione ſe habent raritates ad in
uicē in eadē ꝓportione ſe habent ꝓportiones a qui
bus ꝓueniūt. Sed iam ꝓbo / quantitatis illiꝰ bi-
pedalis ad ſuã materiã nõ ſit ꝓportio irratiõalis
que ſit ſexquialtera ad duplã: qm̄ materia vniꝰ me
dietatis eſt duoꝝ graduū puta illiꝰ in qua eſt ꝓpor
tio dupla quantitatis ad materiã: et materia alte-
rius medietatis eſt vniꝰ gradus, et ſic tota materia
eſt vt tria quantitas vero vt octo, qm̄ vna quarta
pedalis eſt vnꝰ gradus quantitatis vt predictū eſt
modo .8. ad .3. eſt ꝓportio dupla ſuꝑbipartiens ter
tias q̄ eſt minor ꝙ̄ ſexquialtera ad duplã. Cõtinet
em̄ duplã et ſexquitertiã adequate ſupra duplam et
ſexquitertia eſt minor ꝙ̄ medietas duple vt patꝫ ex
ſecūda parte huius operis: g̊ cõtinet duplã, et minꝰ
̄ medietatē duple adequate: , ꝑ cõſequēs eſt mīor
̄ ſexquialtera ad duplã. Itē ſexquialtera ad du-
plam eſt irrationalis / vt dictū eſt iſta vero: eſt rati-
onalis: g̊ nõ eſt ſexquialtera ad duplã / quod fuit ꝓ-
banduꝫ. Nec valet dicere / non oportet ſic ſignare
gradus quantitatis aut materiae q2 quocū modo
ſignētur ſemꝑ erit ꝓportio rationalis quãtitatis
ad materiã in tali caſu et iſta raritas vt tria non eſt
nata ꝓuenire ꝓportione aliqua rationali: eſto
raritas vt duo nata ſit produci a ꝓportiõe dupla.
Quarto argr̄ ſic.
Si iſta opinio eſſet
vera ſeq̄retur / nõ poſſet dari cui g̈dus correſpõ-
deat raritas vniꝰ pedalis ſic ſe habentis prima
pars ꝓportionalis eiꝰ ſit aliq̈liter rara et ſcḋa in
duplo, tertia in triplo, quarta in quadruplo ꝙ̄ pri
ma, et ſic cõſequenter: ſed conſequēs eſt falſum: igr̄.
Itē ſeq̄retur / nõ poſſet dari cui correſpõderet ra-
ritas pedalis cuiꝰ prima pars ꝓportionalis ꝓpor
tiõe dupla eſſet aliqualiter rara, ſecūda in duplo,
tertia in quadruplo ꝙ̄ prima et quarta, in octuplo
et quīta in ſexdecuplo: et ſic couſequenter : proceden
do per numeros pariter parer: ſed hoc videtur ab-
ſurdum: igr̄. Seq̄la ptꝫ / qm̄ ad īueniendū in ſimili-
bus caſibꝰ raritatē adequatã taliū corpoꝝ oportet
ad īuenire materiã totalē totiꝰ corporis, et tūc vide
re in qua ꝓportione ſe hꝫ quantitas illiꝰ corporis
ad illã materiã: et ex hoc raritatē talis corporis di
iudicare: ſed nõ eſt modus īueniēdi in talibꝰ et ſimi-
libus caſibꝰ materiã totius corporis: etiã ad inuen
ta et ſcita materia prime partis ꝓportionalis: igr̄
nõ põt ſciri totalis raritas illoꝝ corpoꝝ ſic diffor-
miū in raritate. Sꝫ iam ꝓbo / nõ põt materia illiꝰ
corporis īueſtigari, qm̄ cõtinue materia partis ꝓ-
portionalis ſequentis eſt minor materia partis ī-
mediate p̄cedentis. Et in nulla certa ꝓportione cõ-
tinuo minor: ſed cõtinuo in alia et in alia: et ſunt iſte
materie partiales infinite: igr̄ nõ apparet modus
quo totalis materia menſuretur: igitur.
vera ſeq̄retur / nõ poſſet dari cui g̈dus correſpõ-
deat raritas vniꝰ pedalis ſic ſe habentis prima
pars ꝓportionalis eiꝰ ſit aliq̈liter rara et ſcḋa in
duplo, tertia in triplo, quarta in quadruplo ꝙ̄ pri
ma, et ſic cõſequenter: ſed conſequēs eſt falſum: igr̄.
Itē ſeq̄retur / nõ poſſet dari cui correſpõderet ra-
ritas pedalis cuiꝰ prima pars ꝓportionalis ꝓpor
tiõe dupla eſſet aliqualiter rara, ſecūda in duplo,
tertia in quadruplo ꝙ̄ prima et quarta, in octuplo
et quīta in ſexdecuplo: et ſic couſequenter : proceden
do per numeros pariter parer: ſed hoc videtur ab-
ſurdum: igr̄. Seq̄la ptꝫ / qm̄ ad īueniendū in ſimili-
bus caſibꝰ raritatē adequatã taliū corpoꝝ oportet
ad īuenire materiã totalē totiꝰ corporis, et tūc vide
re in qua ꝓportione ſe hꝫ quantitas illiꝰ corporis
ad illã materiã: et ex hoc raritatē talis corporis di
iudicare: ſed nõ eſt modus īueniēdi in talibꝰ et ſimi-
libus caſibꝰ materiã totius corporis: etiã ad inuen
ta et ſcita materia prime partis ꝓportionalis: igr̄
nõ põt ſciri totalis raritas illoꝝ corpoꝝ ſic diffor-
miū in raritate. Sꝫ iam ꝓbo / nõ põt materia illiꝰ
corporis īueſtigari, qm̄ cõtinue materia partis ꝓ-
portionalis ſequentis eſt minor materia partis ī-
mediate p̄cedentis. Et in nulla certa ꝓportione cõ-
tinuo minor: ſed cõtinuo in alia et in alia: et ſunt iſte
materie partiales infinite: igr̄ nõ apparet modus
quo totalis materia menſuretur: igitur.
Quīto argr̄.
Si iſta optnio eſſet vera
ſeq̄retur / raritas diceretur poſitue eodeꝫ modo
quo denſitas cū nõ ſit maior ratio de raritate ꝙ̄ de
denſitate: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud ex quo
ſequitur. Falſitas cõſequētis oſtenditur / qm̄ ſi ra-
ritas diceretur poſitiue ſequeret̄̄ / poſſet dari vnū
finitū īfinite rarū: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud
ex quo ſequitur. Falſitas huiꝰ cõſequentis oſtendit̄̄
ſeq̄retur / raritas diceretur poſitue eodeꝫ modo
quo denſitas cū nõ ſit maior ratio de raritate ꝙ̄ de
denſitate: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud ex quo
ſequitur. Falſitas cõſequētis oſtenditur / qm̄ ſi ra-
ritas diceretur poſitiue ſequeret̄̄ / poſſet dari vnū
finitū īfinite rarū: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud
ex quo ſequitur. Falſitas huiꝰ cõſequentis oſtendit̄̄