1ditonus: bis diapaſon aut quindecim uo cibus.
Omnes igitur decem, &
ſeptem uoces, quae ſexdecim interuallis diſtinguuntur, conſonantes ſunt: & ex
genere ditoni, & ſexquiquartæ, ſed paulo minus benè ſonant quod ditonus
ipſe. Igitur quintuplam multiplicem ad ſex quiquartam reduximus. Verum
ut oſtenſum eſt & decimaſeptima, quae bis diapaſon conſtat, & ſemiditono
benè ſonat, hęc aut inter nonaginta ſex & uiginti: quadrupla igitur eſt &
ſuperquadripartiens quintas. Diapaſon quo que cum ſexta maiore & mi
nore eandem habent rationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utranque,
ſed altera ſexquiquinta, altera ſexquitertia: bis diapaſon uerò cum eiſdem
ut uiginti ad tria, & 32 ad quin que ſexcupla utraque: ſed altera ſuperbipar
tiens tertias, altera quintas. Manifeſtum eſt igitur hanc diuiſionem non ſo
lum concinnam magis eſſe & ſuauem ſed omnem tonorum & ſemitonio
rum neceſsitatem effugere. Quòd uerò in cauſa fuit ut toni & ſemitonia
in uſu eſſent, id eſt, quoniam in diſcendo neceſſe eſt eandem ſeruari ratio
nem in crementorum, ne que arithmeticam ſed geometricam. Ideò aſcenſus per
tonos & ſemitonia commodus fuit, nam duplicem ſolum differentiam pue
ri uſu aſſequi coguntur. At uerò poterat & per ſexquiſextam diuidi dia
teſſaron, ut inter triginta ſex & quadraginta nouem interpoſitis 42, ue
rùm triplex ſequebatur in conueniens: primum ut diateſſaron ad amuſsim
non ſeruaretur, ſed incidebat in cacophoniam, addita quadrageſima o
ctaua parte: deficiente aut in duabus ſexquiſeptimis numeris ſeu propor
tione ſexquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut etiam inter 48 ad
36, addita igitur monade in termino medio utrin que fit diſſonantia. Se
cundum inconueniens, eſt quae ſic diuidente non ſeruabatur ratio ſexqui
quartæ & ſexquiquintæ ſeu ditoni & ſemiditoni, quæ uoces benè ſo
nant. Tertium inconueniens erat, quòd hæc ratio diuidendi diapentes
minimè ſatisfaciebat, uelut inter 324 & 216. Interponere enim neceſſe
erat 252 & 294, unde incongrua rurſus erat diuiſio. His tot cauſis cum
proportiones maiores non fatisfacerent ut ſexqui quinta quæ diateſſa
ron nullo modo æqualiter diuidere poteſt, & in diapente deficit ſexqui
uigeſima quarta, ut inter 25 & 36, coacti ſunt cum nec ſexquiſexta nec
ſexquiſeptima idoneæ eſſent ad ſexquioctauam confugere.
Diapaſon
2
1
Bis diapaſon
4
1
Diapaſon diapente
3
1
Tris diapaſon
8
1
Bis diapaſon diapente
6
1
Hæmiolia
3
2
Hæmitritæa
4
3
Ditonus
5
4
Semiditonus
6
5
Sexta minor
8
5
Sexta maior
5
3
Bis diapaſon ditonus
5
1
ſeptem uoces, quae ſexdecim interuallis diſtinguuntur, conſonantes ſunt: & ex
genere ditoni, & ſexquiquartæ, ſed paulo minus benè ſonant quod ditonus
ipſe. Igitur quintuplam multiplicem ad ſex quiquartam reduximus. Verum
ut oſtenſum eſt & decimaſeptima, quae bis diapaſon conſtat, & ſemiditono
benè ſonat, hęc aut inter nonaginta ſex & uiginti: quadrupla igitur eſt &
ſuperquadripartiens quintas. Diapaſon quo que cum ſexta maiore & mi
nore eandem habent rationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utranque,
ſed altera ſexquiquinta, altera ſexquitertia: bis diapaſon uerò cum eiſdem
ut uiginti ad tria, & 32 ad quin que ſexcupla utraque: ſed altera ſuperbipar
tiens tertias, altera quintas. Manifeſtum eſt igitur hanc diuiſionem non ſo
lum concinnam magis eſſe & ſuauem ſed omnem tonorum & ſemitonio
rum neceſsitatem effugere. Quòd uerò in cauſa fuit ut toni & ſemitonia
in uſu eſſent, id eſt, quoniam in diſcendo neceſſe eſt eandem ſeruari ratio
nem in crementorum, ne que arithmeticam ſed geometricam. Ideò aſcenſus per
tonos & ſemitonia commodus fuit, nam duplicem ſolum differentiam pue
ri uſu aſſequi coguntur. At uerò poterat & per ſexquiſextam diuidi dia
teſſaron, ut inter triginta ſex & quadraginta nouem interpoſitis 42, ue
rùm triplex ſequebatur in conueniens: primum ut diateſſaron ad amuſsim
non ſeruaretur, ſed incidebat in cacophoniam, addita quadrageſima o
ctaua parte: deficiente aut in duabus ſexquiſeptimis numeris ſeu propor
tione ſexquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut etiam inter 48 ad
36, addita igitur monade in termino medio utrin que fit diſſonantia. Se
cundum inconueniens, eſt quae ſic diuidente non ſeruabatur ratio ſexqui
quartæ & ſexquiquintæ ſeu ditoni & ſemiditoni, quæ uoces benè ſo
nant. Tertium inconueniens erat, quòd hæc ratio diuidendi diapentes
minimè ſatisfaciebat, uelut inter 324 & 216. Interponere enim neceſſe
erat 252 & 294, unde incongrua rurſus erat diuiſio. His tot cauſis cum
proportiones maiores non fatisfacerent ut ſexqui quinta quæ diateſſa
ron nullo modo æqualiter diuidere poteſt, & in diapente deficit ſexqui
uigeſima quarta, ut inter 25 & 36, coacti ſunt cum nec ſexquiſexta nec
ſexquiſeptima idoneæ eſſent ad ſexquioctauam confugere.
Eſt & alia diuiſio toni in ſemitonia, quae eſt uaria ponendo tonum inter 18
& 16, media uox eſt 17 ſemitonium maius inter 17 & 16, ſed minus inter
18 & 17, quorum differentia eſt 1/288. Hic ſubit admiratio quomodo ſemi
tonium minus aptetur tam gratè in ſymphonijs, maius aunt nequaquam. Ptole
męus hoc negaret, quia ſexquiquinta ſeu ſemiditonus conſtat tono inte
gro, qui eſt inter 90 & 80, & ſemitonio pluſquam maiore quod eſt inter
96 & 90, & eſt ſexquiquinta decima: quae maior eſt tono maiore 1/255. Pro
pterea dicemus cauſam eſſe quae poſito ſemiditono inter 81 & 96, id eſt,
27 & 32 ſublato tono, id eſt, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad
243, ſeu qualis eſt 96 ad 91 & 1/8 quæ eſt ut 768 ad 729 et redit ad idem, ſcili
& 16, media uox eſt 17 ſemitonium maius inter 17 & 16, ſed minus inter
18 & 17, quorum differentia eſt 1/288. Hic ſubit admiratio quomodo ſemi
tonium minus aptetur tam gratè in ſymphonijs, maius aunt nequaquam. Ptole
męus hoc negaret, quia ſexquiquinta ſeu ſemiditonus conſtat tono inte
gro, qui eſt inter 90 & 80, & ſemitonio pluſquam maiore quod eſt inter
96 & 90, & eſt ſexquiquinta decima: quae maior eſt tono maiore 1/255. Pro
pterea dicemus cauſam eſſe quae poſito ſemiditono inter 81 & 96, id eſt,
27 & 32 ſublato tono, id eſt, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad
243, ſeu qualis eſt 96 ad 91 & 1/8 quæ eſt ut 768 ad 729 et redit ad idem, ſcili