189 a proportione dupla: quod patet quia proportio
dupla et tripla non ſe habent in proportione ra-
tionali / vt patet intuenti tractatum proportionum
113. correĺ. ¶ Et exinde deducitur ſi quãtitatis alicuius cor-
poris ad ſuam materiam fuerit proportio tripla et
alterius corporis fuerit proportio dupla: rarita-
tes illorum corporum ſunt incõmenſurabiles 224. correĺ ¶ De
ducitur vlterius ſi quantitas alicuius corporis
rari ſine acquiſitione materie quadrupletur: ipſuꝫ
corpus quatuor gradus raritatis acquiret ſupra
raritatem prehabitam: quoniã talis raritas ipſi
proportioni quadruple correſpõdet: et ſi aliud cor-
pus rarum acquirat proportionē triplam ſue quã
titatis ſine materie augmento aut decremento: ta-
le corpus acquiret maiorem raritem quam vt .2. in
nulla tamen proportione rationali maiorem ade-
quate. Patet hoc / quia raritas vt duo correſpon-
det proportioni duple: maior igitur raritas corre
ſpondet triple: cum ipſa ſit maior et cū ipſa in nul-
la proportione rationali ſit maior: ſequens eſt in
nulla proportione rationali ſibi maiorem rarita-
tem correſpondere quã duple. Caute igitur reſpon
dendum eſt cum queritur quante raritatis eſt cor-
pus in quo quãtitatis ad materiam eſt proportio
tripla. Non em̄ ſignanda eſt talis raritas per ali-
queꝫ numerū. Quēadmodum ſi queratur quãta eſt
velocitas correſpondens proportioni duple. et di-
catur exempli gratia eſt vt .2. et deinde queratur
quantã eſt velocitas correſpondens proportioni
triple: nullo modo ſignanda eſt per aliquem nume
rum: cum em̄ inter quoſcū numeros ſit proportio
rationalis / vt conſtat: et proportio velocitatum ſe-
quatur proportionem proportionū: naſceretur in
de proportionem triplam duple proportioni fore
cõmenſurabilem proportione ratiõali: quo nichil
in hac ſcientia falſiꝰ. Et ſi queras an ſecundū hanc
opinionē raritas vel denſitas diſtinguatur ab ip-
ſa materia. ¶ Reſpondeo non. Nã quando dici
mus iſtud corpus eſt rarum vt .2. adequate: volumꝰ
dicere / ibi eſt proportio dupla quãtitatis ad ma
teriam: eſto proportioni duple correſpondeant
duo gradus raritatis: et ſic in aliis proportionibꝰ
exēplificandū eſt. ſēper tamen cauēdo proporti-
oni irrationali ad duplam aſſignes raritatē aliq̊
numero ſignatam: ¶ Aduertendū eſt tertio / ſcḋm
hanc opinionem ad diiuidicandū raritatē alicuius
corporis ſiue vniformis ſiue difformis: aſpicienda
eſt totalis eius quantitas, et totalis eius materia.
Et deinde inſpiciēda eſt ꝓportio totius quãtitatis
ad totã eius materiã: et ſecundã illam metiri opor-
tet raritatem talis corporis: vt ſi ſit vnū bipedale
cuius vna medietas ſit rara vt .2. et alia vt .4. ad vi
dendum quanta eſt totius bipedalis raritas: capi
enda eſt tota materia illius bipedalis que vt ↄ̨ſtat
ex predictis eſt vt .3. et deinde capienda eſt tota quã-
titas, que eſt vt .8. cum bipedale contineat .4. q̈rtas
pedalis: et aſſerendū eſt talem raritatem eſſe tantã
quãta ꝓportioni .8. ad .3. que eſt dupla ſuperbipar-
tiens tertias correſpondet. Et ſic īuenietur totam
raritatem illius corporis non eſſe vt .3. ſed minorē:
vt patet ex deductione tertii argumenti huiꝰ dubii.
33.1. correĺ. ¶ Ex quo ſequitur ſecundū / hanc opinionē rarita-
tem difformiter difformē cuius vtra medietas eſt
vniformis vel vniformiter difformis nõ correſpon
dere ſuo gradui medio vt argumentū tertiū p̄alle-
gatū bene oſtendit. 442. correĺ. ¶ Ex quo ſequitur vlteriꝰ / ra-
ritas difformis nõ eſt iudicanda penes reductioneꝫ
ad vniformitatē ſui: ſed penes reductionē ad vnifor
mitatē ſue materie: vt ſi vna medietas cuiuſdã bi-
pedalis habeat vnū gradū materie et alia habeat
duos capienda eſt vna medietas vniꝰ gradus illo-
rum duoꝝ et addenda eſt alteri medietati ipſiꝰ bi-
pedalis et illud manebit vniformiter rarum et eque
rarū ſicut antea: (volo em̄ / nulla fiat deperditio
aut acquiſitio quãtitatis aut materie). Et eodē mö
debet fieri ſi prima pars ꝓportionalis, et ſecunda
haberet in quadruplo minꝰ quã prima, et tertia in
quadruplo minꝰ quã ſcḋa, et ſic cõſequenter: tūc re-
ducenda eſt materia ad vniformitatē et videndū eſt
quãta eſt tota materia et tota quãtitas: et penes ꝓ-
portionē totiꝰ quãtitatis ad totã materiã diiudica
bitur raritas. Eſt iſto etiã modo metienda eſt denſi
tas corporis denſi penes videlicet ꝓportionē to-
tius materie ad totã quãtitatē: et nõ penes denomi
nationē quēadmodū fit in qualitatibꝰ difformibꝰ
Quod diligenter aīaduerte ſi hanc opinionē de-
fenſare affectas. 55Queſtio ¶ Sed nõ abs requireres quomõ
iudicanda eſt et mēſuranda materia corporis rari
aut denſi in quo eſt infinita difformitas ita diui
ſo tali corpore ꝓportione dupla nulla pars ꝓpor-
tionalis ſecundū talē diuiſionē ſit ita rara aut den
ſa ſicut alia vt tangitur in quarto argumēto huiꝰ
queſtionis. 66 Solutio
q̄ſtionis. ¶ Reſpõdeo breuiter / aliquando ma
teria talis corporis ſe habet continuo in certa
propoſitione: ita materie prime ad materiã ſcḋe
partis ſit aliqua ꝓportio: et materie ſecūde ad ma
teriam tertie ſit eadē ꝓportio: et ſic cõſeqnēter: ali-
quando vero nõ eadē cõtinuo ꝓportio obſeruatur
ſed in infinitum variatur puta ſi materie prime ad
materiã ſecūde ſit ꝓportio dupla: et materie partꝪ
ſecūde ad materiã tertie ſit ꝓportio tripla: et ma-
terie tertie ad materiã quarte ſit quadrupla: et ſic
cõſequēter aſcendendo per ſpecies ꝓportiõis mul-
tiplicis: et tūc nõ eſt poſſibile capacitati intellectus
finite adequate illã materiam menſurare vt iam in
ſimili dictū eſt circa materiã de motu locali penes
effectū. Sed ſi materie illarū partiū ꝓportionaliū
cõtinuo ſe habeant in eadē proportione: facile erit
diiudicare totalem materiam ex concluſionibus et
correlariis quīti capitis prime partis huiꝰ operis
dupla et tripla non ſe habent in proportione ra-
tionali / vt patet intuenti tractatum proportionum
113. correĺ. ¶ Et exinde deducitur ſi quãtitatis alicuius cor-
poris ad ſuam materiam fuerit proportio tripla et
alterius corporis fuerit proportio dupla: rarita-
tes illorum corporum ſunt incõmenſurabiles 224. correĺ ¶ De
ducitur vlterius ſi quantitas alicuius corporis
rari ſine acquiſitione materie quadrupletur: ipſuꝫ
corpus quatuor gradus raritatis acquiret ſupra
raritatem prehabitam: quoniã talis raritas ipſi
proportioni quadruple correſpõdet: et ſi aliud cor-
pus rarum acquirat proportionē triplam ſue quã
titatis ſine materie augmento aut decremento: ta-
le corpus acquiret maiorem raritem quam vt .2. in
nulla tamen proportione rationali maiorem ade-
quate. Patet hoc / quia raritas vt duo correſpon-
det proportioni duple: maior igitur raritas corre
ſpondet triple: cum ipſa ſit maior et cū ipſa in nul-
la proportione rationali ſit maior: ſequens eſt in
nulla proportione rationali ſibi maiorem rarita-
tem correſpondere quã duple. Caute igitur reſpon
dendum eſt cum queritur quante raritatis eſt cor-
pus in quo quãtitatis ad materiam eſt proportio
tripla. Non em̄ ſignanda eſt talis raritas per ali-
queꝫ numerū. Quēadmodum ſi queratur quãta eſt
velocitas correſpondens proportioni duple. et di-
catur exempli gratia eſt vt .2. et deinde queratur
quantã eſt velocitas correſpondens proportioni
triple: nullo modo ſignanda eſt per aliquem nume
rum: cum em̄ inter quoſcū numeros ſit proportio
rationalis / vt conſtat: et proportio velocitatum ſe-
quatur proportionem proportionū: naſceretur in
de proportionem triplam duple proportioni fore
cõmenſurabilem proportione ratiõali: quo nichil
in hac ſcientia falſiꝰ. Et ſi queras an ſecundū hanc
opinionē raritas vel denſitas diſtinguatur ab ip-
ſa materia. ¶ Reſpondeo non. Nã quando dici
mus iſtud corpus eſt rarum vt .2. adequate: volumꝰ
dicere / ibi eſt proportio dupla quãtitatis ad ma
teriam: eſto proportioni duple correſpondeant
duo gradus raritatis: et ſic in aliis proportionibꝰ
exēplificandū eſt. ſēper tamen cauēdo proporti-
oni irrationali ad duplam aſſignes raritatē aliq̊
numero ſignatam: ¶ Aduertendū eſt tertio / ſcḋm
hanc opinionem ad diiuidicandū raritatē alicuius
corporis ſiue vniformis ſiue difformis: aſpicienda
eſt totalis eius quantitas, et totalis eius materia.
Et deinde inſpiciēda eſt ꝓportio totius quãtitatis
ad totã eius materiã: et ſecundã illam metiri opor-
tet raritatem talis corporis: vt ſi ſit vnū bipedale
cuius vna medietas ſit rara vt .2. et alia vt .4. ad vi
dendum quanta eſt totius bipedalis raritas: capi
enda eſt tota materia illius bipedalis que vt ↄ̨ſtat
ex predictis eſt vt .3. et deinde capienda eſt tota quã-
titas, que eſt vt .8. cum bipedale contineat .4. q̈rtas
pedalis: et aſſerendū eſt talem raritatem eſſe tantã
quãta ꝓportioni .8. ad .3. que eſt dupla ſuperbipar-
tiens tertias correſpondet. Et ſic īuenietur totam
raritatem illius corporis non eſſe vt .3. ſed minorē:
vt patet ex deductione tertii argumenti huiꝰ dubii.
33.1. correĺ. ¶ Ex quo ſequitur ſecundū / hanc opinionē rarita-
tem difformiter difformē cuius vtra medietas eſt
vniformis vel vniformiter difformis nõ correſpon
dere ſuo gradui medio vt argumentū tertiū p̄alle-
gatū bene oſtendit. 442. correĺ. ¶ Ex quo ſequitur vlteriꝰ / ra-
ritas difformis nõ eſt iudicanda penes reductioneꝫ
ad vniformitatē ſui: ſed penes reductionē ad vnifor
mitatē ſue materie: vt ſi vna medietas cuiuſdã bi-
pedalis habeat vnū gradū materie et alia habeat
duos capienda eſt vna medietas vniꝰ gradus illo-
rum duoꝝ et addenda eſt alteri medietati ipſiꝰ bi-
pedalis et illud manebit vniformiter rarum et eque
rarū ſicut antea: (volo em̄ / nulla fiat deperditio
aut acquiſitio quãtitatis aut materie). Et eodē mö
debet fieri ſi prima pars ꝓportionalis, et ſecunda
haberet in quadruplo minꝰ quã prima, et tertia in
quadruplo minꝰ quã ſcḋa, et ſic cõſequenter: tūc re-
ducenda eſt materia ad vniformitatē et videndū eſt
quãta eſt tota materia et tota quãtitas: et penes ꝓ-
portionē totiꝰ quãtitatis ad totã materiã diiudica
bitur raritas. Eſt iſto etiã modo metienda eſt denſi
tas corporis denſi penes videlicet ꝓportionē to-
tius materie ad totã quãtitatē: et nõ penes denomi
nationē quēadmodū fit in qualitatibꝰ difformibꝰ
Quod diligenter aīaduerte ſi hanc opinionē de-
fenſare affectas. 55Queſtio ¶ Sed nõ abs requireres quomõ
iudicanda eſt et mēſuranda materia corporis rari
aut denſi in quo eſt infinita difformitas ita diui
ſo tali corpore ꝓportione dupla nulla pars ꝓpor-
tionalis ſecundū talē diuiſionē ſit ita rara aut den
ſa ſicut alia vt tangitur in quarto argumēto huiꝰ
queſtionis. 66 Solutio
q̄ſtionis. ¶ Reſpõdeo breuiter / aliquando ma
teria talis corporis ſe habet continuo in certa
propoſitione: ita materie prime ad materiã ſcḋe
partis ſit aliqua ꝓportio: et materie ſecūde ad ma
teriam tertie ſit eadē ꝓportio: et ſic cõſeqnēter: ali-
quando vero nõ eadē cõtinuo ꝓportio obſeruatur
ſed in infinitum variatur puta ſi materie prime ad
materiã ſecūde ſit ꝓportio dupla: et materie partꝪ
ſecūde ad materiã tertie ſit ꝓportio tripla: et ma-
terie tertie ad materiã quarte ſit quadrupla: et ſic
cõſequēter aſcendendo per ſpecies ꝓportiõis mul-
tiplicis: et tūc nõ eſt poſſibile capacitati intellectus
finite adequate illã materiam menſurare vt iam in
ſimili dictū eſt circa materiã de motu locali penes
effectū. Sed ſi materie illarū partiū ꝓportionaliū
cõtinuo ſe habeant in eadē proportione: facile erit
diiudicare totalem materiam ex concluſionibus et
correlariis quīti capitis prime partis huiꝰ operis
Ad ratiões ante oppoſitū huiꝰ dubii.
Ad primã reſponſū eſt ibi vſ ad replicã ad quam
reſpõdeo ↄ̨cedēdo ſequelã, q2 illud ↄ̨ñs manifeſte
ſequit̄̄ ex hac poſitiõe: et negat̄̄ falſitas ↄ̨ñtis: et ad
ꝓbationē: datis illis duobus corporibꝰ equalibus
quãtitatiue et īequalibꝰ in raritate et cū ſic argr̄ eq̄
ꝓportionabiliṫ ſicut iſta duo corpora acquirūt de
quãtitate acquirūt de raritate: negat̄̄ illud m hãc
opinionē: īmo dico / oīa corpora ſiue eq̈lia quãti-
tatiue, ſiue īeq̈lia, ſiue eq̄ rara ſiue nõ, q̄ eque ꝓpor
tionabiliṫ acquir̄t de quãtitate eq̈liṫ oīno acquir̄t
de raritate: qm̄ eq̈les ꝓportiones acquirūt, et ſemꝑ
ab equalibꝰ ꝓportionibꝰ eq̈les raritates nate ſunt
ꝓuenire / vt dictū eſt. ¶ Ad ſecundã rationē reſpõſū
eſt ibi vſ ad replicam: ad quam reſpondeo conce
dendo ſequelam: et negando falſitatem conſequen
tis. Et ad probationem negatur hec conſequentia
in qua eſt vis rationis: vna medietas huius bipe-
dalis eſt denſa vt duo adequate, et alia rara vt duo
adequate: et raritas et denſitas non ſe compatiunt̄̄
immo ſe cohabent ſicut cecitas et viſus; / igitur illud
corpus nec eſt rarum non eſt denſum: et ad probationē
que conſiſtit in quadam ſimilitudine concedo an-
tecedens: et nego conſequentiam: quia non eſt oīno
ſimile de illis qualitatibus et de raritate et denſi-
tate que ſunt duo oppoſita priuatiue: nam ſi
Ad primã reſponſū eſt ibi vſ ad replicã ad quam
reſpõdeo ↄ̨cedēdo ſequelã, q2 illud ↄ̨ñs manifeſte
ſequit̄̄ ex hac poſitiõe: et negat̄̄ falſitas ↄ̨ñtis: et ad
ꝓbationē: datis illis duobus corporibꝰ equalibus
quãtitatiue et īequalibꝰ in raritate et cū ſic argr̄ eq̄
ꝓportionabiliṫ ſicut iſta duo corpora acquirūt de
quãtitate acquirūt de raritate: negat̄̄ illud m hãc
opinionē: īmo dico / oīa corpora ſiue eq̈lia quãti-
tatiue, ſiue īeq̈lia, ſiue eq̄ rara ſiue nõ, q̄ eque ꝓpor
tionabiliṫ acquir̄t de quãtitate eq̈liṫ oīno acquir̄t
de raritate: qm̄ eq̈les ꝓportiones acquirūt, et ſemꝑ
ab equalibꝰ ꝓportionibꝰ eq̈les raritates nate ſunt
ꝓuenire / vt dictū eſt. ¶ Ad ſecundã rationē reſpõſū
eſt ibi vſ ad replicam: ad quam reſpondeo conce
dendo ſequelam: et negando falſitatem conſequen
tis. Et ad probationem negatur hec conſequentia
in qua eſt vis rationis: vna medietas huius bipe-
dalis eſt denſa vt duo adequate, et alia rara vt duo
adequate: et raritas et denſitas non ſe compatiunt̄̄
immo ſe cohabent ſicut cecitas et viſus; / igitur illud
corpus nec eſt rarum non eſt denſum: et ad probationē
que conſiſtit in quadam ſimilitudine concedo an-
tecedens: et nego conſequentiam: quia non eſt oīno
ſimile de illis qualitatibus et de raritate et denſi-
tate que ſunt duo oppoſita priuatiue: nam ſi