189159LIBER QVARTVS.
Hanc praxim, ſiueregulam, quæ exquiſitiſsima eſt, vt dixi, ita in triangu-
5858[Handwritten note 58] lo A B C, demonſtrabimus. Diuiſis angulis A B C, A C B, bifariam per rectas
BD, CD, coeuntes in D, ducantur ex D, ad ſingula latera perpendiculares D E,
DF, DG, iungatur que recta AD. Quoniamigitur duo anguli E, D B E, in trian-
gulo DEB, æquales ſunt duobus angulis G, D B G, in triangulo DGB, & latus
DB; commune; erunt tam latera DE, DG, quam BE, BG, æqualia. Eodemq; 1126. primi. modo tamlatera DF, DG, æqualia eruntin triangulis DFC, DGC: acproinde
DE, DF, (cum vtraque ipſi D G, ſit oſtenſa æqualis) inter ſe æquales erunt: ideo-
que omnes tres perpendiculares DE, DF, DG, æquales inter ſe erunt.
5858[Handwritten note 58] lo A B C, demonſtrabimus. Diuiſis angulis A B C, A C B, bifariam per rectas
BD, CD, coeuntes in D, ducantur ex D, ad ſingula latera perpendiculares D E,
DF, DG, iungatur que recta AD. Quoniamigitur duo anguli E, D B E, in trian-
gulo DEB, æquales ſunt duobus angulis G, D B G, in triangulo DGB, & latus
DB; commune; erunt tam latera DE, DG, quam BE, BG, æqualia. Eodemq; 1126. primi. modo tamlatera DF, DG, æqualia eruntin triangulis DFC, DGC: acproinde
DE, DF, (cum vtraque ipſi D G, ſit oſtenſa æqualis) inter ſe æquales erunt: ideo-
que omnes tres perpendiculares DE, DF, DG, æquales inter ſe erunt.
Deinde quia quadrato ex AD, æqualia ſunt tam quadrata ex A E, E 2247. primi.
quam quadrata ex A F, F D;
æqualia erunt quadrata ex A E, E D, quadratis ex
AF, FD, Ac proinde ablatis æqualibus quadratis rectarum ED, FD, æqualium,
reliqua quadrata rectarum A E, A F, æqualia erunt: proptereaque & rectæ
120[Figure 120]
ipſæ A E, A F, æquales erunt.
Igitur cum latera A E,
@A D, trianguli A D E, lateribus A F, A D, trianguli
A D F, æqualia ſint, & baſis E D, baſi F D; erit 338. primi. gulus D A E, angulo D A F, æqualis.
AF, FD, Ac proinde ablatis æqualibus quadratis rectarum ED, FD, æqualium,
reliqua quadrata rectarum A E, A F, æqualia erunt: proptereaque & rectæ
@A D, trianguli A D E, lateribus A F, A D, trianguli
A D F, æqualia ſint, & baſis E D, baſi F D; erit 338. primi. gulus D A E, angulo D A F, æqualis.
Qvia verò A E, ipſi A F, &
E B, ipſi B G, ęqua-
lis eſt oſtenſa, erit tota A B, duabus A F, B G, ęqua-
lis: additiſque æqualibus C G, C F, duę A B, C G,
duabus A C, B G, æquales erunt. Tam ergo duę A B,
C G, quam duæ A C, B G, ſemiſſem trium laterum
A B, B C, A C, conſtituent. Quocirca C G, vel C F,
diifferentia erit inter ſemiſſem laterum, & latus A B. Item B G, vel BE, differen-
tia inter eandem ſemiſſem, & latus A C. Denique cum A B, C G, ſemiſſem late-
rum efficiant, ſitque B G, ipſi B E, æqualis, vt oſtendimus, conſtituent quo que
B C, A E, ſemiſſem eorundem laterum: ideo que A E, differentia erit inter late-
rum ſemiſſem, & latus B C. Tres ergo rectę A E, E B, C G, & ſemiſſem late-
rum conſtituunt, & tres differentias inter ſemiſſem laterum, & tria latera trian-
guli.
lis eſt oſtenſa, erit tota A B, duabus A F, B G, ęqua-
lis: additiſque æqualibus C G, C F, duę A B, C G,
duabus A C, B G, æquales erunt. Tam ergo duę A B,
C G, quam duæ A C, B G, ſemiſſem trium laterum
A B, B C, A C, conſtituent. Quocirca C G, vel C F,
diifferentia erit inter ſemiſſem laterum, & latus A B. Item B G, vel BE, differen-
tia inter eandem ſemiſſem, & latus A C. Denique cum A B, C G, ſemiſſem late-
rum efficiant, ſitque B G, ipſi B E, æqualis, vt oſtendimus, conſtituent quo que
B C, A E, ſemiſſem eorundem laterum: ideo que A E, differentia erit inter late-
rum ſemiſſem, & latus B C. Tres ergo rectę A E, E B, C G, & ſemiſſem late-
rum conſtituunt, & tres differentias inter ſemiſſem laterum, & tria latera trian-
guli.
Prodvctis iam A B, A C, ſit B H, ipſi C G, &
C I, ipſi B G, æqualis;
ita vt
tam A H, ſemiſsi laterum, rectis videlicet A B, C G, quam A I, eidem ſemiſsi late-
rum, rectis nimirum A C, B G, ſit ęqu, conſtet que ex tribus differentiis an-
te dictis. Ducta quo que H K, ad A H, perpendiculari, quę cum A D, producta
conueniat in K; connectantur rectę K I, K B, K C. Et quia duo latera A H, A K,
trianguli AHK, duobus lateribus AI, AK, trianguli AIK, ęqualia ſunt, anguloſ-
que ad A, continent ęquales, vt ſupra oſtendimus, æquales quo que erunt & 444. primi. baſes HK, IK, & anguli H, I. Cum ergo H, per conſtructionem ſit rectus, rectus
etiam erit I.
tam A H, ſemiſsi laterum, rectis videlicet A B, C G, quam A I, eidem ſemiſsi late-
rum, rectis nimirum A C, B G, ſit ęqu, conſtet que ex tribus differentiis an-
te dictis. Ducta quo que H K, ad A H, perpendiculari, quę cum A D, producta
conueniat in K; connectantur rectę K I, K B, K C. Et quia duo latera A H, A K,
trianguli AHK, duobus lateribus AI, AK, trianguli AIK, ęqualia ſunt, anguloſ-
que ad A, continent ęquales, vt ſupra oſtendimus, æquales quo que erunt & 444. primi. baſes HK, IK, & anguli H, I. Cum ergo H, per conſtructionem ſit rectus, rectus
etiam erit I.
Abscindatvr pręterea BL, ipſi C G, vel B H, æqualis, vt proinde reli-
qua C L@ reliquę B G, vel ipſi C I, æqualis ſit, iungaturq; recta KL. Producta au-
tem B H, ſumatur H M, ipſi C I, æqualis, connectatur querecta L M. Et quia duo
latera KH, HM, trianguli HMK, duobus later bus KI, IC, trianguli CIK, æqua-
lia ſunt, angulo ſque H, I, continent ęquales, vt pote rectos: erunt quo que 558. primi. ſes K M, K C, ęquales: at que adeò cum duo latera BM, BK, trianguli BMK, duo-
bus lateribus B C, B K, trianguli B C K, ęqualia ſint, (eſt nam que B M, ipſi B C,
æqualis, quod partes B H, H M, partibus B L, L C, ſint æquales) ſit que
qua C L@ reliquę B G, vel ipſi C I, æqualis ſit, iungaturq; recta KL. Producta au-
tem B H, ſumatur H M, ipſi C I, æqualis, connectatur querecta L M. Et quia duo
latera KH, HM, trianguli HMK, duobus later bus KI, IC, trianguli CIK, æqua-
lia ſunt, angulo ſque H, I, continent ęquales, vt pote rectos: erunt quo que 558. primi. ſes K M, K C, ęquales: at que adeò cum duo latera BM, BK, trianguli BMK, duo-
bus lateribus B C, B K, trianguli B C K, ęqualia ſint, (eſt nam que B M, ipſi B C,
æqualis, quod partes B H, H M, partibus B L, L C, ſint æquales) ſit que