190160GGOMETR. PRACT.
K M, baſi K C, oſtenſa æqualis;
erunt quo que anguli K B M, KBC, æquales.
118. primi.
Itaque quoniam duo latera B H, B K, trianguli B H K, duo bus lateribus B L, B K,
trianguli B L K, æqualia ſunt, æqualeſq; continent angulos ad B, vt oſtendimus,
erunt & baſes HK, KL, & anguli H, L, æquales. Cum ergo H, ex 224. primi. ne rectus ſit, erit quo que L, rectus. Quare cum latera KH, KB, trianguli KBH,
lateribus KL, KB, trianguli KBL, æqualia ſint, & baſis BH, baſi BL, erunt 338. primi. anguli BKH, BKL, æquales.
trianguli B L K, æqualia ſunt, æqualeſq; continent angulos ad B, vt oſtendimus,
erunt & baſes HK, KL, & anguli H, L, æquales. Cum ergo H, ex 224. primi. ne rectus ſit, erit quo que L, rectus. Quare cum latera KH, KB, trianguli KBH,
lateribus KL, KB, trianguli KBL, æqualia ſint, & baſis BH, baſi BL, erunt 338. primi. anguli BKH, BKL, æquales.
Qvoniam autem ex iis, quæ ad prop.
32.
lib.
1.
Euclidis demonſtrauimus,
quatuor anguli quadrilateri BHKL, quatuor rectis ſunt æquales: erunt
demptis duobus rectis H, L, duo HBL, HKL, duobus rectis æquales; ideo que
duobus angulis HBL, EBL, æquales, quod hi quo que duobus ſint rectis 4413. primi. quales, ablato que communi HBL, reliquus HKL, reliquo EBL, æqualis erit:
ac propterea & HKB, ipſi E B D, dimidius dimidio, æqualis erit. Cum ergo &
rectus H, recto E, ſit ęqualis, erit quo que reliquus H B K, in triangulo H B 5532. primi. reliquo EDB, in triangulo EDB, æqualis; ac proinde triangula BHK, DEB, æ-
quiangula erunt. Quapropter erit vt DE, ad EB, ita BH, ad HK; at que 664. ſexti. co ſi lineæ hę ad numeros contrahantur, erit numerus, qui fit ex D E, in H 7719. ſeptim. æqualis numero, qui fit ex EB, in BH. Eandem ergo proportionem 887. quinti. quadratus ex DE, ad productum ex DE, in HK, & ad productum ex EB, in BH.
Sedita eſt quadratus ex D E, ad productum ex DE, in HK, vt DE, ad HK: 9917. ſeptim. proptera quod DE, multiplicans DE, & HK, fecit & quadratum ex DE, & pro-
ductum ex D E, in H K. Eritigitur quadratus quo que ex D E, ad productum ex
EB, in BH, vt DE, ad HK. Vtautem DE, ad HK, ita eſt AE, ad AH. Nam 101028. primi. parallelæ ſint DE, HK, æquiangula erunt triangula AED, AHK, ex coroll. prop.
4. lib. 6. Euclid. Igitur erit vt AE, ad ED, ita AH, ad HK, & permutando, 11114. ſexti. AE, ad AH, ita ED, ad HK. Igitur erit quadratus quo que ex D E, ad produ-
ctum ex EB, in BH, vt AE, ad AH. Qui ergo fit ex quadrato ipſius DE, 121219. ſept. AH, æqualis erit ei, qui fit AE, in productum ex EB, in BH. Igitur & numerus,
qui ex producto ex quadrato ipſius D E, in A H, multiplicato in A H, gignitur,
æqualis erit numero, qui ex producto ex AE, in productum ex EB, in BH, mul-
tiplicato in eundem A H, procreatur. (Nam quia ęquales numeri, nimirum
productus ex quadrato ipſius DE, in AH, & productus ex AE, in productum ex
EB, in BH, eundem numerum AH, multiplicant habebunt producti, 131318. ſept. numerus, qui ex producto ex quadrato ipſius DE, in AH, multiplicato in AH,
gignitur, & numerus, qui ex producto ex AE, in productum ex EB, in BH, mul-
tiplicato in eundem A H, procreatur, eandem proportionem, quam multipli-
cantes. Cum ergo hiæquales ſint, erunt & illi producti æquales) hoc eſt, nu-
merus productus ex AH, in AH, id eſt, quadratus ipſius AH, ductus in quadra-
tum ipſius DE, (Per ſcholium enim propoſ. 19. lib. 8. Euclid. quomodocun-
que tres numeri inter ſe multiplicentur, idem ſemper numerus procreatur)
æqualis erit numero, qui ex producto ex A E, in productum ex E B, in B H,
nempe ex producto trium differentiarum A E, E B, B H, inter ſe multipli-
catarum, ducto in A H, id eſt, in ſemiſſem laterum gignitur. At ex quadra-
to ipſius D E, in quadratum ipſius A H, producitur quadratus numerus areæ
trianguli A B C, vt mox oſtendemus. Igitur & ex producto trium exceſ-
ſuum A E, EB, B H, inter ſe multiplicatorum, ducto in A H, ſemiſſem late-
rum A B, B C, A C, producitur idem quadratus numerus areæ @@ianguli A B C:
quatuor anguli quadrilateri BHKL, quatuor rectis ſunt æquales: erunt
demptis duobus rectis H, L, duo HBL, HKL, duobus rectis æquales; ideo que
duobus angulis HBL, EBL, æquales, quod hi quo que duobus ſint rectis 4413. primi. quales, ablato que communi HBL, reliquus HKL, reliquo EBL, æqualis erit:
ac propterea & HKB, ipſi E B D, dimidius dimidio, æqualis erit. Cum ergo &
rectus H, recto E, ſit ęqualis, erit quo que reliquus H B K, in triangulo H B 5532. primi. reliquo EDB, in triangulo EDB, æqualis; ac proinde triangula BHK, DEB, æ-
quiangula erunt. Quapropter erit vt DE, ad EB, ita BH, ad HK; at que 664. ſexti. co ſi lineæ hę ad numeros contrahantur, erit numerus, qui fit ex D E, in H 7719. ſeptim. æqualis numero, qui fit ex EB, in BH. Eandem ergo proportionem 887. quinti. quadratus ex DE, ad productum ex DE, in HK, & ad productum ex EB, in BH.
Sedita eſt quadratus ex D E, ad productum ex DE, in HK, vt DE, ad HK: 9917. ſeptim. proptera quod DE, multiplicans DE, & HK, fecit & quadratum ex DE, & pro-
ductum ex D E, in H K. Eritigitur quadratus quo que ex D E, ad productum ex
EB, in BH, vt DE, ad HK. Vtautem DE, ad HK, ita eſt AE, ad AH. Nam 101028. primi. parallelæ ſint DE, HK, æquiangula erunt triangula AED, AHK, ex coroll. prop.
4. lib. 6. Euclid. Igitur erit vt AE, ad ED, ita AH, ad HK, & permutando, 11114. ſexti. AE, ad AH, ita ED, ad HK. Igitur erit quadratus quo que ex D E, ad produ-
ctum ex EB, in BH, vt AE, ad AH. Qui ergo fit ex quadrato ipſius DE, 121219. ſept. AH, æqualis erit ei, qui fit AE, in productum ex EB, in BH. Igitur & numerus,
qui ex producto ex quadrato ipſius D E, in A H, multiplicato in A H, gignitur,
æqualis erit numero, qui ex producto ex AE, in productum ex EB, in BH, mul-
tiplicato in eundem A H, procreatur. (Nam quia ęquales numeri, nimirum
productus ex quadrato ipſius DE, in AH, & productus ex AE, in productum ex
EB, in BH, eundem numerum AH, multiplicant habebunt producti, 131318. ſept. numerus, qui ex producto ex quadrato ipſius DE, in AH, multiplicato in AH,
gignitur, & numerus, qui ex producto ex AE, in productum ex EB, in BH, mul-
tiplicato in eundem A H, procreatur, eandem proportionem, quam multipli-
cantes. Cum ergo hiæquales ſint, erunt & illi producti æquales) hoc eſt, nu-
merus productus ex AH, in AH, id eſt, quadratus ipſius AH, ductus in quadra-
tum ipſius DE, (Per ſcholium enim propoſ. 19. lib. 8. Euclid. quomodocun-
que tres numeri inter ſe multiplicentur, idem ſemper numerus procreatur)
æqualis erit numero, qui ex producto ex A E, in productum ex E B, in B H,
nempe ex producto trium differentiarum A E, E B, B H, inter ſe multipli-
catarum, ducto in A H, id eſt, in ſemiſſem laterum gignitur. At ex quadra-
to ipſius D E, in quadratum ipſius A H, producitur quadratus numerus areæ
trianguli A B C, vt mox oſtendemus. Igitur & ex producto trium exceſ-
ſuum A E, EB, B H, inter ſe multiplicatorum, ducto in A H, ſemiſſem late-
rum A B, B C, A C, producitur idem quadratus numerus areæ @@ianguli A B C: