191 us minoris ipſum eſt denſius illo minori.
Pro quo
intelligendo in ſuo fundamento: et radice ponã ali-
quas concluſiones: quadam diuiſione prepoſita q̄
talis eſt. ¶ Corporum ꝓportionabi
liū ad inuicem in raritate et denſitate: quedam ſunt
equalia: quedam inequalia. Item equalium que-
dã cõtinēt equaliter de materia: quedam inequali-
ter. Corporum inequalium quedam cõtinent equa-
liter de materia quedã vero nõ. Exēplū / vt ſi ſint duo
corpora quorum vnū eſt pedale et aliud ſemipeda-
le poſſibile eſt vnū tm̄ contineat de materia ſicut
aliud vel vnum cõtineat plus de materia ꝙ̄ aliud.
Item corporum inequalium inequaliter contenen-
tiū de materia: quedam ita ſe habent minus con
tinet minus de materia: quedã ita ſe habent mi-
nus continet magis de materia. Item minorum cõ
tinentium minus quã maius: quoddam cõtinet mi-
nus in ea ꝓportione qua eſt minus: quoddã in ma-
iori ꝓportione: quoddã vero in minori. Exemplum /
vt ſi ſint duo corpora quorum vnū eſt pedale aliud
ſemipedale poſſibile eſt ſemipedale cõtineat ma
teriam in duplo minorem: in triplo maiorem: et in
ſexquialtero minorē quã ↄ̨tineat pedale. Itē corpo
rum inequaliū quorū minus continet plus de mate
ria ꝙ̄ maius. quoddã cõtinet plus de materia quaꝫ
maius in equali ꝓportione qua eſt minus. quoddã
in maiori quoddã vero in minori ꝓportione quã ē
minus: Exēelū / vt captis pedali et ſemipedali poſſi-
bile eſt ſemipedale continet in duplo plus de ma
teria quam pedale: Poſſibile ē in triplo: poſſi
bile eſt etiam in ſexquialtero. His diuiſionibꝰ po
ſitis pono aliquas concluſiones quarum
intelligendo in ſuo fundamento: et radice ponã ali-
quas concluſiones: quadam diuiſione prepoſita q̄
talis eſt. ¶ Corporum ꝓportionabi
liū ad inuicem in raritate et denſitate: quedam ſunt
equalia: quedam inequalia. Item equalium que-
dã cõtinēt equaliter de materia: quedam inequali-
ter. Corporum inequalium quedam cõtinent equa-
liter de materia quedã vero nõ. Exēplū / vt ſi ſint duo
corpora quorum vnū eſt pedale et aliud ſemipeda-
le poſſibile eſt vnū tm̄ contineat de materia ſicut
aliud vel vnum cõtineat plus de materia ꝙ̄ aliud.
Item corporum inequalium inequaliter contenen-
tiū de materia: quedam ita ſe habent minus con
tinet minus de materia: quedã ita ſe habent mi-
nus continet magis de materia. Item minorum cõ
tinentium minus quã maius: quoddam cõtinet mi-
nus in ea ꝓportione qua eſt minus: quoddã in ma-
iori ꝓportione: quoddã vero in minori. Exemplum /
vt ſi ſint duo corpora quorum vnū eſt pedale aliud
ſemipedale poſſibile eſt ſemipedale cõtineat ma
teriam in duplo minorem: in triplo maiorem: et in
ſexquialtero minorē quã ↄ̨tineat pedale. Itē corpo
rum inequaliū quorū minus continet plus de mate
ria ꝙ̄ maius. quoddã cõtinet plus de materia quaꝫ
maius in equali ꝓportione qua eſt minus. quoddã
in maiori quoddã vero in minori ꝓportione quã ē
minus: Exēelū / vt captis pedali et ſemipedali poſſi-
bile eſt ſemipedale continet in duplo plus de ma
teria quam pedale: Poſſibile ē in triplo: poſſi
bile eſt etiam in ſexquialtero. His diuiſionibꝰ po
ſitis pono aliquas concluſiones quarum
Prima cõcluſio eſt hec.
Corpora equa
lia equaliter continentia de materia ſunt equaliter
rara et equaliter dēſa dūmõ ſint rara et denſa. Hec
concluſio patet ex diffinitionibus rari et denſi.
lia equaliter continentia de materia ſunt equaliter
rara et equaliter dēſa dūmõ ſint rara et denſa. Hec
concluſio patet ex diffinitionibus rari et denſi.
Secunda concluſio
Si aliqua duo in
equalia equaliter contineant de materia: minus il
lorum in eadem ꝓportione eſt denſius in qua ē mi-
nus. Probat̄̄ hec concluſio et capio duo corpora in
equalia gratia exempli pedale et ſemipedale habē-
tia equaliter de materia / et volo / ſemipedale rare
fiat quovſ ſit pedale ſine acquiſitione aut deper-
ditione materie. quo poſito in fine illa duo corpora
ſunt eque rara et denſa / vt patet ex prima concluſio-
ne: et illud quod antea erat minus perdidit propor
tionem duplam denſitatis cum acquiſiuerit duplã
raritatem / vt patet per duplam punctorum diſtan-
tiam ſine acquiſitione aut deperditione materie:
igitur antea erat in duplo denſius quã ſit modo: et
per conſequens in duplo denſius quolibet equali
modo in denſitate. quoniam in quacun ꝓportio-
ne aliquid excedit aliud in eadeꝫ ꝓportione excedit
quolibet equale illi: igitur concluſio vera:
equalia equaliter contineant de materia: minus il
lorum in eadem ꝓportione eſt denſius in qua ē mi-
nus. Probat̄̄ hec concluſio et capio duo corpora in
equalia gratia exempli pedale et ſemipedale habē-
tia equaliter de materia / et volo / ſemipedale rare
fiat quovſ ſit pedale ſine acquiſitione aut deper-
ditione materie. quo poſito in fine illa duo corpora
ſunt eque rara et denſa / vt patet ex prima concluſio-
ne: et illud quod antea erat minus perdidit propor
tionem duplam denſitatis cum acquiſiuerit duplã
raritatem / vt patet per duplam punctorum diſtan-
tiam ſine acquiſitione aut deperditione materie:
igitur antea erat in duplo denſius quã ſit modo: et
per conſequens in duplo denſius quolibet equali
modo in denſitate. quoniam in quacun ꝓportio-
ne aliquid excedit aliud in eadeꝫ ꝓportione excedit
quolibet equale illi: igitur concluſio vera:
Tertia concluſio
Si fuerint duo cor-
pora inequalia: et minus illorum cõtinet plus ḋ ma
teria quã maius: tunc minus eſt denſius in propor-
tione compoſita ex proportione qua maius excedit
minus: et ex proportione qua materia minoris ex-
dit materiam maioris: Probatur et capio pedale
et ſemipedale quod cõtinet in duplo maigs de ma-
teria quã pedale: et volo / illud ſemipedale rarefi-
at quouſ ſit bipedale: quo poſito arguitur ſic in fi
ne talis rarefactionis illud corpꝰ quod antea erat
ſemipedale eſt eque denſum adequate cum alio cor
pore pedali cū ſubdupla quãtitate duplã maṫiã cõ
tiuet: et ipſum eſt in quadruplo minus denſum quã
erat antea cum modo puncta in quadruplo plꝰ di-
ſtent etc. / igitur ipſum erat antea in quadruplo deu
ſius quã ſit modo: et per conſequens in quadruplo
denſius quolibet quod eſt modo equale ei in den-
ſitate: igitur ipſum antea cum eſſet ſemipedale erat
in quadruplo denſius illo pedali: et proportio qua
drupla eſt ꝓportio compoſita ex ꝓportione quãti-
tatis qua maius excedit minus puta dupla: et ex ꝓ-
portione qua materia minoris excedit materiam
maioris ſimiliter dupla / vt patet ex ſecunda parte
huius operis: igitur intentum. ſic enim vniuerſali-
ter probabis.
pora inequalia: et minus illorum cõtinet plus ḋ ma
teria quã maius: tunc minus eſt denſius in propor-
tione compoſita ex proportione qua maius excedit
minus: et ex proportione qua materia minoris ex-
dit materiam maioris: Probatur et capio pedale
et ſemipedale quod cõtinet in duplo maigs de ma-
teria quã pedale: et volo / illud ſemipedale rarefi-
at quouſ ſit bipedale: quo poſito arguitur ſic in fi
ne talis rarefactionis illud corpꝰ quod antea erat
ſemipedale eſt eque denſum adequate cum alio cor
pore pedali cū ſubdupla quãtitate duplã maṫiã cõ
tiuet: et ipſum eſt in quadruplo minus denſum quã
erat antea cum modo puncta in quadruplo plꝰ di-
ſtent etc. / igitur ipſum erat antea in quadruplo deu
ſius quã ſit modo: et per conſequens in quadruplo
denſius quolibet quod eſt modo equale ei in den-
ſitate: igitur ipſum antea cum eſſet ſemipedale erat
in quadruplo denſius illo pedali: et proportio qua
drupla eſt ꝓportio compoſita ex ꝓportione quãti-
tatis qua maius excedit minus puta dupla: et ex ꝓ-
portione qua materia minoris excedit materiam
maioris ſimiliter dupla / vt patet ex ſecunda parte
huius operis: igitur intentum. ſic enim vniuerſali-
ter probabis.
Quarta concluſio
Si ſint duo corpo-
ra inequalia inequaliter continentia de materia.
ita ī q̈cū ꝓportiõe minꝰ minus eſt ī eadē ꝓpor-
tione continet minus de materia. talia corpora ſūt
equaliter denſa. Patet hec concluſio de ſe quoniã
capto corpore pedali vniformiter denſo / manifeſtū
eſt / medietas eius eſt eque denſa ſicut totum: et ſi-
cut medietas eſt in duplo minor ita in duplo minus
continet de materia. Et iſto modo vniuerſaliter ꝓ-
babis de quibuſcun aliis proportionibus ſiue ra
tionalibus ſiue non rationalibus
ra inequalia inequaliter continentia de materia.
ita ī q̈cū ꝓportiõe minꝰ minus eſt ī eadē ꝓpor-
tione continet minus de materia. talia corpora ſūt
equaliter denſa. Patet hec concluſio de ſe quoniã
capto corpore pedali vniformiter denſo / manifeſtū
eſt / medietas eius eſt eque denſa ſicut totum: et ſi-
cut medietas eſt in duplo minor ita in duplo minus
continet de materia. Et iſto modo vniuerſaliter ꝓ-
babis de quibuſcun aliis proportionibus ſiue ra
tionalibus ſiue non rationalibus
Quinta concluſio
Si ſint duo corpo-
ra inequalia: et minus contineat minus de materia
quam maius in maiore proportione quam ma-
ius excedat minus: tunc maiꝰ eſt deſius minore ī ea
ꝓportione qua ꝓportio materie ad materiam exce
dit ꝓportionē quantitatū: Uel ſub aliis verbis ea-
dē rententa ſententia. Si duorū corporum inequa-
liū ꝓportio materie maioris ad materiam mino-
ris excedit ꝓportionē quãtitatis ad quantitatem:
maius illorum eſt denſius in ꝓportione ꝑ quã pro-
portio materie maioris ad materiã minoris exce-
dit ꝓportionē quantitatū. Probat̄̄ hec concluſio
et capio duo corpora ſe habentia in ꝓportione du
pla / et volo / materia maioris ſit tripla ad materi
am minoris quo poſito maius eſt denſius in ꝓpor
tione ſexquialtera ꝑ quã ꝓportio tripla excedit du
plam: igr̄ cõcluſio vera. Añs ꝓbatur: et pono / cor
pus maius condenſetur quovſ ſit equale minori
puta ad ſubduplū / quo poſito argr̄ ſic. Illud corpꝰ
quod antea erat maius eſt in triplo denſius altero
corpore quod antea erat minus eo: et ꝑ talē cõdēſa-
tionē p̄ciſe acquiſiuit duplam denſitatem: ergo ſe-
quitur / antea habebat ſexquialteram: igitur ip-
ſum erat ãtea in ꝓportione ſexq̇altera dēſiꝰ / qḋ fuit
ꝓbandū. Sequela tamē ꝓbatur / q2 qñ aliq̇d efficit̄̄
in aliqua ꝓportiõe maiꝰ reſpectu alterius: et tūc ac
quirit preciſe vnã partē talis ꝓportionis ſequitur /
iã antea habebat alterã ꝑtem: ſed tale corpꝰ acq̇-
ſiuit ꝓportionē triplã id eſt effectū eſt denſius ī pro
portione tripla: et nõ acq̇ſiuit niſi duplã: ergo ſequi
tur / iã antea habebat adequate ſexquialterã: qm̄
tripla ex dupla et ſexquialtera cõponit̄̄ adequate.
Et iſto mõ ꝓbabis de q̇buſcū aliis ꝓportiõibus.
ra inequalia: et minus contineat minus de materia
quam maius in maiore proportione quam ma-
ius excedat minus: tunc maiꝰ eſt deſius minore ī ea
ꝓportione qua ꝓportio materie ad materiam exce
dit ꝓportionē quantitatū: Uel ſub aliis verbis ea-
dē rententa ſententia. Si duorū corporum inequa-
liū ꝓportio materie maioris ad materiam mino-
ris excedit ꝓportionē quãtitatis ad quantitatem:
maius illorum eſt denſius in ꝓportione ꝑ quã pro-
portio materie maioris ad materiã minoris exce-
dit ꝓportionē quantitatū. Probat̄̄ hec concluſio
et capio duo corpora ſe habentia in ꝓportione du
pla / et volo / materia maioris ſit tripla ad materi
am minoris quo poſito maius eſt denſius in ꝓpor
tione ſexquialtera ꝑ quã ꝓportio tripla excedit du
plam: igr̄ cõcluſio vera. Añs ꝓbatur: et pono / cor
pus maius condenſetur quovſ ſit equale minori
puta ad ſubduplū / quo poſito argr̄ ſic. Illud corpꝰ
quod antea erat maius eſt in triplo denſius altero
corpore quod antea erat minus eo: et ꝑ talē cõdēſa-
tionē p̄ciſe acquiſiuit duplam denſitatem: ergo ſe-
quitur / antea habebat ſexquialteram: igitur ip-
ſum erat ãtea in ꝓportione ſexq̇altera dēſiꝰ / qḋ fuit
ꝓbandū. Sequela tamē ꝓbatur / q2 qñ aliq̇d efficit̄̄
in aliqua ꝓportiõe maiꝰ reſpectu alterius: et tūc ac
quirit preciſe vnã partē talis ꝓportionis ſequitur /
iã antea habebat alterã ꝑtem: ſed tale corpꝰ acq̇-
ſiuit ꝓportionē triplã id eſt effectū eſt denſius ī pro
portione tripla: et nõ acq̇ſiuit niſi duplã: ergo ſequi
tur / iã antea habebat adequate ſexquialterã: qm̄
tripla ex dupla et ſexquialtera cõponit̄̄ adequate.
Et iſto mõ ꝓbabis de q̇buſcū aliis ꝓportiõibus.
Sexta concluſio
Si fuerint duo cor
pora inequalia: et ꝓportio quantitatū fuerit ma-
ior proportione materie maioris ad materiã mi-
noris. tunc minus eſt denſius maiori in ꝓportione
qua proportio quantitatis excedit ꝓportionē ma-
terie. Probat̄̄ hec concluſio: et volo / ſint duo cor-
pora puta pedale et bipedale: et bipedale in ſexqui-
altero plus cõtineat de materia ꝙ̄ pedale: tūc dico /
pedale eſt denſius bipedali in ꝓportione ſexqui
tertia. quoniam ꝑ talem ꝓportionē ſexquitertiam
ꝓportio quãtitatis maioris ad quãtitatē minoris
q̄ ē dupla excedit ꝓportionē maṫie maiorꝪ ad maṫi
am minoris q̄ ē ſexq̇altera / vt ↄ̨ſtat Probat̄̄ hoc ſic
pora inequalia: et ꝓportio quantitatū fuerit ma-
ior proportione materie maioris ad materiã mi-
noris. tunc minus eſt denſius maiori in ꝓportione
qua proportio quantitatis excedit ꝓportionē ma-
terie. Probat̄̄ hec concluſio: et volo / ſint duo cor-
pora puta pedale et bipedale: et bipedale in ſexqui-
altero plus cõtineat de materia ꝙ̄ pedale: tūc dico /
pedale eſt denſius bipedali in ꝓportione ſexqui
tertia. quoniam ꝑ talem ꝓportionē ſexquitertiam
ꝓportio quãtitatis maioris ad quãtitatē minoris
q̄ ē dupla excedit ꝓportionē maṫie maiorꝪ ad maṫi
am minoris q̄ ē ſexq̇altera / vt ↄ̨ſtat Probat̄̄ hoc ſic
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib