192 Qm̄ ſi materia corporis minoris ꝑderet ꝓportio-
nē ſexquitertiã ſue materie ſtante quantitate: tunc
maius et minꝰ eſſent eque denſa / vt ptꝫ ex quarta cõ
cluſione. In ea em̄ ꝓportione qua minꝰ eſt minꝰ in
ea minꝰ ↄ̨tineret de materia. Sed modo illud corpꝰ
minꝰ in ſexq̇tertio plus de materia cõtinet denſius
quã tūc: et tunc erat ita denſum ſicut modo eſt illud
bipedale: g̊ modo in ſexq̇tertio eſt denſiꝰ illo bipe-
dali: et ꝓportio ſexquitertia eſt illa ꝑ quã ꝓportio
quãtitatis maioris ad quantitatē minoris excedit
ꝓportionē materie maioris ad materiã minoris: g̊
ꝑ ↄ̨ñs minꝰ eſt denſius maiore in ꝓportione ꝑ quantuꝫ
ꝓportio quantitatis maioris ad quantitatē mino
ris excedit ꝓportionē materie maioris ad materiã
minoris. Et ſic ꝓbabis q̇buſcū duabꝰ ꝓportiõibꝰ
̄titatū et materieꝝ īeq̈libꝰ ꝓpoſitꝪ ī caſu ↄ̨cluſiõis
nē ſexquitertiã ſue materie ſtante quantitate: tunc
maius et minꝰ eſſent eque denſa / vt ptꝫ ex quarta cõ
cluſione. In ea em̄ ꝓportione qua minꝰ eſt minꝰ in
ea minꝰ ↄ̨tineret de materia. Sed modo illud corpꝰ
minꝰ in ſexq̇tertio plus de materia cõtinet denſius
quã tūc: et tunc erat ita denſum ſicut modo eſt illud
bipedale: g̊ modo in ſexq̇tertio eſt denſiꝰ illo bipe-
dali: et ꝓportio ſexquitertia eſt illa ꝑ quã ꝓportio
quãtitatis maioris ad quantitatē minoris excedit
ꝓportionē materie maioris ad materiã minoris: g̊
ꝑ ↄ̨ñs minꝰ eſt denſius maiore in ꝓportione ꝑ quantuꝫ
ꝓportio quantitatis maioris ad quantitatē mino
ris excedit ꝓportionē materie maioris ad materiã
minoris. Et ſic ꝓbabis q̇buſcū duabꝰ ꝓportiõibꝰ
̄titatū et materieꝝ īeq̈libꝰ ꝓpoſitꝪ ī caſu ↄ̨cluſiõis
Ultima cõcluſio.
Si duoꝝ corporum
inequaliū ꝓportio quantitatis ad quantitatē ſiue
materie ad materiã fuerit irrationalis: tūc ꝓpor-
tio raritatis vniꝰ et denſitatis ſimiliter ad denſita
tem et raritatē alteriꝰ eſt irratiõalis. Probat̄̄ / ſicut
concluſio qm̄ ꝓportio quantitatis vniꝰ ad quan-
titatē alteriꝰ nõ denoīatur ab aliquo certo numero
ita etiã diſtantia punctoꝝ nõ denoīatur ab aliquo
certo numero: et ꝑ ↄ̨ñs iam ꝓportio raritatis vnius
ad raritatē alteriꝰ eſt irratiõalis / ptꝫ ↄ̨ña ꝑ diffini-
tioneꝫ ꝓportiõis irratiõalis in ṗma ꝑte huiꝰ oꝑis.
inequaliū ꝓportio quantitatis ad quantitatē ſiue
materie ad materiã fuerit irrationalis: tūc ꝓpor-
tio raritatis vniꝰ et denſitatis ſimiliter ad denſita
tem et raritatē alteriꝰ eſt irratiõalis. Probat̄̄ / ſicut
concluſio qm̄ ꝓportio quantitatis vniꝰ ad quan-
titatē alteriꝰ nõ denoīatur ab aliquo certo numero
ita etiã diſtantia punctoꝝ nõ denoīatur ab aliquo
certo numero: et ꝑ ↄ̨ñs iam ꝓportio raritatis vnius
ad raritatē alteriꝰ eſt irratiõalis / ptꝫ ↄ̨ña ꝑ diffini-
tioneꝫ ꝓportiõis irratiõalis in ṗma ꝑte huiꝰ oꝑis.
Notãnda eſt quarto / q̄dã diuiſio dēſita
tū partibꝰ alicuiꝰ ſubiecti inherentiū q̄ diuiſio huic
materie multū claritatis et vtilitatis affert: ex qua
ꝓpoſitiones nõ nulle deducūtur: ex quibꝰ ꝓpoſiti-
onibus quedã cõcluſiones huiꝰ materie ſubtilitatē
cõprehendētes naſcūtur. Diuiſio vero ſub his ver-
bis deſcribetur. ¶ Denſitates per diuerſas partes
ſubiecti diſtribute qñ ſūt equales in gradu: ſepiꝰ
o īequales. Exemplū primi: vt ſi vtra medietas
vniꝰ pedalis ſit denſa vt .4. Exemplū ſecūdi: vt ſi al
tera medietas ſit vt .8. et altera vt .4. Itē ſi ſūt equa
les in gradu ipſe denſitates, aut extendūtur parti
bus ſubiecti equalibꝰ, aut īequalibus. Exempla in
prõptu ſunt. Itē ſi ſunt inequales in gradu: aut per
partes equales ſubiecti extendūtur, aut ꝑ īequales
Preterea ſi denſitates inequales inequalibꝰ par-
tibus ſubiecti inhereãt: hoc cõtinget dupliciter: q2
aut maior denſitas maiori parti inheret, aut mino
ri. Exemplū primi / vt ſi denſitas vt .4. inhereat ſiue
coextendatur medietati pedalis: et dēſitas vt .3. vni
q̈rte eiuſdē pedalis. Prepoſtero ordine denſitates
illis partibus diſtribuendo. exemplum ſecūdi mē-
bri patebit. Itē ſi ītenſior dēſitas parti ſubiecti mi
nori aſſcribitur et remiſſior denſitas maiori parti:
hoc tripliciter euenire ſolet: q2 aut ꝓportio illarū
partiū ſubiecti ꝓportionē illaꝝ denſitatū excedit,
aut ꝓportio denſitatū proportionē partiū ſubiecti
excedit. aut ꝓportio illaꝝ partiū eſt equalis ꝓpor-
tioni denſitatū. Exemplū primi / vt ſi in vna medie-
tate pedalis ponat̄̄ denſitas vt .8. et in vna quarta
denſitas vt .12. tūc ꝓportio partiū eſt maior ꝓpor-
tione denſitatū. Nã hec ſexquialtera eſt, illa auteꝫ
dupla. Exemplum ſecūdi / vt ſi in medietate ſubiecti
ponatur denſitas vt .4. et in quarta ponat̄̄ dēſitas
vt .12. tunc ꝓportio denſitatū excedit ꝓportionem
partiū ſubiecti: Nã hec dupla eſt: illa vero tripla vt
conſtat. Exemplū tertii / vt ſi in vna tertia ponatur
denſitas vt .6. et in vna ſexta denſitas vt .12. tūc ea-
dem eſt ꝓportio illaꝝ partiū, et etiã illaꝝ denſita-
tum. Utra em̄ dupla eſt. Hac partitione ſiue diui-
ſione exacta at conſūmata: reſtat quaſdē ꝓpoſi-
tiones preambulas ſequentiū cõcluſionū probare
tū partibꝰ alicuiꝰ ſubiecti inherentiū q̄ diuiſio huic
materie multū claritatis et vtilitatis affert: ex qua
ꝓpoſitiones nõ nulle deducūtur: ex quibꝰ ꝓpoſiti-
onibus quedã cõcluſiones huiꝰ materie ſubtilitatē
cõprehendētes naſcūtur. Diuiſio vero ſub his ver-
bis deſcribetur. ¶ Denſitates per diuerſas partes
ſubiecti diſtribute qñ ſūt equales in gradu: ſepiꝰ
o īequales. Exemplū primi: vt ſi vtra medietas
vniꝰ pedalis ſit denſa vt .4. Exemplū ſecūdi: vt ſi al
tera medietas ſit vt .8. et altera vt .4. Itē ſi ſūt equa
les in gradu ipſe denſitates, aut extendūtur parti
bus ſubiecti equalibꝰ, aut īequalibus. Exempla in
prõptu ſunt. Itē ſi ſunt inequales in gradu: aut per
partes equales ſubiecti extendūtur, aut ꝑ īequales
Preterea ſi denſitates inequales inequalibꝰ par-
tibus ſubiecti inhereãt: hoc cõtinget dupliciter: q2
aut maior denſitas maiori parti inheret, aut mino
ri. Exemplū primi / vt ſi denſitas vt .4. inhereat ſiue
coextendatur medietati pedalis: et dēſitas vt .3. vni
q̈rte eiuſdē pedalis. Prepoſtero ordine denſitates
illis partibus diſtribuendo. exemplum ſecūdi mē-
bri patebit. Itē ſi ītenſior dēſitas parti ſubiecti mi
nori aſſcribitur et remiſſior denſitas maiori parti:
hoc tripliciter euenire ſolet: q2 aut ꝓportio illarū
partiū ſubiecti ꝓportionē illaꝝ denſitatū excedit,
aut ꝓportio denſitatū proportionē partiū ſubiecti
excedit. aut ꝓportio illaꝝ partiū eſt equalis ꝓpor-
tioni denſitatū. Exemplū primi / vt ſi in vna medie-
tate pedalis ponat̄̄ denſitas vt .8. et in vna quarta
denſitas vt .12. tūc ꝓportio partiū eſt maior ꝓpor-
tione denſitatū. Nã hec ſexquialtera eſt, illa auteꝫ
dupla. Exemplum ſecūdi / vt ſi in medietate ſubiecti
ponatur denſitas vt .4. et in quarta ponat̄̄ dēſitas
vt .12. tunc ꝓportio denſitatū excedit ꝓportionem
partiū ſubiecti: Nã hec dupla eſt: illa vero tripla vt
conſtat. Exemplū tertii / vt ſi in vna tertia ponatur
denſitas vt .6. et in vna ſexta denſitas vt .12. tūc ea-
dem eſt ꝓportio illaꝝ partiū, et etiã illaꝝ denſita-
tum. Utra em̄ dupla eſt. Hac partitione ſiue diui-
ſione exacta at conſūmata: reſtat quaſdē ꝓpoſi-
tiones preambulas ſequentiū cõcluſionū probare
Prima ꝓpoſitio.
Si denſitates eque
intenſe ſiue gradu equales (quod idē eſt) partibus
eiuſdē ſubiecti extendatur equalibus: ipſe equali-
ter totū denominãt. Si o partibus ſubiecti ineq̈-
libus aſſcribant̄̄: tūc illa deuſitas q̄ maiori parti
ſubiecti aſſcribit̄̄ plus totū ipſuꝫ ſubiectū denoīat
in ꝓportione in qua ſe hñt ille partes ſubiecti ad ī-
uicē: vt ſi denſitas vt .4. ſit in vna medietate alicuiꝰ
ſubiecti: et tanta denſitas intenſiue ſit in vna quar-
ta eiuſdē ſubiecti: tūc in duplo plus denomīat totū
ilud ſubiectū denſitas ī medietate quã denſitas in
quarta: q2 medietatis ad quartã eſt ꝓportio dupla
Probatur tñ ſecūda pars huiꝰ ꝓpoſitionis (quia
prima ex ſe ptꝫ) qm̄ ex poſitione quã iam ſuſtinemꝰ
et p̄cedenti notabili recitauimꝰ / ptꝫ / denſitas exi-
ſtens in parte ſubiecti in ea ꝓportione minꝰ deno-
minat ſuū ſubiectū in qua eſt in minori parte ſubie
cti: igr̄ in quacū ꝓportione aliq̈ denſitas per ma-
iorem partem alicuius ſubiecti extenditur quã alia
em̄ equalis in gradu: in eadē ꝓportione plus ſuum
ſubiectū denominat / quod fuit probandum.
intenſe ſiue gradu equales (quod idē eſt) partibus
eiuſdē ſubiecti extendatur equalibus: ipſe equali-
ter totū denominãt. Si o partibus ſubiecti ineq̈-
libus aſſcribant̄̄: tūc illa deuſitas q̄ maiori parti
ſubiecti aſſcribit̄̄ plus totū ipſuꝫ ſubiectū denoīat
in ꝓportione in qua ſe hñt ille partes ſubiecti ad ī-
uicē: vt ſi denſitas vt .4. ſit in vna medietate alicuiꝰ
ſubiecti: et tanta denſitas intenſiue ſit in vna quar-
ta eiuſdē ſubiecti: tūc in duplo plus denomīat totū
ilud ſubiectū denſitas ī medietate quã denſitas in
quarta: q2 medietatis ad quartã eſt ꝓportio dupla
Probatur tñ ſecūda pars huiꝰ ꝓpoſitionis (quia
prima ex ſe ptꝫ) qm̄ ex poſitione quã iam ſuſtinemꝰ
et p̄cedenti notabili recitauimꝰ / ptꝫ / denſitas exi-
ſtens in parte ſubiecti in ea ꝓportione minꝰ deno-
minat ſuū ſubiectū in qua eſt in minori parte ſubie
cti: igr̄ in quacū ꝓportione aliq̈ denſitas per ma-
iorem partem alicuius ſubiecti extenditur quã alia
em̄ equalis in gradu: in eadē ꝓportione plus ſuum
ſubiectū denominat / quod fuit probandum.
Scḋa ꝓpoſitio.
Qñ inequales denſi
tates equalibus partibus ſubtecti inherent: tūc in
tenſior denſitas in ea ꝓportione plus denominat
totū ſubiectū in qua eſt intenſior. Probat̄̄ / qm̄ ſi il-
le denſitas eſſent equales in gradu cum inhereant
partibus equalibus ipſum equaliter totū denſum
denominarēt: vt docet prior pars p̄cedentis cõclu-
ſionis: ſed modo vna illaꝝ denſitatū eſt intēſior in
f. ꝓportione exempli gratia et ſicut eſt intenſior ita
plus denoīat ceteris paribus: igr̄ in f. ꝓportione
plus denoīat ꝙ̄ reliqua, et in f. ꝓportione eſt inten-
ſior / vt ponitur: igr̄ in ea ꝓportiõe in qua intenſior
plus totū ſubiectū denoīat / quod fuit probandum.
tates equalibus partibus ſubtecti inherent: tūc in
tenſior denſitas in ea ꝓportione plus denominat
totū ſubiectū in qua eſt intenſior. Probat̄̄ / qm̄ ſi il-
le denſitas eſſent equales in gradu cum inhereant
partibus equalibus ipſum equaliter totū denſum
denominarēt: vt docet prior pars p̄cedentis cõclu-
ſionis: ſed modo vna illaꝝ denſitatū eſt intēſior in
f. ꝓportione exempli gratia et ſicut eſt intenſior ita
plus denoīat ceteris paribus: igr̄ in f. ꝓportione
plus denoīat ꝙ̄ reliqua, et in f. ꝓportione eſt inten-
ſior / vt ponitur: igr̄ in ea ꝓportiõe in qua intenſior
plus totū ſubiectū denoīat / quod fuit probandum.
Tertia ꝓpoſitio.
Si inequales den-
ſitates in gradu partibus eiuſdē ſubiecti inequali
bus accõmodant̄̄, et intenſior maiori parti depute
tur remiſſior vero minori: tunc intenſior denſitas
plus denominant totū ꝙ̄ remiſſior in ꝓportione cõ-
poſita ex ꝓportione partis maioris ad partē mi-
norē, et denſitatis intenſioris ad denſitatē remiſſi-
orē. Exemplū / vt ſi in vna medietate pedalis ponat̄̄
denſitas vt .4. et in quarta eiuſdē ponat̄̄ denſitas
vt .2. / tūc dico intenſionē exiſtentē in medietate ſub-
iecti in quadruplo plus denominare illud ſubiectū
denſitate exiſtente in quarta eiuſdē ſubiecti: qm̄ ꝓ-
portio illaꝝ partiū et etiã denſitatū eſt dupla et ſic
cõpoſita ex illis duplis eſt quadrupla: vt ptꝫ. Pro
batur tñ hec ꝓpoſitio vniuerſaliter: et ſit a. dēſitas
intenſior ꝑ maiorē partē extenſa b.o remiſſior ꝑ
minorē partē extenſa: tūc a. denſitas denoīat ſub-
iectū totale pluſ̄ b. denſitas in ꝓportione cõpoſi-
ta ex ꝓportione partis in qua eſt a. ad partē in qua
eſt b. q̄ ꝓportio ſit c. et ex ꝓportiõe denſitatis a. ad
dēſitatē b. q̄ ꝓportio ſit d. Qḋ ſic oſtenditur / q2 ſi a.
denſitas eſſet equalis b. denſitati tūc a. plus deno-
minaret ſubiectū ꝙ̄ b. in ꝓportione c. q̄ eſt ꝓportio
partiū. vt pꝫ ex ſecūda parte prime cõcluſionis: ſꝫ
modo a. eſt intenſior denſitas quam tunc eſſet in d.
ꝓportione q̄ eſt ꝓportio illaꝝ denſitatū: igr̄ modo
in d. ꝓportione plus denoīat totū quã tūc. Ptꝫ tñ
hec ↄ̨ña / q2 quãto aliqua denſitas eſt intenſior cete
ris paribus exiſtēs in aliqua parte ſubiecti, tanto
plꝰ facit ad denoīationē ſui ſubiecti vt tenet hec po
ſitio: igr̄ nūc a. denſitas plus facit ad denoīationē
ſitates in gradu partibus eiuſdē ſubiecti inequali
bus accõmodant̄̄, et intenſior maiori parti depute
tur remiſſior vero minori: tunc intenſior denſitas
plus denominant totū ꝙ̄ remiſſior in ꝓportione cõ-
poſita ex ꝓportione partis maioris ad partē mi-
norē, et denſitatis intenſioris ad denſitatē remiſſi-
orē. Exemplū / vt ſi in vna medietate pedalis ponat̄̄
denſitas vt .4. et in quarta eiuſdē ponat̄̄ denſitas
vt .2. / tūc dico intenſionē exiſtentē in medietate ſub-
iecti in quadruplo plus denominare illud ſubiectū
denſitate exiſtente in quarta eiuſdē ſubiecti: qm̄ ꝓ-
portio illaꝝ partiū et etiã denſitatū eſt dupla et ſic
cõpoſita ex illis duplis eſt quadrupla: vt ptꝫ. Pro
batur tñ hec ꝓpoſitio vniuerſaliter: et ſit a. dēſitas
intenſior ꝑ maiorē partē extenſa b.o remiſſior ꝑ
minorē partē extenſa: tūc a. denſitas denoīat ſub-
iectū totale pluſ̄ b. denſitas in ꝓportione cõpoſi-
ta ex ꝓportione partis in qua eſt a. ad partē in qua
eſt b. q̄ ꝓportio ſit c. et ex ꝓportiõe denſitatis a. ad
dēſitatē b. q̄ ꝓportio ſit d. Qḋ ſic oſtenditur / q2 ſi a.
denſitas eſſet equalis b. denſitati tūc a. plus deno-
minaret ſubiectū ꝙ̄ b. in ꝓportione c. q̄ eſt ꝓportio
partiū. vt pꝫ ex ſecūda parte prime cõcluſionis: ſꝫ
modo a. eſt intenſior denſitas quam tunc eſſet in d.
ꝓportione q̄ eſt ꝓportio illaꝝ denſitatū: igr̄ modo
in d. ꝓportione plus denoīat totū quã tūc. Ptꝫ tñ
hec ↄ̨ña / q2 quãto aliqua denſitas eſt intenſior cete
ris paribus exiſtēs in aliqua parte ſubiecti, tanto
plꝰ facit ad denoīationē ſui ſubiecti vt tenet hec po
ſitio: igr̄ nūc a. denſitas plus facit ad denoīationē