193 ſui ſubiecti quã b. in c. proportione partium, et in d.
ꝓportione intenſionū illaꝝ denſitatū ſimul: igitur
plus denoīat a. quã b. ſuū ſubiectū in proportione
q̄ adequate cõponitur ex proportione c. partiū et d.
intenſionū illaꝝ dēſitatum: quod fuit probandum.
ꝓportione intenſionū illaꝝ denſitatū ſimul: igitur
plus denoīat a. quã b. ſuū ſubiectū in proportione
q̄ adequate cõponitur ex proportione c. partiū et d.
intenſionū illaꝝ dēſitatum: quod fuit probandum.
Quarta ꝓpoſitio.
Si intenſior denſi
tas parti extendatur minori: et remiſſior maiori: ſit
equalis ꝓportio partiū ad inuicē: et etiã denſita-
tum: tunc ille denſitates equaliter ad totius deno-
minationē faciūt. Exemplū / vt ſi in vna medietate
ponatur denſitas vt .4. et in vna quarta vt .8. quia
tunc inter partes et inter denſitates eſt proportio
dupla. Ideo tm̄ adequate facit ad denoīationē to-
tius ſubiecti denſitas vt .8. in vna quarta quantuꝫ
denſitas vt .4. in vna medietate: q2 vtra facit vt
duo vt ptꝫ calculanti et aſpicienti attentius. Pro-
batur tñ generaliter / et ſit a. denſitas intenſior per
minorē partē extenſa et b. remiſſior extenſa ꝑ ma-
iorē partē, et ſit f. ꝓportio inter illas partes et etiã
ſi .f. proportio inter illas denſitates a .b. / tunc dico
b. deuſitas equaliter denoīat totū ſuū ſubiectuꝫ
cū ipſa a. denſitate. Quod ſic argr̄ / ſi a. dēſitas exi
ſtens in minori parte quã b. eſſet equalis in gradu
ipſi b. tunc in f. ꝓportione minꝰ denoīaret totum ̄
b. modo denoīat / vt ptꝫ clare ex ſecūda parte prime
ꝓpoſitionis: ſed modo in f. ꝓportiõe plus denoīat
quã tunc: q2 in f. ꝓportione eſt intenſior ceteris pa-
ribus: igitur modo tantū denominat ſicut b. / quod
fuit probandum.
tas parti extendatur minori: et remiſſior maiori: ſit
equalis ꝓportio partiū ad inuicē: et etiã denſita-
tum: tunc ille denſitates equaliter ad totius deno-
minationē faciūt. Exemplū / vt ſi in vna medietate
ponatur denſitas vt .4. et in vna quarta vt .8. quia
tunc inter partes et inter denſitates eſt proportio
dupla. Ideo tm̄ adequate facit ad denoīationē to-
tius ſubiecti denſitas vt .8. in vna quarta quantuꝫ
denſitas vt .4. in vna medietate: q2 vtra facit vt
duo vt ptꝫ calculanti et aſpicienti attentius. Pro-
batur tñ generaliter / et ſit a. denſitas intenſior per
minorē partē extenſa et b. remiſſior extenſa ꝑ ma-
iorē partē, et ſit f. ꝓportio inter illas partes et etiã
ſi .f. proportio inter illas denſitates a .b. / tunc dico
b. deuſitas equaliter denoīat totū ſuū ſubiectuꝫ
cū ipſa a. denſitate. Quod ſic argr̄ / ſi a. dēſitas exi
ſtens in minori parte quã b. eſſet equalis in gradu
ipſi b. tunc in f. ꝓportione minꝰ denoīaret totum ̄
b. modo denoīat / vt ptꝫ clare ex ſecūda parte prime
ꝓpoſitionis: ſed modo in f. ꝓportiõe plus denoīat
quã tunc: q2 in f. ꝓportione eſt intenſior ceteris pa-
ribus: igitur modo tantū denominat ſicut b. / quod
fuit probandum.
Quinta ꝓpoſitio.
Si intenſior denſi
tas parti ſubiecti extendatur minori, et remiſſior
maiori parti eiuſdē ſubiecti īhereat, et ꝓportio in-
tenſionū illaꝝ deuſitatū excedat ꝓportionē partiū
tunc denſitas exiſtēs in miuore parte ſubiecti ipſū
totū ſubiectū denſius denoīabit ꝙ̄ denſitas exiſtēs
in maiori parte in ea ꝓportione ꝑ quã ꝓportio in-
tenſionū illaꝝ denſitatū excedit ꝓportionē partiū
in quibus ſunt ille denſitates. Exemplū / vt ſi in vna
medietate pedalis ponatur denſitas vt duo, et in
quarta eiuſdē denſitas vt .8. q2 ꝓportio partiū ex-
ceditur a ꝓportione quadrupla illaꝝ denſitatum
et quadrupla ex duplã per duplã. Ideo in du-
plo plus denoīat denſitas vt .8. quã denſitas vt .2.
illud totale ſubiectū denoīet q2 illa vt .2. denoīat
vt vnū, alia vero vt .8. denoīat vt .2. / vt ptꝫ calculã-
ti. Probat̄̄ tñ vniuerſaliter ſit a. denſitas intēſior
b. vero remiſſior exiſtens in maiore parte ſubiecti
quã a. ſit ꝓportio partiū c. ꝓportio vero intenſi-
onū illaꝝ denſitatū d. q̄ ſit maior et excedãt d. ꝓpor
tio ipſam c. ꝓportionē ꝑ f. ꝓportionē: tunc a. denſi-
tas denoīat ſubiectū in f. ꝓportiõe denſius quã b.
Quod ſic argr̄ / q2 ſi ꝓportio intenſionū illaꝝ den-
ſitatū eſſet equalis ꝓportioni c. illaꝝ partiū ſubie
cti: tūc eq̈liṫ a. faceret ad totius ſubiecti denoīatio
nē / vt pꝫ ex preredenti ꝓportione ſed modo a. eſt iu
f. ꝓportione intenſior denſitas quam tunc / g̊ modo
in f. ꝓportione plus facit ad totius denoīationem
̄ tunc: et ꝑ ↄ̨ñs in f. ꝓportiõe modo plus facit ̄
b. / quod fuit ꝓbandū Ptꝫ ↄ̨ña / q2 tm̄ facit b. modo
ſicut tunc a. / vt ptꝫ. Q, vero a. denſitas ſit nunc in f.
ꝓportione intenſior / ꝙ̄ tunc ptꝫ per hanc maximã.
Quãdo due ꝓportiones ſunt equales ad hoc
vna illaꝝ excedat alterã per f. proportionē requiri
tur numerus maior acquirat illã f. ꝓportionē ſu
pra ſe, ſi numerus minor debet manere inuariatus /
vt ptꝫ facile in numeris: et ſic ptꝫ propoſitio.
tas parti ſubiecti extendatur minori, et remiſſior
maiori parti eiuſdē ſubiecti īhereat, et ꝓportio in-
tenſionū illaꝝ deuſitatū excedat ꝓportionē partiū
tunc denſitas exiſtēs in miuore parte ſubiecti ipſū
totū ſubiectū denſius denoīabit ꝙ̄ denſitas exiſtēs
in maiori parte in ea ꝓportione ꝑ quã ꝓportio in-
tenſionū illaꝝ denſitatū excedit ꝓportionē partiū
in quibus ſunt ille denſitates. Exemplū / vt ſi in vna
medietate pedalis ponatur denſitas vt duo, et in
quarta eiuſdē denſitas vt .8. q2 ꝓportio partiū ex-
ceditur a ꝓportione quadrupla illaꝝ denſitatum
et quadrupla ex duplã per duplã. Ideo in du-
plo plus denoīat denſitas vt .8. quã denſitas vt .2.
illud totale ſubiectū denoīet q2 illa vt .2. denoīat
vt vnū, alia vero vt .8. denoīat vt .2. / vt ptꝫ calculã-
ti. Probat̄̄ tñ vniuerſaliter ſit a. denſitas intēſior
b. vero remiſſior exiſtens in maiore parte ſubiecti
quã a. ſit ꝓportio partiū c. ꝓportio vero intenſi-
onū illaꝝ denſitatū d. q̄ ſit maior et excedãt d. ꝓpor
tio ipſam c. ꝓportionē ꝑ f. ꝓportionē: tunc a. denſi-
tas denoīat ſubiectū in f. ꝓportiõe denſius quã b.
Quod ſic argr̄ / q2 ſi ꝓportio intenſionū illaꝝ den-
ſitatū eſſet equalis ꝓportioni c. illaꝝ partiū ſubie
cti: tūc eq̈liṫ a. faceret ad totius ſubiecti denoīatio
nē / vt pꝫ ex preredenti ꝓportione ſed modo a. eſt iu
f. ꝓportione intenſior denſitas quam tunc / g̊ modo
in f. ꝓportione plus facit ad totius denoīationem
̄ tunc: et ꝑ ↄ̨ñs in f. ꝓportiõe modo plus facit ̄
b. / quod fuit ꝓbandū Ptꝫ ↄ̨ña / q2 tm̄ facit b. modo
ſicut tunc a. / vt ptꝫ. Q, vero a. denſitas ſit nunc in f.
ꝓportione intenſior / ꝙ̄ tunc ptꝫ per hanc maximã.
Quãdo due ꝓportiones ſunt equales ad hoc
vna illaꝝ excedat alterã per f. proportionē requiri
tur numerus maior acquirat illã f. ꝓportionē ſu
pra ſe, ſi numerus minor debet manere inuariatus /
vt ptꝫ facile in numeris: et ſic ptꝫ propoſitio.
Sexta ꝓpoſitio.
Ubicū maior den
ſitas parti ſubiecti minori inheret, et remiſſior den
ſitas maiori parti, eſt inter partes maior ꝓpor-
tio quã inter illaꝝ denſitatū intenſiones: tunc den
ſitas remiſſior plus facit ad totius denoīationem
quã intenſior in ea proportione per quã proportio
partiū ꝓportionē denſitatū exuperat. Exemplum
eſt facile. Probat̄̄ hec ꝓpoſitio generaliter / ſit a.
denſitas intenſior ī minore parte exiſtēs, b. vero re
miſſior in maiore parte exiſtēs et ſi proportio par
tiū c, et denſitatū d. et c. proportio partium excedat
d. ꝓportionē denſitatū per f. / tunc argr̄ ſic / ſi ꝓpor-
tio partiū puta partis maioris ad partē minoreꝫ
diminueretur per f. ꝓportionē tūc b. denſitas equa
liter denoīaret totū ſicut a. denſitas: ſed modo eſt
in parte in f. ꝓportioue maiore quã tunc eſſet cete-
ris paribus: g̊ modo in f. ꝓportione b. plus deno-
minat quã tuuc: et per cõſequēs modo in f. ꝓportiõe
b. plus denoīat totū ſubiectū quã a. denſitas. Ptꝫ
cõſequētia / q2 denoīatio qua modo denoīat a. den
ſitas, et qua tunc denoīaret b. dēſitas ſunt equales
Q, o tunc b. equaliter denoīaret cū ipſa a. denſi-
tate ptꝫ ex quarta ꝓpoſitione. Et ſic ptꝫ / in ea ꝓ-
portione denſitas remiſſior plus facit ad denoīa-
tionē totius per quam proportio partium excedit
ꝓportionē denſitatū / quod fuit ꝓbandū. 112. pars q̄
ſtionis. ¶ Abſolu
tis notabilibꝰ, prima parte huiꝰ q̄ſtionis expedi
ta: reſtat ad ſecundã partē ſiue articulū huiꝰ q̄ſtio-
nis accedere qui articulus cõcluſionibus quibuſdã
ex p̄dictis ꝓpoſitonibus ſequentibꝰ accõmodatur
His em̄ ſequētibꝰ cõcluſionibꝰ p̄ſentis q̄ſtionis dif
ficultas notatur at abſoluitur. Sit igitur.
ſitas parti ſubiecti minori inheret, et remiſſior den
ſitas maiori parti, eſt inter partes maior ꝓpor-
tio quã inter illaꝝ denſitatū intenſiones: tunc den
ſitas remiſſior plus facit ad totius denoīationem
quã intenſior in ea proportione per quã proportio
partiū ꝓportionē denſitatū exuperat. Exemplum
eſt facile. Probat̄̄ hec ꝓpoſitio generaliter / ſit a.
denſitas intenſior ī minore parte exiſtēs, b. vero re
miſſior in maiore parte exiſtēs et ſi proportio par
tiū c, et denſitatū d. et c. proportio partium excedat
d. ꝓportionē denſitatū per f. / tunc argr̄ ſic / ſi ꝓpor-
tio partiū puta partis maioris ad partē minoreꝫ
diminueretur per f. ꝓportionē tūc b. denſitas equa
liter denoīaret totū ſicut a. denſitas: ſed modo eſt
in parte in f. ꝓportioue maiore quã tunc eſſet cete-
ris paribus: g̊ modo in f. ꝓportione b. plus deno-
minat quã tuuc: et per cõſequēs modo in f. ꝓportiõe
b. plus denoīat totū ſubiectū quã a. denſitas. Ptꝫ
cõſequētia / q2 denoīatio qua modo denoīat a. den
ſitas, et qua tunc denoīaret b. dēſitas ſunt equales
Q, o tunc b. equaliter denoīaret cū ipſa a. denſi-
tate ptꝫ ex quarta ꝓpoſitione. Et ſic ptꝫ / in ea ꝓ-
portione denſitas remiſſior plus facit ad denoīa-
tionē totius per quam proportio partium excedit
ꝓportionē denſitatū / quod fuit ꝓbandū. 112. pars q̄
ſtionis. ¶ Abſolu
tis notabilibꝰ, prima parte huiꝰ q̄ſtionis expedi
ta: reſtat ad ſecundã partē ſiue articulū huiꝰ q̄ſtio-
nis accedere qui articulus cõcluſionibus quibuſdã
ex p̄dictis ꝓpoſitonibus ſequentibꝰ accõmodatur
His em̄ ſequētibꝰ cõcluſionibꝰ p̄ſentis q̄ſtionis dif
ficultas notatur at abſoluitur. Sit igitur.
Prima concluſio.
Diuiſo aliquo cor-
pore benſo per partes ꝓportionales quauis pro-
portione, et prima pars ꝓportionalis ſit aliquali
ter denſa, et ſecūda in duplo plus, et tertia in triplo
plus ꝙ̄ prima, et ſic in infinitū: tunc totū corpus eſt
denſus prima parte ꝓportionali in ea ꝓportione
qua ſe hꝫ totū ſic diuiſum ad primã partē eiꝰ ꝓpor
tionalē. Ptꝫ hec cõcluſio ex ꝓbatione ſecūde cõclu
ſionis tertii capitis ſecūdi tractatus huius tertie
partis vbi et ꝓbationē et exemplū eiꝰ īueniens. 221. correĺ. ¶ Ex
hac cõcluſione ſequitur primo / ſi aliquod corpus
diuidatur ꝓportione tripla, et prima pars ꝓpor-
tionalis eiꝰ ſit aliquantulū denſa, et ſecūda in du-
plo, et tertia in triplo quã prima, et ſic cõſequenter:
tunc totum eſt in ſexquialtero denſius prima parte
Et ſi diuidatur corpus ꝓportione quadrupla: totū
eſt denſius prima parte proportionali in ſexq̇ter-
tio. et ſi proportiõe quītupla: totū erit denſius pri-
ma parte proportionali in ꝓportione ſexquiquar
ta. Et ſi in proportiõe ſextupla: in proportiõe ſexq̇-
quīta. Et fi proportiõe ſeptupla: in proportiõe ſex-
quiſexta: et ſic cõſequēter ꝓcedendo per ſpecies pro
portionis multiplicis ſuperparticularis. Proba
tur hoc longū correlariū / q2 corpus diuiſum ꝓpor-
tione tripla ſe hꝫ ad primã partē proportionalem
eiꝰ in proportiõe ſexq̇altera: et diuiſum proportiõe
quadrupla in proportiõe ſexq̇tertia: et diuiſum quī
tupla ſe hꝫ ad primã partē proportiõalē in propor
tione ſexquiquarta / et ſic cõſequēter / vt ptꝫ ex prima
parte huiꝰ operis capitulo quīto et ſexto: igr̄ in ca-
ſu correlarii ſequit̄̄ / ſi diuidat̄̄ proportiõe tripla
ipſum erit denſius prima parte proportionali in
ſexquialtero, et ſi quadrupla in proportione ſexq̇-
tertia, et ſi quītupla in ſexquiquarta, et ſic cõſequē-
ter. Ptꝫ hec cõſequentia per cõcluſionē precedentē
332. correĺ. ¶ Sequit̄̄ ſecundo / ſi diuidat̄̄ corpus per partes
proportionales proportiõe dupla, diſtribuatur
pore benſo per partes ꝓportionales quauis pro-
portione, et prima pars ꝓportionalis ſit aliquali
ter denſa, et ſecūda in duplo plus, et tertia in triplo
plus ꝙ̄ prima, et ſic in infinitū: tunc totū corpus eſt
denſus prima parte ꝓportionali in ea ꝓportione
qua ſe hꝫ totū ſic diuiſum ad primã partē eiꝰ ꝓpor
tionalē. Ptꝫ hec cõcluſio ex ꝓbatione ſecūde cõclu
ſionis tertii capitis ſecūdi tractatus huius tertie
partis vbi et ꝓbationē et exemplū eiꝰ īueniens. 221. correĺ. ¶ Ex
hac cõcluſione ſequitur primo / ſi aliquod corpus
diuidatur ꝓportione tripla, et prima pars ꝓpor-
tionalis eiꝰ ſit aliquantulū denſa, et ſecūda in du-
plo, et tertia in triplo quã prima, et ſic cõſequenter:
tunc totum eſt in ſexquialtero denſius prima parte
Et ſi diuidatur corpus ꝓportione quadrupla: totū
eſt denſius prima parte proportionali in ſexq̇ter-
tio. et ſi proportiõe quītupla: totū erit denſius pri-
ma parte proportionali in ꝓportione ſexquiquar
ta. Et ſi in proportiõe ſextupla: in proportiõe ſexq̇-
quīta. Et fi proportiõe ſeptupla: in proportiõe ſex-
quiſexta: et ſic cõſequēter ꝓcedendo per ſpecies pro
portionis multiplicis ſuperparticularis. Proba
tur hoc longū correlariū / q2 corpus diuiſum ꝓpor-
tione tripla ſe hꝫ ad primã partē proportionalem
eiꝰ in proportiõe ſexq̇altera: et diuiſum proportiõe
quadrupla in proportiõe ſexq̇tertia: et diuiſum quī
tupla ſe hꝫ ad primã partē proportiõalē in propor
tione ſexquiquarta / et ſic cõſequēter / vt ptꝫ ex prima
parte huiꝰ operis capitulo quīto et ſexto: igr̄ in ca-
ſu correlarii ſequit̄̄ / ſi diuidat̄̄ proportiõe tripla
ipſum erit denſius prima parte proportionali in
ſexquialtero, et ſi quadrupla in proportione ſexq̇-
tertia, et ſi quītupla in ſexquiquarta, et ſic cõſequē-
ter. Ptꝫ hec cõſequentia per cõcluſionē precedentē
332. correĺ. ¶ Sequit̄̄ ſecundo / ſi diuidat̄̄ corpus per partes
proportionales proportiõe dupla, diſtribuatur