194 denſitas in partes ꝓportionales / vt ponit̄̄ in pre-
cedēti correlario: ita prima ſit aliqualiter dēſa
ſcḋa in duplo, tertia in triplo, et ſic ↄ̨ſequēter: tunc
totum eſt in duplo denſius ſua prima parte ꝓpor-
tionali. Probat̄̄ / q2 totū diuiſum per partes ꝓpor
tionales ꝓportiõe dupla eſt duplum ad primã par
tē ꝓportionalē eius / vt ptꝫ ex quinto capite prealle
gato prime partis huius libri: igitur ꝑ cõcluſionē
primã immediate p̄cedentē illud eſt denſius prima
parte ꝓportionali in ꝓportione dupla. 113. correĺ. ¶ Sequit̄̄
tertio / diuiſo corpore ſi ꝑ partes ꝓportionales
ꝓportione dupla / vt ponit̄̄ in antecedēti correlario
totum eſt ita denſum ſicut ſcḋa pars proportiona
lis eius. Probat̄̄ / q2 in duplo denſius prima vt ſe-
cundū correlarium aſſerit: et ſcḋa pars ꝓportiona
lis eſt etiã in duplo denſior prima: g̊ totū eſt ita dē
ſum ſicut ſecūda pars ꝓportionalis / quod fuit pro
bandū. Patet conſequētia ꝑ hanc maximã Oīa ha-
bentia equalē ꝓportionē ad vnū tertiū ſunt equa-
lia: ſꝫ totius denſitas et denſitas ſecūde partis ꝓ-
portionalis habent equalem proportionē ad den-
ſitatē prime partis ꝓportiõis puta duplã: igit̄̄ dē-
ſitas totius et ſecūde partis ꝓportionalis ſūt equa
les / quod erat inducendū. 224. correĺ. ¶ Sequit̄̄ quarto / ſi ali
quod corpus diuidat̄̄ ꝑ partes ꝓportiõales ꝓpor-
portione ſexquialtera: et prīa pars ꝓportionalis
ſit aliqualiter denſa: et ſecūda ī duplo: et tertia ī tri
plo ꝙ̄ prima: et ſic cõſequēter vt ponitur in caſu pri
me cõcluſionis et correlarii: totū eſt in triplo dēſius
prima parte ꝓportionali. Et ſi diuidatur ꝓportio
ne ſexquitertia: totū erit denſius prima parte pro-
portionali in quadruplo. Et ſi in ſexquiquarta: to
tum erit denſius prima parte ꝓportionali in ꝓpor
tione quītupla. et ſic ↄ̨ſequēter ꝓcedēdo ꝑ ſpecies
ꝓportionis ſuperparticularis in diuiſione corpo
is: et per ſpecies proportionis multiplicis ex parte
denſitatis. Probatur hoc corolariuꝫ / quia totum
diuiſum ꝑ partes porportionales proportione ſex
quialtera eſt tripluꝫ ad primã ꝑtē eiꝰ ꝓportionalē
et ſexquitertia quadruplū: et ſexquiquarta quītu-
plum. vt pꝫ ex prima parte huiꝰ operis: g̊ in eiſdem
ꝓportionibus ſe habēt denſitates totius ad denſi
tatem prime partis ꝓportionalis. igit̄̄ correlariuꝫ
verum. 335. correĺ. ¶ Sequitur quito / ſi diuidatur corpus vt
dicitur in p̄cedenti correlario vt puta ꝓportiõe ſex
quialtera: et prima pars ſit aliqualiter denſa: et ſe
cunda in duplo: et tertia in triplo .etc̈. totum eſt ita
denſum ſicut tertia pars ꝓportionalis eius. Et ſi
ſexq̇tertia ſicut quarta pars ꝓportiõalis eiꝰ. Et ſi
ſexquiquarta ſicut quīta pars ꝓportionalis eius.
Et ſexquiquinta: ſicut ſexta pars ꝓportionalis eiꝰ /
et ſic cõſequēter aſcendēdo ꝑ partes ꝓportionales
et per ſpecies ꝓportiõis ſuꝑparticularis in infini
tum. Probat̄̄ / qm̄ ſi corpus ſit diuiſum ꝓportione
ſexquialtera ipſum eſt in triplo denſius prīa par-
te ꝓportionali / vt ptꝫ ex precedenti correlario et ter
tia pars ꝓportionalis eſt etiã in triplo denſior pri
ma / vt ptꝫ ex caſu. g̊ eſt ita denſum tale corpus ſicut
tertia pars ꝓportionalis. Itē ſi diuidatur ꝓportio
ne ſexquitertia ip̄m eſt in quadruplo denſius ṗma
eius parte ꝓportionali / vt pꝫ ex p̄cedenti correlario
et etiã quarta pars ꝓportionalis eiꝰ eſt in quadru
plo denſior ṗma / vt pꝫ ex caſu. igit̄̄ illud corpus ita
diuiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione ſexqui
tertia eſt ita denſum ſicut quarta pars proportio-
nalis eius. Et iſto mõ probabis ceteras ꝑticulas
correlarii. 446. correĺ. ¶ Sequit̄̄ ſexto / ſi aliquod corpꝰ diui
datur ꝑ partes ꝓportionales proportiõe ſuperbi
patiente tertias et partes eius ſint ita denſe / vt ſe-
pius dictum eſt in p̄cedētibus correlariis: totū erit
denſius ṗma parte ꝓportionali in ꝓportione du-
pla ſexquialtera: ita ſi ṗma eſt denſa vt .2. totuꝫ
erit denſum vt .5. Probat̄̄ correlariū / qm̄ totū erit
denſius ṗma parte proportionali in tali caſu in ꝓ
portione qua ſe habet totū diuiſum ꝑ partes ꝓpor
tionales ꝓportione ſuperbipartiēte tertias ad ſu
am primã partē proportionalē / vt ptꝫ ex cõcluſione
ſed talis eſt ꝓportio dupla ſexquialtera / vt patꝫ ex
capĺo q̇nto prime partis huius operis: igit̄̄ corre-
larium verum.
cedēti correlario: ita prima ſit aliqualiter dēſa
ſcḋa in duplo, tertia in triplo, et ſic ↄ̨ſequēter: tunc
totum eſt in duplo denſius ſua prima parte ꝓpor-
tionali. Probat̄̄ / q2 totū diuiſum per partes ꝓpor
tionales ꝓportiõe dupla eſt duplum ad primã par
tē ꝓportionalē eius / vt ptꝫ ex quinto capite prealle
gato prime partis huius libri: igitur ꝑ cõcluſionē
primã immediate p̄cedentē illud eſt denſius prima
parte ꝓportionali in ꝓportione dupla. 113. correĺ. ¶ Sequit̄̄
tertio / diuiſo corpore ſi ꝑ partes ꝓportionales
ꝓportione dupla / vt ponit̄̄ in antecedēti correlario
totum eſt ita denſum ſicut ſcḋa pars proportiona
lis eius. Probat̄̄ / q2 in duplo denſius prima vt ſe-
cundū correlarium aſſerit: et ſcḋa pars ꝓportiona
lis eſt etiã in duplo denſior prima: g̊ totū eſt ita dē
ſum ſicut ſecūda pars ꝓportionalis / quod fuit pro
bandū. Patet conſequētia ꝑ hanc maximã Oīa ha-
bentia equalē ꝓportionē ad vnū tertiū ſunt equa-
lia: ſꝫ totius denſitas et denſitas ſecūde partis ꝓ-
portionalis habent equalem proportionē ad den-
ſitatē prime partis ꝓportiõis puta duplã: igit̄̄ dē-
ſitas totius et ſecūde partis ꝓportionalis ſūt equa
les / quod erat inducendū. 224. correĺ. ¶ Sequit̄̄ quarto / ſi ali
quod corpus diuidat̄̄ ꝑ partes ꝓportiõales ꝓpor-
portione ſexquialtera: et prīa pars ꝓportionalis
ſit aliqualiter denſa: et ſecūda ī duplo: et tertia ī tri
plo ꝙ̄ prima: et ſic cõſequēter vt ponitur in caſu pri
me cõcluſionis et correlarii: totū eſt in triplo dēſius
prima parte ꝓportionali. Et ſi diuidatur ꝓportio
ne ſexquitertia: totū erit denſius prima parte pro-
portionali in quadruplo. Et ſi in ſexquiquarta: to
tum erit denſius prima parte ꝓportionali in ꝓpor
tione quītupla. et ſic ↄ̨ſequēter ꝓcedēdo ꝑ ſpecies
ꝓportionis ſuperparticularis in diuiſione corpo
is: et per ſpecies proportionis multiplicis ex parte
denſitatis. Probatur hoc corolariuꝫ / quia totum
diuiſum ꝑ partes porportionales proportione ſex
quialtera eſt tripluꝫ ad primã ꝑtē eiꝰ ꝓportionalē
et ſexquitertia quadruplū: et ſexquiquarta quītu-
plum. vt pꝫ ex prima parte huiꝰ operis: g̊ in eiſdem
ꝓportionibus ſe habēt denſitates totius ad denſi
tatem prime partis ꝓportionalis. igit̄̄ correlariuꝫ
verum. 335. correĺ. ¶ Sequitur quito / ſi diuidatur corpus vt
dicitur in p̄cedenti correlario vt puta ꝓportiõe ſex
quialtera: et prima pars ſit aliqualiter denſa: et ſe
cunda in duplo: et tertia in triplo .etc̈. totum eſt ita
denſum ſicut tertia pars ꝓportionalis eius. Et ſi
ſexq̇tertia ſicut quarta pars ꝓportiõalis eiꝰ. Et ſi
ſexquiquarta ſicut quīta pars ꝓportionalis eius.
Et ſexquiquinta: ſicut ſexta pars ꝓportionalis eiꝰ /
et ſic cõſequēter aſcendēdo ꝑ partes ꝓportionales
et per ſpecies ꝓportiõis ſuꝑparticularis in infini
tum. Probat̄̄ / qm̄ ſi corpus ſit diuiſum ꝓportione
ſexquialtera ipſum eſt in triplo denſius prīa par-
te ꝓportionali / vt ptꝫ ex precedenti correlario et ter
tia pars ꝓportionalis eſt etiã in triplo denſior pri
ma / vt ptꝫ ex caſu. g̊ eſt ita denſum tale corpus ſicut
tertia pars ꝓportionalis. Itē ſi diuidatur ꝓportio
ne ſexquitertia ip̄m eſt in quadruplo denſius ṗma
eius parte ꝓportionali / vt pꝫ ex p̄cedenti correlario
et etiã quarta pars ꝓportionalis eiꝰ eſt in quadru
plo denſior ṗma / vt pꝫ ex caſu. igit̄̄ illud corpus ita
diuiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione ſexqui
tertia eſt ita denſum ſicut quarta pars proportio-
nalis eius. Et iſto mõ probabis ceteras ꝑticulas
correlarii. 446. correĺ. ¶ Sequit̄̄ ſexto / ſi aliquod corpꝰ diui
datur ꝑ partes ꝓportionales proportiõe ſuperbi
patiente tertias et partes eius ſint ita denſe / vt ſe-
pius dictum eſt in p̄cedētibus correlariis: totū erit
denſius ṗma parte ꝓportionali in ꝓportione du-
pla ſexquialtera: ita ſi ṗma eſt denſa vt .2. totuꝫ
erit denſum vt .5. Probat̄̄ correlariū / qm̄ totū erit
denſius ṗma parte proportionali in tali caſu in ꝓ
portione qua ſe habet totū diuiſum ꝑ partes ꝓpor
tionales ꝓportione ſuperbipartiēte tertias ad ſu
am primã partē proportionalē / vt ptꝫ ex cõcluſione
ſed talis eſt ꝓportio dupla ſexquialtera / vt patꝫ ex
capĺo q̇nto prime partis huius operis: igit̄̄ corre-
larium verum.
Secūda cõcluſio
Diuiſo corpore per
ꝑtes ꝓportiõales quauis ꝓportiõe et ī quacū pro
portiõe ſe habuerīt ꝑtes ꝓportionales ī eadē vĺ ma
iori ſe habuerit dēſitas mīoris ad dēſitatē maiorꝪ
totū illud corpꝰ eſt īfinite dēſum. patet hec cõcluſio
ex ꝓbatione ſexte cõcluſionis octaui capitis ſecūdi
tractatus huius partis. 551. correĺ. ¶ Ex hac cõcluſione ſeq̇tur
primo / partito aliquo corꝑe proportiõe ſexquial
tera et prima pars ſit aliqualiter denſa: et ſecunda
in duplo et tertia ī duplo ꝙ̄ ſecūda: et quarta ꝙ̄ ter
tia: totum eſt infinite denſum. ¶ Sequit̄̄ ſecundo /
diuiſo corpore per partes proportionales ꝓpor-
tione ſexquitertia et ṗma ſit aliqualiter denſa et ſe
cunda in ſexquialtero plus et tertia in ſexquialtero
quã ſecunda / et ſic conſequēter: totum corpus eſt in
finite denſum Hec correlaria ex ſecunda cõcluſione
patent: qm̄ in vtro illoꝝ proportio denſitatū cõ
tinuo eſt maior ꝓportione partiū / ergo ſubiecta il-
la ſunt infinite denſa.
ꝑtes ꝓportiõales quauis ꝓportiõe et ī quacū pro
portiõe ſe habuerīt ꝑtes ꝓportionales ī eadē vĺ ma
iori ſe habuerit dēſitas mīoris ad dēſitatē maiorꝪ
totū illud corpꝰ eſt īfinite dēſum. patet hec cõcluſio
ex ꝓbatione ſexte cõcluſionis octaui capitis ſecūdi
tractatus huius partis. 551. correĺ. ¶ Ex hac cõcluſione ſeq̇tur
primo / partito aliquo corꝑe proportiõe ſexquial
tera et prima pars ſit aliqualiter denſa: et ſecunda
in duplo et tertia ī duplo ꝙ̄ ſecūda: et quarta ꝙ̄ ter
tia: totum eſt infinite denſum. ¶ Sequit̄̄ ſecundo /
diuiſo corpore per partes proportionales ꝓpor-
tione ſexquitertia et ṗma ſit aliqualiter denſa et ſe
cunda in ſexquialtero plus et tertia in ſexquialtero
quã ſecunda / et ſic conſequēter: totum corpus eſt in
finite denſum Hec correlaria ex ſecunda cõcluſione
patent: qm̄ in vtro illoꝝ proportio denſitatū cõ
tinuo eſt maior ꝓportione partiū / ergo ſubiecta il-
la ſunt infinite denſa.
Tertia concluſio
Diuiſo aliquo corpo
re per partes proportionales quauis proportiõe et
in certa proportiõe quelibet pars praecedens ſit denſior
immediate ſequenti: totius denſitatís ad denſitatet
ſiue denoīationē qua totum denominabitur a denſita
te prime partis proportionalis eſt illa proportio qua
ſe habet totum diuiſum in proportione ↄ̨poſita ex
proportione partis proportionalis precedententis ad im
mediate ſequentem: et denſitatis praecedentis ad denſi-
tatem immediate ſequentis ad primam eius partem pro-
portionalem. Patet hec et cluſio cum multis ſimilibus ex
probatione octaue concluſionis tertii capitis ſecundi
tractatus huius tertie partis videas ibi.
re per partes proportionales quauis proportiõe et
in certa proportiõe quelibet pars praecedens ſit denſior
immediate ſequenti: totius denſitatís ad denſitatet
ſiue denoīationē qua totum denominabitur a denſita
te prime partis proportionalis eſt illa proportio qua
ſe habet totum diuiſum in proportione ↄ̨poſita ex
proportione partis proportionalis precedententis ad im
mediate ſequentem: et denſitatis praecedentis ad denſi-
tatem immediate ſequentis ad primam eius partem pro-
portionalem. Patet hec et cluſio cum multis ſimilibus ex
probatione octaue concluſionis tertii capitis ſecundi
tractatus huius tertie partis videas ibi.
Quarta concluſio
Diuiſo corpore per
partes proportionales aliqua proportiõe multipli-
ci: et in prima parte proportionali ſit aliquantula
denſitas. et in ſecunda in ſexquialtero maior et in
tertia in ſexquitertia maior denſitas quam in prima /
et ſic ↄ̨ſequenter procedendo per ſpecies proportionis
ſuperparticularis: totius corporis denſitas cenſen
da eſt incommenſurabilis proportione rationali den
ſitati prime partis proportionalis et denoīationi
qua ipſa denſitas exiſtens in prima parte proportio
nali totum denominat. vel ſaltem ſi commenſurabilis
eſt pro ſtatu iſto a nobis capacitatem finitam habenti-
bus nequā commenſurari poteſt. Probatur / quam ille
denſitates continuo ſe habent in alia et alia propor-
tione: et non eſt poſſibile omnes tales proportiones
commenſurari ab intellectu finito cum ſint infinite: et
continuo alie et alie: igitur concluſio propoſita vera
Non tamem puto hanc concluſionem demonſtraſſe aut
ſufficienter oſtendiſſe: sed eam probabiliter pono. 661. corollarium. ¶ Ex
hac concluſione ſequitur primo / ſi aliquod corpus
diuidatur per partes proportionales proportione
dupla: et prima ſit aliqualiter denſa: et ſecunda in
ſexquitertio pluſ̄ prima et tertia in ſexquiquinta
pluſ̄ prima et quarta in ſexquiſeptimo pluſ̄ prima /
partes proportionales aliqua proportiõe multipli-
ci: et in prima parte proportionali ſit aliquantula
denſitas. et in ſecunda in ſexquialtero maior et in
tertia in ſexquitertia maior denſitas quam in prima /
et ſic ↄ̨ſequenter procedendo per ſpecies proportionis
ſuperparticularis: totius corporis denſitas cenſen
da eſt incommenſurabilis proportione rationali den
ſitati prime partis proportionalis et denoīationi
qua ipſa denſitas exiſtens in prima parte proportio
nali totum denominat. vel ſaltem ſi commenſurabilis
eſt pro ſtatu iſto a nobis capacitatem finitam habenti-
bus nequā commenſurari poteſt. Probatur / quam ille
denſitates continuo ſe habent in alia et alia propor-
tione: et non eſt poſſibile omnes tales proportiones
commenſurari ab intellectu finito cum ſint infinite: et
continuo alie et alie: igitur concluſio propoſita vera
Non tamem puto hanc concluſionem demonſtraſſe aut
ſufficienter oſtendiſſe: sed eam probabiliter pono. 661. corollarium. ¶ Ex
hac concluſione ſequitur primo / ſi aliquod corpus
diuidatur per partes proportionales proportione
dupla: et prima ſit aliqualiter denſa: et ſecunda in
ſexquitertio pluſ̄ prima et tertia in ſexquiquinta
pluſ̄ prima et quarta in ſexquiſeptimo pluſ̄ prima /