195 et ſic conſequenter procedendo per ſpecies proportionis ſu
perparticularis denominatas a numeris impari
bus: totius denſitas iudicanda eſt incommenſurabilis ſal
tem a nobis. =
ſimiliter diuiſio corpere proportiõe tripla
et prima pars proportionalis ſit aliqualiter denſa
et ſecunda in ſuperbipartiente tertias denſior: et tertia
in ſuperbipartiente quintas denſior quam prima: et ſic ↄ̨ſe
quenter continuo procedendo per ſpecies proportionis
ſuperbipartientis denoīatas a numeris imparibus to
tius denſitas eſt incommenſurabilis. Innūera correla
ria poſſunt iſto modo inferri in quibus reperietur denſi-
tas incommenſurabilis denſitati prime partis pro-
portionalis.
perparticularis denominatas a numeris impari
bus: totius denſitas iudicanda eſt incommenſurabilis ſal
tem a nobis. =
ſimiliter diuiſio corpere proportiõe tripla
et prima pars proportionalis ſit aliqualiter denſa
et ſecunda in ſuperbipartiente tertias denſior: et tertia
in ſuperbipartiente quintas denſior quam prima: et ſic ↄ̨ſe
quenter continuo procedendo per ſpecies proportionis
ſuperbipartientis denoīatas a numeris imparibus to
tius denſitas eſt incommenſurabilis. Innūera correla
ria poſſunt iſto modo inferri in quibus reperietur denſi-
tas incommenſurabilis denſitati prime partis pro-
portionalis.
Quinta concluſio
Diuiſo corpore per
partes proportionales proportione irrationali: et
prima pars proportionalis ſit aliqualiter denſa: et
ſecunda in duplo: et tertia in triplo quam prīa: et quarta in
quadruplo quam prima: et ſic ↄ̨ſequēter: totius corporis
denſitas incommenſurabilis eſt denſitati prime par
tis proportionalis. Probatur hec concluſio / quam tota den
ſitas ſe habet ad denſitatem prime partis proportiona
lis in ea proportione qua ſe habet totum diuiſum illa pro-
portione irrationali ad primam eius partem proportiona-
lem: vt patet ex prima concluſione. Sed talis proportio eſt
irrationalis / vt patet: igitur concluſio vera.
partes proportionales proportione irrationali: et
prima pars proportionalis ſit aliqualiter denſa: et
ſecunda in duplo: et tertia in triplo quam prīa: et quarta in
quadruplo quam prima: et ſic ↄ̨ſequēter: totius corporis
denſitas incommenſurabilis eſt denſitati prime par
tis proportionalis. Probatur hec concluſio / quam tota den
ſitas ſe habet ad denſitatem prime partis proportiona
lis in ea proportione qua ſe habet totum diuiſum illa pro-
portione irrationali ad primam eius partem proportiona-
lem: vt patet ex prima concluſione. Sed talis proportio eſt
irrationalis / vt patet: igitur concluſio vera.
Expeditis duobus prioribus articu-
lis q̄ notabilia et concluſiones huius quaestionis abſoluunt
11Tertia
pars quaestionis ¶ Reſtat tertius articulus abſoluendus q̇ dubia huius
queſtionis enodat.
lis q̄ notabilia et concluſiones huius quaestionis abſoluunt
11Tertia
pars quaestionis ¶ Reſtat tertius articulus abſoluendus q̇ dubia huius
queſtionis enodat.
¶ Dubitatur igitur primo vtrum raritas vniformiter
difformis, vel difformiter difformis cuius vtra
medietas eſt vniformis ſuo gradui medio correſpn
deat . ¶ Dubitatur ſcḋo: vtrū dabile ſit corpus fini
tum infinite denſum et vniforme in dēſitate. ¶ Du-
bitat̄̄ tertio: vtrū dabile ſit corpus infinite rarum
vniforme in raritate. ¶ Dubitat̄̄ quarto: vtrū illa
quin notabilia q̄ ponūtur a calculatore in capi
tulo de raritate et denſitate ſint vera. ¶ Dubitaiur
quinto: vtrum aliq̇d ſit ita rarum ſicut denſum.
difformis, vel difformiter difformis cuius vtra
medietas eſt vniformis ſuo gradui medio correſpn
deat . ¶ Dubitatur ſcḋo: vtrū dabile ſit corpus fini
tum infinite denſum et vniforme in dēſitate. ¶ Du-
bitat̄̄ tertio: vtrū dabile ſit corpus infinite rarum
vniforme in raritate. ¶ Dubitat̄̄ quarto: vtrū illa
quin notabilia q̄ ponūtur a calculatore in capi
tulo de raritate et denſitate ſint vera. ¶ Dubitaiur
quinto: vtrum aliq̇d ſit ita rarum ſicut denſum.
Dubitat̄̄ ſexto / nunq̇d ex vniformi acquiſitiõe ra
ritatis ſequatur vniformis deperditio denſitatis
et econtra. ¶ Dubitat̄̄ ſeptimo / vtrū eque velociter
et eque proportionabiliter minorat̄̄ raritas ſicut
maiorat̄̄ dēſitas: et ecõtra. ¶ Dubitat̄̄ octauo / vtrū
ſi a nõ gradu raritatis acq̇rant aliqua eque velo-
citer de raritate cõtinuo manebunt eque rara.
ritatis ſequatur vniformis deperditio denſitatis
et econtra. ¶ Dubitat̄̄ ſeptimo / vtrū eque velociter
et eque proportionabiliter minorat̄̄ raritas ſicut
maiorat̄̄ dēſitas: et ecõtra. ¶ Dubitat̄̄ octauo / vtrū
ſi a nõ gradu raritatis acq̇rant aliqua eque velo-
citer de raritate cõtinuo manebunt eque rara.
¶ Dubitatur nono: vtrū quodlibet infinitū quãti-
tatiue habens infinitã materiã ſit infinite denſum
¶ Contra ṗmū dubiū arguit̄̄ prīo ſic / ſi raritas dif
formiter difformis cuiꝰ vtra medietas eſt vnifor-
mis correſponderet gradui ſuo medio: ſeq̄ret̄̄ / ꝑ
ſolam rarefactionē et motū ↄ̨ſequentē ipſam q̇ mo
tus eſt augmētatio aliq̇d efficeretur denſius quam
antea erat: ſed ↄ̨ſequēs eſt falſum: igit̄̄ illud ex quo
ſequit̄̄. Sequela ꝓbatur et pono caſum / ſit vnum
bipedale cuius vna medietas ſit rara vt ſex: et alia
vt vnum: et volo / rarefiat medietas vt vnū acq̇ren
do vnū gradū raritatis: ita efficiatur rarior in
duplo quieſcēte alia medietate vt .6. quo poſito ar
guitur ſic / per te hec raritas huiꝰ corporis bipeda-
lis eſt vt tria cum dimidio: q2 ille eſt gradus mediꝰ
inter .6. et vnū. / et rarefacta illa medietate vt vnum
ad duplum vt ponit̄̄ in caſu: illud corpus bipeda-
le efficietur rarum. / vt .3. cum vna tertia: igitur effi-
cietur denſius quã antea erat: et hoc per ſolam ra-
refactionem et motum conſequentem rarefactionē
igitur. Minor probatur / vi3 illud corpus bipeda
le efficietur rarum vt .3. cum vna tertia: quia ipſum
effectum eſt tripedale. Nam medietas eius rara vt
vnum effecta eſt in duplo maior alia quieſcente et
ipſa erat pedalis. ergo effecta eſt bipedalis: et ꝑ cõ
ſequens totum corpus effectū eſt tripedale cuiꝰ vna
tertia rara vt .6. denominat totū corpus rarum vt
duo: et alie due tertie denominãt ipſum rarum vt
vnum cū tertia: igitur tota raritas illius corporis
eſt vt tria cum vna tertia / quod fuit ꝓbandū. Iam ꝓ
bo / due tertie illiꝰ corporis denominãt vt vnum
cū vna tertia q2 illa medietas rara vt vnū effecta
eſt rara vt .2. et effecta eſt due tertie: ſꝫ duo gradus
raritatis exiſtentes in duabur tertiis denominãt
vt vnum cū tertia / vt cõſtat: igitur ille due tertie de
nominant totum corpus rarum vt vnum cum vna
tertia: quod fuit probandum.
tatiue habens infinitã materiã ſit infinite denſum
¶ Contra ṗmū dubiū arguit̄̄ prīo ſic / ſi raritas dif
formiter difformis cuiꝰ vtra medietas eſt vnifor-
mis correſponderet gradui ſuo medio: ſeq̄ret̄̄ / ꝑ
ſolam rarefactionē et motū ↄ̨ſequentē ipſam q̇ mo
tus eſt augmētatio aliq̇d efficeretur denſius quam
antea erat: ſed ↄ̨ſequēs eſt falſum: igit̄̄ illud ex quo
ſequit̄̄. Sequela ꝓbatur et pono caſum / ſit vnum
bipedale cuius vna medietas ſit rara vt ſex: et alia
vt vnum: et volo / rarefiat medietas vt vnū acq̇ren
do vnū gradū raritatis: ita efficiatur rarior in
duplo quieſcēte alia medietate vt .6. quo poſito ar
guitur ſic / per te hec raritas huiꝰ corporis bipeda-
lis eſt vt tria cum dimidio: q2 ille eſt gradus mediꝰ
inter .6. et vnū. / et rarefacta illa medietate vt vnum
ad duplum vt ponit̄̄ in caſu: illud corpus bipeda-
le efficietur rarum. / vt .3. cum vna tertia: igitur effi-
cietur denſius quã antea erat: et hoc per ſolam ra-
refactionem et motum conſequentem rarefactionē
igitur. Minor probatur / vi3 illud corpus bipeda
le efficietur rarum vt .3. cum vna tertia: quia ipſum
effectum eſt tripedale. Nam medietas eius rara vt
vnum effecta eſt in duplo maior alia quieſcente et
ipſa erat pedalis. ergo effecta eſt bipedalis: et ꝑ cõ
ſequens totum corpus effectū eſt tripedale cuiꝰ vna
tertia rara vt .6. denominat totū corpus rarum vt
duo: et alie due tertie denominãt ipſum rarum vt
vnum cū tertia: igitur tota raritas illius corporis
eſt vt tria cum vna tertia / quod fuit ꝓbandū. Iam ꝓ
bo / due tertie illiꝰ corporis denominãt vt vnum
cū vna tertia q2 illa medietas rara vt vnū effecta
eſt rara vt .2. et effecta eſt due tertie: ſꝫ duo gradus
raritatis exiſtentes in duabur tertiis denominãt
vt vnum cū tertia / vt cõſtat: igitur ille due tertie de
nominant totum corpus rarum vt vnum cum vna
tertia: quod fuit probandum.
Secundo ad diem arguitur ſic.
Si
raritas difformiter difformis cuius vtra medie-
tas eſt vniformis correſpõderet gradui medio: ſe-
queretur / poſſet reduci ad vniformitatē ipſiꝰ gra
dus medii: ſꝫ cõſequens eſt falſum: igit̄̄ illud ex quo
ſequitur falſitas ↄ̨ſequētis oſtēditur: et capio vnuꝫ
bipedale cuius vna medietas ſit rara vt .8. et altera
vt q̈tuor: et medietas rara vt .8. deperdat duos
duos gradus raritatis: et illos acquirat medietas
rara. vt .4. / quo poſito ſic arguit̄̄ In fine illud corpꝰ
erit raruꝫ gradu medio puta vt .6. vt ſatis conſtat
et erit rarius ꝙ̄ antea: igitur autea nõ correſpõde-
bat gradui medio īmo remiſſiori gradui. Maior
eſt nota cum ↄ̨ſequētia: et minor ꝓbat̄̄ / q2 illud cor-
pus erit maius ꝙ̄ erit antea ſine acquiſitiõe mate-
rie: ergo rarius ꝙ̄ erat antea. Probat̄̄ añs / q2 me-
dietas rara vt .8. perdit ꝓportionē ſexquitertiam
raritatis: er ſic efficit̄̄ in ſexquitertio minor: et per
conſequēs ꝑdit vnam quartã pedalis. Medietas
vero rara vt .4. efficitur in ſexquialtero rarior et ſic
efficitur in ſexquialtero maior: et eſt pedalis / igitur
acquiſiuit medietatē pedalis: igitur in fine illḋ cur
pus erit bipedale cū quarta. Et ꝑ cõſequēs illḋ cor
pus effectū eſt maius / quod fuit ꝓbandū.
raritas difformiter difformis cuius vtra medie-
tas eſt vniformis correſpõderet gradui medio: ſe-
queretur / poſſet reduci ad vniformitatē ipſiꝰ gra
dus medii: ſꝫ cõſequens eſt falſum: igit̄̄ illud ex quo
ſequitur falſitas ↄ̨ſequētis oſtēditur: et capio vnuꝫ
bipedale cuius vna medietas ſit rara vt .8. et altera
vt q̈tuor: et medietas rara vt .8. deperdat duos
duos gradus raritatis: et illos acquirat medietas
rara. vt .4. / quo poſito ſic arguit̄̄ In fine illud corpꝰ
erit raruꝫ gradu medio puta vt .6. vt ſatis conſtat
et erit rarius ꝙ̄ antea: igitur autea nõ correſpõde-
bat gradui medio īmo remiſſiori gradui. Maior
eſt nota cum ↄ̨ſequētia: et minor ꝓbat̄̄ / q2 illud cor-
pus erit maius ꝙ̄ erit antea ſine acquiſitiõe mate-
rie: ergo rarius ꝙ̄ erat antea. Probat̄̄ añs / q2 me-
dietas rara vt .8. perdit ꝓportionē ſexquitertiam
raritatis: er ſic efficit̄̄ in ſexquitertio minor: et per
conſequēs ꝑdit vnam quartã pedalis. Medietas
vero rara vt .4. efficitur in ſexquialtero rarior et ſic
efficitur in ſexquialtero maior: et eſt pedalis / igitur
acquiſiuit medietatē pedalis: igitur in fine illḋ cur
pus erit bipedale cū quarta. Et ꝑ cõſequēs illḋ cor
pus effectū eſt maius / quod fuit ꝓbandū.
Tertio ad idem arguitur ſic
Si rarū
vniformiṫ difforme correſpõderet ſuo gradui me-
dio: ſequeret̄̄ / maior proportio eſſet medii ad ex-
tremū temiſſius quã extremi intenſioris ad punctū
mediū: ſꝫ hoc eſt fĺm. igitur. Sequela ꝓbatur / quia
idem eſt exceſſus quo extremū intenſius excedit pū
ctum mediū et quo punctus medius excedit punctū
remiſſius: igitur maior eſt ꝓportio inter punctum
medium et extremū remiſſius: quã inter extremū in
tenſius et punctum medium. Patet hec conſequen
tia per hanc maximam Quãdo idē exceſſus addit̄̄
minori et maiori quãtitati maior proportio acqui
rit minoris quantitas ꝙ̄ maior / vt conſtat. iam ꝓbo
falſitatem cõſequētis: et capio vnū corpus vnifor-
miter difformiter denſum ab octauo vſ ad quar-
tū: et arguo ſic / puncti medii ad extremū vt .4. eſt ꝓ-
portio ſexquialtera et extremi vt .8. ad punctum
medium eſt proportia ſexquitertia in denſitate / er
go extremi vt .4. ad punctū medium eſt proportio
ſexquialtera in raritate: et puucti medii ad extre-
mū vt .8. eſt proportio ſexquitertia ī raritate. Pa-
tet hec cõſequentia quoniã in quacun proportio
ne aliquod eſt minꝰ denſum in eadem eſt rarius: igi
tur maior eſt proportio puncti extremi intenſioris
ad punctum medium quam puncti medii ad extre-
mum remiſſius / quod fuit probanduꝫ Patet hoc / q2
extremum vt .4. in denſitate eſt extremū intenſius ī
raritate et extremuꝫ vt .8. in denſitate remiſſius in
raritate. ¶ In oppoſitum tamen arguitur ſic. quia
vniformiṫ difforme correſpõderet ſuo gradui me-
dio: ſequeret̄̄ / maior proportio eſſet medii ad ex-
tremū temiſſius quã extremi intenſioris ad punctū
mediū: ſꝫ hoc eſt fĺm. igitur. Sequela ꝓbatur / quia
idem eſt exceſſus quo extremū intenſius excedit pū
ctum mediū et quo punctus medius excedit punctū
remiſſius: igitur maior eſt ꝓportio inter punctum
medium et extremū remiſſius: quã inter extremū in
tenſius et punctum medium. Patet hec conſequen
tia per hanc maximam Quãdo idē exceſſus addit̄̄
minori et maiori quãtitati maior proportio acqui
rit minoris quantitas ꝙ̄ maior / vt conſtat. iam ꝓbo
falſitatem cõſequētis: et capio vnū corpus vnifor-
miter difformiter denſum ab octauo vſ ad quar-
tū: et arguo ſic / puncti medii ad extremū vt .4. eſt ꝓ-
portio ſexquialtera et extremi vt .8. ad punctum
medium eſt proportia ſexquitertia in denſitate / er
go extremi vt .4. ad punctū medium eſt proportio
ſexquialtera in raritate: et puucti medii ad extre-
mū vt .8. eſt proportio ſexquitertia ī raritate. Pa-
tet hec cõſequentia quoniã in quacun proportio
ne aliquod eſt minꝰ denſum in eadem eſt rarius: igi
tur maior eſt proportio puncti extremi intenſioris
ad punctum medium quam puncti medii ad extre-
mum remiſſius / quod fuit probanduꝫ Patet hoc / q2
extremum vt .4. in denſitate eſt extremū intenſius ī
raritate et extremuꝫ vt .8. in denſitate remiſſius in
raritate. ¶ In oppoſitum tamen arguitur ſic. quia