1què AB ipſam DG in H. Quoniam enim parabole
ſeſquitertia eſt trianguli ABC, itidemquè parabole DBE
trianguli DBE ſeſquitertia exiſtit, erit parabole ABC ad trian
gulum ABC, vt parabole DBE ad triangulum DBE. & per
mutando parabole ABC ad parabolen DBE, vt triangulum
ABC ad triangulum DBE. Quoniam autem AC ordina
tim eſt applicata, vnde AF ipſi FC eſt æqualis, ac per conſe
〈que〉ns AF eſt ipſius AC dimidia. erit triangulum ABF dimi
dium trianguli ABC. cùm vtraquè ſub eadem ſint
eademquè ratione triangulum DBG trianguli DBE dimi
dium exiſtit. quare vt triangulum ABF ad triangulum
DBG, ita eſt triangulum ABC ad DBE triangulum, ac pro
pterea triangulum ABF ad DBG triangulum eſt, vt parabo
le ABC ad parabolen DBE. Cùm autem ſit HG æquidiſtans
ipſi AF, ſiquidem ſunt ordinatim applicatæ, ob triangulorum
ſimilitudinem ABF HBG, ita erit FB ad BG, vt AF ad HG
vt autem FB ad BG, ita quadratum ex AF ad quadratum
DG, erit igitur quadratum ex AF ad quadratum ex DG, vt AF
ad HG. quare lineę AF DG HG ſunt proportionales. Pro
ducatur FB, ducaturquè à puncto D ipſi AB æquidiſtans
DK, erit vtiquè triangulorum ABF DKG anguli ABF
DHG æquales, & angulus AFB angulo DGK eſt æqualis, erit
igitur, & reliquus BAF reliquo KDG æqualis, ac propterea
triangulum ABF eſt triangulo DKG ſimile. quare triangu
lum ABF ad triangulum DKG eam habet proportionem,
quàm AF ad DG duplicatam, hoc eſt quàm AF ad HG, quę
eſt ea, quàm habet FB ad BG. atqui triangulum ABF ad
DKG eam quo〈que〉 habet proportionem, quam FB ad GK
duplicatam. tres igitur lineę FB GK GB ſunt proportiona
les. ex quibus ſequiturita eſſe FB ad GK, vt AF ad DG; &
GK ad GB, vt DG ad GH. ſed quoniam triangulum GDK
ad GDB (cùm ſint ſub eadem altitudine) ita eſt, vt KG
BG, ſi igitur fiat HG ad L, vt KG ad BG, erit triangulum
GDK ad triangulum GDB, vt HG ad L. Cùm autem ſit triam
gulum ABF ad DKG, vt AF ad HG, eſtquè triangulum DKG
ad DBG, vt HG ad L, erit ex ęquali triangulum ABF ad
triangulum DBG, vt AF ad L. ac propterea parabole ABC
ſeſquitertia eſt trianguli ABC, itidemquè parabole DBE
trianguli DBE ſeſquitertia exiſtit, erit parabole ABC ad trian
gulum ABC, vt parabole DBE ad triangulum DBE. & per
mutando parabole ABC ad parabolen DBE, vt triangulum
ABC ad triangulum DBE. Quoniam autem AC ordina
tim eſt applicata, vnde AF ipſi FC eſt æqualis, ac per conſe
〈que〉ns AF eſt ipſius AC dimidia. erit triangulum ABF dimi
dium trianguli ABC. cùm vtraquè ſub eadem ſint
eademquè ratione triangulum DBG trianguli DBE dimi
dium exiſtit. quare vt triangulum ABF ad triangulum
DBG, ita eſt triangulum ABC ad DBE triangulum, ac pro
pterea triangulum ABF ad DBG triangulum eſt, vt parabo
le ABC ad parabolen DBE. Cùm autem ſit HG æquidiſtans
ipſi AF, ſiquidem ſunt ordinatim applicatæ, ob triangulorum
ſimilitudinem ABF HBG, ita erit FB ad BG, vt AF ad HG
vt autem FB ad BG, ita quadratum ex AF ad quadratum
DG, erit igitur quadratum ex AF ad quadratum ex DG, vt AF
ad HG. quare lineę AF DG HG ſunt proportionales. Pro
ducatur FB, ducaturquè à puncto D ipſi AB æquidiſtans
DK, erit vtiquè triangulorum ABF DKG anguli ABF
DHG æquales, & angulus AFB angulo DGK eſt æqualis, erit
igitur, & reliquus BAF reliquo KDG æqualis, ac propterea
triangulum ABF eſt triangulo DKG ſimile. quare triangu
lum ABF ad triangulum DKG eam habet proportionem,
quàm AF ad DG duplicatam, hoc eſt quàm AF ad HG, quę
eſt ea, quàm habet FB ad BG. atqui triangulum ABF ad
DKG eam quo〈que〉 habet proportionem, quam FB ad GK
duplicatam. tres igitur lineę FB GK GB ſunt proportiona
les. ex quibus ſequiturita eſſe FB ad GK, vt AF ad DG; &
GK ad GB, vt DG ad GH. ſed quoniam triangulum GDK
ad GDB (cùm ſint ſub eadem altitudine) ita eſt, vt KG
BG, ſi igitur fiat HG ad L, vt KG ad BG, erit triangulum
GDK ad triangulum GDB, vt HG ad L. Cùm autem ſit triam
gulum ABF ad DKG, vt AF ad HG, eſtquè triangulum DKG
ad DBG, vt HG ad L, erit ex ęquali triangulum ABF ad
triangulum DBG, vt AF ad L. ac propterea parabole ABC