196 omnis denſitas difformiter difformis cuius vtra-
medietas eſt vniformis vel vniformiter diffor-
mis correſpondet ſuo gradui medio. Et omnis ra
ritas difformiter difformis: cuius vtra medie-
tas eſt vniformis et vniformiter difformis eſt den
ſitas difformiter difformis etc̈. vel vniformiter dif
formis: igitur omnis raritas difformiter diffor-
mis: cuius vtra medietas eſt vniformis vel vni-
formiter difformis correſpondent ſuo gradui me-
dio. Conſequentia eſt nota, et winor probatur: q2
eadem eſt latitudo denſitatis et raritatis. Nec ſe-
cundum hanc opinionem aliquo modo differunt
raritas difformis et denſitas difformis: igitur il-
la minor vera. Sed iam probatur maior: et capio
vnum corpus difformiter difforme: cuius vra me
dietas eſt vniformis: et manifeſtum eſt / in medi-
etate denſiori eſt plus de materia quam in medie-
tate minus denſa: quia alias non eſſet denſior. Ca-
pio igitur medietatem exceſſus illius materie cui
medietati exceſſus correſpondet etiam medietas
exceſſus denſitatis. Et volo / ponatur in alia me-
dietate. Et hoc ſine deperditione aut acquiſitioue
quantitatis in aliqua illarum medietatum: quo
poſito illud corpus manebit: ita denſum ſicut an-
tea quia ſub equali quantitate continebit tantum
de materia ſicut antea: et manebit ſub gradu me-
dio: ergo modo ſua denſitas correſpondet ſuo gra
dui medio. Conſequentia patet cum maiore: et ar-
guitur minor: quia vtra medietas manebit vni-
formiter denſa ſub gradu medio: igitur totum ma
nebit denſum ſub gradu medio. Probatur antece
dens per hanc maximam. Quandocun ſunt ali-
qua duo inequalia: et capitur medietas exceſſus
q̊ exceſſu maiꝰ excedit minꝰ: et illa medietas exceſſus
addit̄̄ minori. illa manebunt eq̈lia ſub gradu me-
dio inter illa: vt ſi a numero octonario demeretur
numerus binarius: et adderetur quaternario tunc
illi duo numeri manebunt equales ſub numero me
dio puta vt .6. / vt conſtat: quia fuit medietas exceſ-
ſus quo maior numerus excedit mininorem ipſi nu-
mero minori addita: ſed ſic fit in ꝓpoſito quia me-
dietas exceſſus quo denſitas medietatis denſioris
excedit denſitateꝫ partis minus denſe additur ipſi
denſitati minori: igitur ille denſitates manent
equales.
11 Soluit̄̄ medietas eſt vniformis vel vniformiter diffor-
mis correſpondet ſuo gradui medio. Et omnis ra
ritas difformiter difformis: cuius vtra medie-
tas eſt vniformis et vniformiter difformis eſt den
ſitas difformiter difformis etc̈. vel vniformiter dif
formis: igitur omnis raritas difformiter diffor-
mis: cuius vtra medietas eſt vniformis vel vni-
formiter difformis correſpondent ſuo gradui me-
dio. Conſequentia eſt nota, et winor probatur: q2
eadem eſt latitudo denſitatis et raritatis. Nec ſe-
cundum hanc opinionem aliquo modo differunt
raritas difformis et denſitas difformis: igitur il-
la minor vera. Sed iam probatur maior: et capio
vnum corpus difformiter difforme: cuius vra me
dietas eſt vniformis: et manifeſtum eſt / in medi-
etate denſiori eſt plus de materia quam in medie-
tate minus denſa: quia alias non eſſet denſior. Ca-
pio igitur medietatem exceſſus illius materie cui
medietati exceſſus correſpondet etiam medietas
exceſſus denſitatis. Et volo / ponatur in alia me-
dietate. Et hoc ſine deperditione aut acquiſitioue
quantitatis in aliqua illarum medietatum: quo
poſito illud corpus manebit: ita denſum ſicut an-
tea quia ſub equali quantitate continebit tantum
de materia ſicut antea: et manebit ſub gradu me-
dio: ergo modo ſua denſitas correſpondet ſuo gra
dui medio. Conſequentia patet cum maiore: et ar-
guitur minor: quia vtra medietas manebit vni-
formiter denſa ſub gradu medio: igitur totum ma
nebit denſum ſub gradu medio. Probatur antece
dens per hanc maximam. Quandocun ſunt ali-
qua duo inequalia: et capitur medietas exceſſus
q̊ exceſſu maiꝰ excedit minꝰ: et illa medietas exceſſus
addit̄̄ minori. illa manebunt eq̈lia ſub gradu me-
dio inter illa: vt ſi a numero octonario demeretur
numerus binarius: et adderetur quaternario tunc
illi duo numeri manebunt equales ſub numero me
dio puta vt .6. / vt conſtat: quia fuit medietas exceſ-
ſus quo maior numerus excedit mininorem ipſi nu-
mero minori addita: ſed ſic fit in ꝓpoſito quia me-
dietas exceſſus quo denſitas medietatis denſioris
excedit denſitateꝫ partis minus denſe additur ipſi
denſitati minori: igitur ille denſitates manent
equales.
.1. dubiū
Pro ſolutione huiꝰ dubitationis ad-
uertendum eſt / ſecundum hanc opinionem que eſt
opinio calculatoris et ſecundum eius modum lo-
quendi. Raritas idem eſt omnino cum denſitate.
Sed denſitas dicitur poſitue raritas priuatiue:
ſicut intenſio et remiſſio eadem latitudo ſunt. Di-
citur tamen intenſio poſitiue remiſſio vero priua-
tiue. Et propterea ſemper gradus denſitatis et ra
ritatis eodem numero ſignantur: ita denſitas
vt .8. eſt raritas vt .8. et raritas vt .4. eſt etiam den
ſitas vt .4. et ſemper minor denſitas eſt maior ra-
ritas. ¶ Ex quo ſequitur / denſitas vt .4. eſt maior
raritas quam denſitas vt .8. quia eſt in dupla mi-
nor denſitas: ergo in duplo maior raritas: et cum
denſitas vt .4. ſit raritas vt .4. vt nouiſſime dictum
eſt, et denſitas vt .8. ſit raritas vt .8. / ſequitur indu
bitanter / raritas vt .4. eſt maior raritas quam
raritas vt .8.
22Fundamēuertendum eſt / ſecundum hanc opinionem que eſt
opinio calculatoris et ſecundum eius modum lo-
quendi. Raritas idem eſt omnino cum denſitate.
Sed denſitas dicitur poſitue raritas priuatiue:
ſicut intenſio et remiſſio eadem latitudo ſunt. Di-
citur tamen intenſio poſitiue remiſſio vero priua-
tiue. Et propterea ſemper gradus denſitatis et ra
ritatis eodem numero ſignantur: ita denſitas
vt .8. eſt raritas vt .8. et raritas vt .4. eſt etiam den
ſitas vt .4. et ſemper minor denſitas eſt maior ra-
ritas. ¶ Ex quo ſequitur / denſitas vt .4. eſt maior
raritas quam denſitas vt .8. quia eſt in dupla mi-
nor denſitas: ergo in duplo maior raritas: et cum
denſitas vt .4. ſit raritas vt .4. vt nouiſſime dictum
eſt, et denſitas vt .8. ſit raritas vt .8. / ſequitur indu
bitanter / raritas vt .4. eſt maior raritas quam
raritas vt .8.
talis pro
poſitio.
Unde ex mente calculatoris.
Pono talem funda
mentalem propoſitionem in hac materia. Rari-
tas intenditur per decrementum numeri: ſicut den
ſitas per crementum (intenditur in̄ priuatiue) ita
ſi raritas vt .8. debet in eſſe raritatis intendi ad
duplum: oportet ille numerus vt .8. decreſcat ad
ſuum ſubduplum, et efficiatur vt .4. quia raritas
vt .4. eſt in duplo maior quam raritas vt .8. Sed ſi
denſitas vt .8. debet augeri ſiue intendi ad duplū:
oportet vt efficiatur vt .16. quia raritas priuatiue
dicitur. Denſitas vero poſitiue. Probatur tamen
hec propoſitio quia capto corpore denſo vt octo:
manifeſtum eſt / ſi illud debeat effici in duplo ra-
rius: ipſum debet effici in duplo minus denſum, et
per conſequens efficitur denſum vt .4. eſt ſed omne dē
ſum vt .4. eſt rarum vt .4. / vt dictum eſt: et denſum
vt octo ſimiliter eſt rarum vt octo: igitur rarum vt
4. in duplo rarius eſt raro vt octo.
331. rĺor.ec
mentalem propoſitionem in hac materia. Rari-
tas intenditur per decrementum numeri: ſicut den
ſitas per crementum (intenditur in̄ priuatiue) ita
ſi raritas vt .8. debet in eſſe raritatis intendi ad
duplum: oportet ille numerus vt .8. decreſcat ad
ſuum ſubduplum, et efficiatur vt .4. quia raritas
vt .4. eſt in duplo maior quam raritas vt .8. Sed ſi
denſitas vt .8. debet augeri ſiue intendi ad duplū:
oportet vt efficiatur vt .16. quia raritas priuatiue
dicitur. Denſitas vero poſitiue. Probatur tamen
hec propoſitio quia capto corpore denſo vt octo:
manifeſtum eſt / ſi illud debeat effici in duplo ra-
rius: ipſum debet effici in duplo minus denſum, et
per conſequens efficitur denſum vt .4. eſt ſed omne dē
ſum vt .4. eſt rarum vt .4. / vt dictum eſt: et denſum
vt octo ſimiliter eſt rarum vt octo: igitur rarum vt
4. in duplo rarius eſt raro vt octo.
¶ Ex quo ſequitur / ſicut in poſitiuis maioris nu
meri ad numerum minorem eſt ſemper proportio
maioris inequalitatis: prepoſtero ordine in priua
tiuis minoris numeri ad numerū maiorem eſt pro-
portio maioris inequalitatis. Exemplum: vt quia
6. gradum denſitatis ad .4. eſt proportio ſexqui-
altera, et raritas dicitur. priuatiue reſpectu denſi-
tatis .4. graduum raritatis ad .6. raritatis eſt pro
portio ſexquialtera: et etiam .4. raritatis ad octo:
raritatis eſt proportio dupla: et quatuor raritatis
ad .12. eſt tripla: et quatuor ad .16. ad quadrupla:
et ſic conſequenter.
442. correĺ.
meri ad numerum minorem eſt ſemper proportio
maioris inequalitatis: prepoſtero ordine in priua
tiuis minoris numeri ad numerū maiorem eſt pro-
portio maioris inequalitatis. Exemplum: vt quia
6. gradum denſitatis ad .4. eſt proportio ſexqui-
altera, et raritas dicitur. priuatiue reſpectu denſi-
tatis .4. graduum raritatis ad .6. raritatis eſt pro
portio ſexquialtera: et etiam .4. raritatis ad octo:
raritatis eſt proportio dupla: et quatuor raritatis
ad .12. eſt tripla: et quatuor ad .16. ad quadrupla:
et ſic conſequenter.
¶ Ex quo vlterius infertur / inter omnem gradum
raritatis et ſuum ſubduplum eſt in duplo maior la
titudo quam inter ipſum et ſuū duplum raritatis
cuius oppoſitum ſemper contingit in poſitiuis qui
buſcun: vt facile eſt videre. Probatur / rari-
tas vt octo eſt ſubdupla ad raritatem vt .4. et rari-
tas vt .2. eſt dupla raritas ad raritatem vt .4. et in
duplo maior latitudo eſt inter quartum et octauuꝫ
quam inter quartum et ſecundum : igitur maior la-
titudo eſt inter aliquem gradum et ſuum ſubduplū
quam inter ipſum et ſuum duplum.
55.3. correĺ.
raritatis et ſuum ſubduplum eſt in duplo maior la
titudo quam inter ipſum et ſuū duplum raritatis
cuius oppoſitum ſemper contingit in poſitiuis qui
buſcun: vt facile eſt videre. Probatur / rari-
tas vt octo eſt ſubdupla ad raritatem vt .4. et rari-
tas vt .2. eſt dupla raritas ad raritatem vt .4. et in
duplo maior latitudo eſt inter quartum et octauuꝫ
quam inter quartum et ſecundum : igitur maior la-
titudo eſt inter aliquem gradum et ſuum ſubduplū
quam inter ipſum et ſuum duplum.
¶ Ex quo ſequitur / / inter omnem gradum rarita
tis finitum, et infinitum gradum raritatis eſt latitu
do ſolum finita. Probatur / quia inter omneꝫ gra-
dum finitum denſitatis, et non gradum denſitatis
eſt latitudo ſolum finita / vt ſatis conſtat: igitur in-
ter omnem gradum finitum raritatis, et infinitum
raritatis eſt latitudo ſolū finita. Patet conſequen
tia a cõuertibilibus. Cõuertitur enim non gradus
denſitatis et infinitus gradus raritatis: et raritas
finita: et denſitas finita. His ſic elucidatis ponitur.
tis finitum, et infinitum gradum raritatis eſt latitu
do ſolum finita. Probatur / quia inter omneꝫ gra-
dum finitum denſitatis, et non gradum denſitatis
eſt latitudo ſolum finita / vt ſatis conſtat: igitur in-
ter omnem gradum finitum raritatis, et infinitum
raritatis eſt latitudo ſolū finita. Patet conſequen
tia a cõuertibilibus. Cõuertitur enim non gradus
denſitatis et infinitus gradus raritatis: et raritas
finita: et denſitas finita. His ſic elucidatis ponitur.
Concluſio reſponſiua talis.
Omnis
raritas vniformiter difformis vel difformiter dif-
formis: cuius vtra medietas eſt vniformis cor-
reſpondet ſuo gradui medio. Patet concluſio per
argumentum in oppoſitum factum.
raritas vniformiter difformis vel difformiter dif-
formis: cuius vtra medietas eſt vniformis cor-
reſpondet ſuo gradui medio. Patet concluſio per
argumentum in oppoſitum factum.
Ad rationes ante oppoſitum.
Ad pri-
mam reſpondeo negando ſequelam: et ad proba-
tionem admiſſo caſu nego minorem videlicet il-
lud corpus in fine ſit rarum vt .3. cū duabus tertiis
et ad probationem concedo / pars non rarefacta
denominat totum vt .2. / et nego rarefacta
denontnat totum vt vnum cum dimidio: et ad pun
ctum probationis concedo / illa pars rarefacta
eſt vt due tertie: et nego / illa effecta eſt rara vt duo /
immo dico / effecta eſt rara vt dimidiuꝫ. Raritas
enim vt dimidium eſt dupla ad raritatem vt vnum
et raritas vt duo eſt ſubdupla / vt dictum eſt in no-
tabili: et ſic raritas illa duarum tertiarum deno-
minat totum vt vna tertia, et per conſequens tota
raritas eſt vt .2. cum tertia que eſt in ſexquialtero
maior raritate vt .3. cum medietate. Trium enī cū
dimidio ad .2. cum vna tertia eſt proportio ſexqui
altera poſitiue, et per conſequens priuatiue duorū
mam reſpondeo negando ſequelam: et ad proba-
tionem admiſſo caſu nego minorem videlicet il-
lud corpus in fine ſit rarum vt .3. cū duabus tertiis
et ad probationem concedo / pars non rarefacta
denominat totum vt .2. / et nego rarefacta
denontnat totum vt vnum cum dimidio: et ad pun
ctum probationis concedo / illa pars rarefacta
eſt vt due tertie: et nego / illa effecta eſt rara vt duo /
immo dico / effecta eſt rara vt dimidiuꝫ. Raritas
enim vt dimidium eſt dupla ad raritatem vt vnum
et raritas vt duo eſt ſubdupla / vt dictum eſt in no-
tabili: et ſic raritas illa duarum tertiarum deno-
minat totum vt vna tertia, et per conſequens tota
raritas eſt vt .2. cum tertia que eſt in ſexquialtero
maior raritate vt .3. cum medietate. Trium enī cū
dimidio ad .2. cum vna tertia eſt proportio ſexqui
altera poſitiue, et per conſequens priuatiue duorū