197167LIBER QVARTVS.
fractionis {3/16}.
minor, quam vera.
Ratio huius extractionis hæc eſt.
Quando
numerator 3. denominatorem 16. multiplicat, erit producti 48. radix 1120. ſept. ta medio loco proportionalis inter 3. & 16. quod radix hæc in ſe ducta produ-
cat numerum 48. æqualemei, qui ab extremis 3. & 16. inter ſe multiplicatis gi-
gnitur: ac proinde proportio 3. ad 16. erit duplicata tam proportionis 3. ad il-
lam radicem, quam illius radicis ad 16. Cum ergo proportio 3. ad 16. ſit 2211. octaus. que duplicata proportionis, quam radix numeri 3. ad radicem numeri 16. habet:
erit vt 3. ad radicem producti 48. Vel vtradix huius producti ad 16. ita radix
numeri 3. ad radicem numeri 16. Quapropter cum fractio, cuius numerator eſt
radix numeri 3. denominator autem radix numeri 16. ſit radix fractionis {3/16}. erit
quo quetam fractio, cuius numerator 3. & denominator radix producti 48. quã
fractio cuius numeratorradix producti 48. denominator autem 16. hoc eſt, tam
Quotiens, qui fit ex diuiſione 3. per radicem producti 48. quam quotiens, qui
fit ex diuiſione radicis producti 48. per 16. radix propinqua fractionis {3/16}. Ea-
demque de cæteris ratio eſt.
numerator 3. denominatorem 16. multiplicat, erit producti 48. radix 1120. ſept. ta medio loco proportionalis inter 3. & 16. quod radix hæc in ſe ducta produ-
cat numerum 48. æqualemei, qui ab extremis 3. & 16. inter ſe multiplicatis gi-
gnitur: ac proinde proportio 3. ad 16. erit duplicata tam proportionis 3. ad il-
lam radicem, quam illius radicis ad 16. Cum ergo proportio 3. ad 16. ſit 2211. octaus. que duplicata proportionis, quam radix numeri 3. ad radicem numeri 16. habet:
erit vt 3. ad radicem producti 48. Vel vtradix huius producti ad 16. ita radix
numeri 3. ad radicem numeri 16. Quapropter cum fractio, cuius numerator eſt
radix numeri 3. denominator autem radix numeri 16. ſit radix fractionis {3/16}. erit
quo quetam fractio, cuius numerator 3. & denominator radix producti 48. quã
fractio cuius numeratorradix producti 48. denominator autem 16. hoc eſt, tam
Quotiens, qui fit ex diuiſione 3. per radicem producti 48. quam quotiens, qui
fit ex diuiſione radicis producti 48. per 16. radix propinqua fractionis {3/16}. Ea-
demque de cæteris ratio eſt.
Alii hanc tra dunt regulam ad aream trianguli æ quilateri inueniendam.
Ex
quadrato lateris ſumatur tam pars decima, quàm tertia. Harum enim parti-
um ſumma erit area trianguli. Quod ſic oſtendo. Hæfractiones {1/10}. & {1/3}. in
vnam collectæ ſummam effi ciunt {13/30}. ac proin deidem eſt ex quadrato lateris
auferre {1/10}. & {1/3}. atque {13/30}. Sed quando auferentur {13/30}. multiplicatur qua-
dratum lateris per {13/30}. vt in 6. quæſtiuncula fractorum docui. Igitur cum, vt
Num. 5. explicatum eſt, ex multiplicatione quadratilateris in {13/30}. producatur
area trianguli æquilateri, liquido conſtat, partem decimam, & partem tertiam
qua drati lateris conficere eandem aream. Itaque ſi latus ſit 30. erit eius quadra-
tum 900. cuius {1/10}. eſt 90. & {1/3}. eſt 300. quæ partes ſimul conficiuntnumerum
390. pro area illius trianguli æquilateri.
quadrato lateris ſumatur tam pars decima, quàm tertia. Harum enim parti-
um ſumma erit area trianguli. Quod ſic oſtendo. Hæfractiones {1/10}. & {1/3}. in
vnam collectæ ſummam effi ciunt {13/30}. ac proin deidem eſt ex quadrato lateris
auferre {1/10}. & {1/3}. atque {13/30}. Sed quando auferentur {13/30}. multiplicatur qua-
dratum lateris per {13/30}. vt in 6. quæſtiuncula fractorum docui. Igitur cum, vt
Num. 5. explicatum eſt, ex multiplicatione quadratilateris in {13/30}. producatur
area trianguli æquilateri, liquido conſtat, partem decimam, & partem tertiam
qua drati lateris conficere eandem aream. Itaque ſi latus ſit 30. erit eius quadra-
tum 900. cuius {1/10}. eſt 90. & {1/3}. eſt 300. quæ partes ſimul conficiuntnumerum
390. pro area illius trianguli æquilateri.
6.
Hactenvs expoſuimus regulas, quæ nosin cognitionem areæ cuiuſ-
33Area trian-
guli rectan-
guli ex later@
quod recto
angulo oppo-
nitur, & vno
angulo acuto
cognito, quo
pacto inueſti-
getur. cunquetrianguli ducunt, ſi ſingula latera cognita ſint. Nunc triangulorum
areas per doctrinam ſinuum, Tangentium, ſecantium que inueſtig abimus, licet
non omnia latera ſint cognita, ſed vnum duntaxat, vel duo, vna cum duobus
angulis, vel vno. In triangulis ergo rectangulis ita procedemus.
33Area trian-
guli rectan-
guli ex later@
quod recto
angulo oppo-
nitur, & vno
angulo acuto
cognito, quo
pacto inueſti-
getur. cunquetrianguli ducunt, ſi ſingula latera cognita ſint. Nunc triangulorum
areas per doctrinam ſinuum, Tangentium, ſecantium que inueſtig abimus, licet
non omnia latera ſint cognita, ſed vnum duntaxat, vel duo, vna cum duobus
angulis, vel vno. In triangulis ergo rectangulis ita procedemus.
Qvando in triangulo rectangulo latus recto angulo oppoſitum cogni-
tum eſt, cum vno angulo acuto, cognoſcemus aream hoc modo. Detracto
angulo acuto dato exrecto, id eſt, ex grad. 90. relin quetur alter acutus angu-
lus etiam notus. Vtintriangulo DCB, habente an-
gulum rectum C, & latus BD, notum, vna cum an-
126[Figure 126]
gulo acuto B.
Et quoniam duo B, &
B D C, 4432. primi.
recto, id eſt, gradibus 90.
ſunt æquales, ſi angulus
B, ex grad. 90. detrahatur, reliquus fiet angulus B-
D C. Si ergo fiat, vt ſinus totus angulirecti C, ad
oppoſitum latus BD, in qualibet menſura cogni-
tum; itatam ſinus anguli B, quàm anguli BDC, ad aliud; nota fient latera D 552. triang re-
ctil.& CB, in partibus lateris BD: atque ita omnia tria latera cognita erunt. Ergo &
area cognoſcetur vel ex Num. 1. huius cap. vel ex Num. 3.
tum eſt, cum vno angulo acuto, cognoſcemus aream hoc modo. Detracto
angulo acuto dato exrecto, id eſt, ex grad. 90. relin quetur alter acutus angu-
lus etiam notus. Vtintriangulo DCB, habente an-
gulum rectum C, & latus BD, notum, vna cum an-
B, ex grad. 90. detrahatur, reliquus fiet angulus B-
D C. Si ergo fiat, vt ſinus totus angulirecti C, ad
oppoſitum latus BD, in qualibet menſura cogni-
tum; itatam ſinus anguli B, quàm anguli BDC, ad aliud; nota fient latera D 552. triang re-
ctil.& CB, in partibus lateris BD: atque ita omnia tria latera cognita erunt. Ergo &
area cognoſcetur vel ex Num. 1. huius cap. vel ex Num. 3.
Itaqve ſi campus menſurandus triangularis eſt habẽs vnum angulum re-
ctum, ſatis erit, ſi ſumma diligentia latus recto angulo oppoſitum menſuretur,
& inſuper vnus angulus acutus, beneficio alicuius quadrantis in gradus
ctum, ſatis erit, ſi ſumma diligentia latus recto angulo oppoſitum menſuretur,
& inſuper vnus angulus acutus, beneficio alicuius quadrantis in gradus