199 in fine eſt tripla.
Si vero duo pedalia acquirant
duos gradus denſitatis eque velociter: tūc minus
denſum maiorem quantitatem deperdit in pro-
portione ſuperbipartiente tertias: quia denſita-
tes illorum ſe habebunt in fine in proportione ſu-
perbipartiente tertias qualis eſt decem ad ſex.
112. nöbile
duos gradus denſitatis eque velociter: tūc minus
denſum maiorem quantitatem deperdit in pro-
portione ſuperbipartiente tertias: quia denſita-
tes illorum ſe habebunt in fine in proportione ſu-
perbipartiente tertias qualis eſt decem ad ſex.
¶ Secundū notabile: ſi ſint duo inequalia in quã-
titate et in denſitate, et ſicut eſt vnuꝫ alio maius ita
ſit eodem denſius que eque velociter acquirant de
denſitate: tunc denſius deperdit maiorem quanti-
tatem in ea proportione per quam proportio den-
ſitatum in principio excedit proportionem denſi-
tatum in fine. Si vero eque velociter deperdant de
denſitate: tunc denſius minorem quantitatem ac-
quirit in proportione per quam proportio denſi-
tatum in fine excedit proportionem denſitatum in
principio deperditionis denſitatum. Exemplum /
vt ſi ſit bipedale denſum vt .8. et pedale denſum vt
quatuor: et acquirat vtrum illoruꝫ duos gradus
dēſitatis eque velociter: tūc dico / quantitas quã
deperdit denſius excedit quantitatem quã deper-
dit minus denſum in proportione ſexquiquinta.
Illa em̄ eſt proportio per quã dupla excedit pro-
portionem ſuperbipartientem tertias que eſt pro-
portio denſitatum in fine. Exemplum ſecundi: vt ſi
illa duo corpora puta bipedale et pedale deperdãt
duos gradus denſitatis eque velociter: tunc denſiꝰ
minorem quantitatem acquirit ꝙ̄ minus denſum
in proportione ſexquialtera per quam tripla pro-
portio denſitatum in fine excedit duplam propor
tionem denſitatum in principio. 223. nöbile ¶ Tercium nota-
bile. Si ſint duo inequalia et inequaliter denſa. ita
tamen maius ſit denſius: et proportio quanti
tatis vnius ad quantitatem alterius ſit maior
proportione denſitatis vnius ad denſitatem alte-
rius: que eque velociter acquirant de denſita-
te: tunc denſius maiorem quautitatem deper-
dit in ea proportione per quam proportio quanti
tatis in principio excedit proportionem denſita-
tis in fine acquiſitionis: hoc eſt per quam propor-
tio que eſt inter quantitates in principio talis ac-
quiſitionis excedit proportionem que eſt inter dē-
ſitates in fine. Si vero illa talia eque velociter de-
perdant de dēſitate: et proportio denſitatū in fine
ſit minor proportione quantitatum in principio:
tunc denſius maiorem quantitatē acquirit in pro-
portione per quam proportio quantitatū in prin-
cipio excedit proportionem denſitatum in fine. Si
vero proportio denſitatū in fine fuerit equalis ꝓ-
portioni quantitatum in principio: tunc equalem
quantitatem acquirunt. Si autem proportio den-
ſitatum in fine ſit maior proportione quantitatuꝫ
in principio: tunc minus denſum maiorem quanti
tatem acquirit in ea proportione per quam pro-
portio denſitatū in fine excedit proportionē quan-
titatum in principio. Exemplum primi: vt ſi bipe-
dale denſum vt .8. et pedale denſum vt .6. eque velo
citer acquirant de denſitate acquirendo duos gra
dus: tunc denſius deperdet maiorem quantitatem
̄ minus denſum in proportione ſupertripartien-
te quintas: quia illa eſt proportio per qnam pro-
portio dupla quantitatum in principio excedit ꝓ-
portionem denſitatum in fine que eſt ſexquiquarta
Exemplū ſecundi / vt eodem exemplo perdat vtrū
duos gradus denſitatis eque velociter: tunc denſiꝰ
maiorem quantitatem acquirit in proportione ſer
quitertia: quia illa eſt proportio per quam propor
tio quantitatum in principio que eſt dupla excedit
proportionē denſitatum in fine que eſt ſexquialte-
ra / vt patet. Exemplum tertii / vt eodem exemplo re
tento perdat vtrum: 4. gradus denſitatis tunc e-
qualem quantitatē acquirunt quia proportio dē-
ſitatum in fine que eſt dupla eſt equalis proportiõi
quantitatū in principio cum etiam ſit dupla. Exē-
plum .4. / vt retento eodem deperdat vtrum illoꝝ
quin gradus denſitatis: tunc minus denſum ac-
quirit maiorem quantitatem in proportione ſex-
quialtera que eſt proportio per quam tripla pro-
portio denſitatum in fine excedit proportionē du-
plam quantitatum in principio 33.4. nöbile ¶ Quartum nota
bile. Si ſint duo inequalia in quantitate et in den-
ſitate, maiore exiſtente denſiore: et proportio denſi
tatis vnius ad denſitatem alterius excedat ꝓpor-
tionem quantitatis eiuſdem ad quantitatem alte-
rius que eque velociter deperdant de dēſitate: tūc
minus denſum maiorem quantitatem acquirit ̄
magis denſum in proportione per quam propor-
tio denſitatum in fine talis deperditionis excedit
proportionem quantitatum in principio. Si vero
illa duo equaliter acquirant de denſitate, et eque
velociter: : et proportio denſitatum in fine maneat
maior ꝙ̄ ſit proportio quantitatum in principio:
tunc minus denſum deperdit maiorem quantitatē
in proportione per quam proportio denſitatuꝫ in
fine excedit proportioneꝫ que eſt inter quantitates
in principio talis acquiſitionis ipſius denſitatis.
Et ſi ꝓportio denſitatis in fine fuerit equalis pro-
portioni quantitatis in principio: tūc et magis dē
ſum et minus denſum equalem quantitatem deper
duut. Si autem proportio denſitatum in fine exce-
dit proportionem quantitatum in principio: tunc
magis denſum maiorem quantitatē deperdit quã
minus denſum in ea proportione per quam pro-
portio quantitatis in principio excedit proporti-
onem denſitatum in fine. Exemplum primi / vt ſi ſit
vnū bipedale denſum vt .8. et vnum pedale denſum
vt .2. et eque velociter deperdant vnum gradū den-
ſitatis: tunc minus denſum maiorem quantitatē
acquiret ꝙ̄ magis denſum in proportione tripla
ſexquialtera qualis eſt .7. ad .2. quia proportio dē
ſitatum in fine que eſt ſeptupla excedit proportio-
nem duplam quantitatis que eſt in principio per
proportionem triplam ſexquialteram. Exemplum
ſecundi in eodem exemplo / ſi vtrum illorum ac-
quirat duos gradus denſitatis: tunc minus denſū
maiorem quantitatem deperdet in ea proportiõe
per quam proportio denſitatum in fine que eſt du
pla ſexquialtera excedit proportionem quantita-
tum in principio que eſt dupla: et quia illa propor-
tio per quam dupla ſexquialtera excedit propor-
tionem duplã eſt ſexquiquarta. Ideo minus den-
ſum maiorem quantitatem acquiret in proporti-
one ſexquiquarta. Exemplum tertii / vt in eodem ca
ſu. ſi vtrum illorum corporum acquirat .4. gra-
dus denſitatis: tunc equaliter deperdent de denſi-
tate: quia proportio denſitatum in fine erit equa-
lis proportioni quantitatum in principio. Exem-
plum quarti / vt in eodem exemplo. ſi vtrum il-
lorum corporū acquirat quī gradus denſitatis
tunc magis denſum maiorem quantitatem deper-
dit in proportione ſexquitridecimo quoniam pro-
portio quantitatum in principio que eſt dupla pro
portionem denſitatum exuperat que eſt proportio
ſuperſextipartiens ſeptimas ꝑ proportionē ſex-
quitridecimam: vt ſatis conſtat. Hec notabilia que
numero quaternario abſoluūtur tanta ſubtilita-
titate et in denſitate, et ſicut eſt vnuꝫ alio maius ita
ſit eodem denſius que eque velociter acquirant de
denſitate: tunc denſius deperdit maiorem quanti-
tatem in ea proportione per quam proportio den-
ſitatum in principio excedit proportionem denſi-
tatum in fine. Si vero eque velociter deperdant de
denſitate: tunc denſius minorem quantitatem ac-
quirit in proportione per quam proportio denſi-
tatum in fine excedit proportionem denſitatum in
principio deperditionis denſitatum. Exemplum /
vt ſi ſit bipedale denſum vt .8. et pedale denſum vt
quatuor: et acquirat vtrum illoruꝫ duos gradus
dēſitatis eque velociter: tūc dico / quantitas quã
deperdit denſius excedit quantitatem quã deper-
dit minus denſum in proportione ſexquiquinta.
Illa em̄ eſt proportio per quã dupla excedit pro-
portionem ſuperbipartientem tertias que eſt pro-
portio denſitatum in fine. Exemplum ſecundi: vt ſi
illa duo corpora puta bipedale et pedale deperdãt
duos gradus denſitatis eque velociter: tunc denſiꝰ
minorem quantitatem acquirit ꝙ̄ minus denſum
in proportione ſexquialtera per quam tripla pro-
portio denſitatum in fine excedit duplam propor
tionem denſitatum in principio. 223. nöbile ¶ Tercium nota-
bile. Si ſint duo inequalia et inequaliter denſa. ita
tamen maius ſit denſius: et proportio quanti
tatis vnius ad quantitatem alterius ſit maior
proportione denſitatis vnius ad denſitatem alte-
rius: que eque velociter acquirant de denſita-
te: tunc denſius maiorem quautitatem deper-
dit in ea proportione per quam proportio quanti
tatis in principio excedit proportionem denſita-
tis in fine acquiſitionis: hoc eſt per quam propor-
tio que eſt inter quantitates in principio talis ac-
quiſitionis excedit proportionem que eſt inter dē-
ſitates in fine. Si vero illa talia eque velociter de-
perdant de dēſitate: et proportio denſitatū in fine
ſit minor proportione quantitatum in principio:
tunc denſius maiorem quantitatē acquirit in pro-
portione per quam proportio quantitatū in prin-
cipio excedit proportionem denſitatum in fine. Si
vero proportio denſitatū in fine fuerit equalis ꝓ-
portioni quantitatum in principio: tunc equalem
quantitatem acquirunt. Si autem proportio den-
ſitatum in fine ſit maior proportione quantitatuꝫ
in principio: tunc minus denſum maiorem quanti
tatem acquirit in ea proportione per quam pro-
portio denſitatū in fine excedit proportionē quan-
titatum in principio. Exemplum primi: vt ſi bipe-
dale denſum vt .8. et pedale denſum vt .6. eque velo
citer acquirant de denſitate acquirendo duos gra
dus: tunc denſius deperdet maiorem quantitatem
̄ minus denſum in proportione ſupertripartien-
te quintas: quia illa eſt proportio per qnam pro-
portio dupla quantitatum in principio excedit ꝓ-
portionem denſitatum in fine que eſt ſexquiquarta
Exemplū ſecundi / vt eodem exemplo perdat vtrū
duos gradus denſitatis eque velociter: tunc denſiꝰ
maiorem quantitatem acquirit in proportione ſer
quitertia: quia illa eſt proportio per quam propor
tio quantitatum in principio que eſt dupla excedit
proportionē denſitatum in fine que eſt ſexquialte-
ra / vt patet. Exemplum tertii / vt eodem exemplo re
tento perdat vtrum: 4. gradus denſitatis tunc e-
qualem quantitatē acquirunt quia proportio dē-
ſitatum in fine que eſt dupla eſt equalis proportiõi
quantitatū in principio cum etiam ſit dupla. Exē-
plum .4. / vt retento eodem deperdat vtrum illoꝝ
quin gradus denſitatis: tunc minus denſum ac-
quirit maiorem quantitatem in proportione ſex-
quialtera que eſt proportio per quam tripla pro-
portio denſitatum in fine excedit proportionē du-
plam quantitatum in principio 33.4. nöbile ¶ Quartum nota
bile. Si ſint duo inequalia in quantitate et in den-
ſitate, maiore exiſtente denſiore: et proportio denſi
tatis vnius ad denſitatem alterius excedat ꝓpor-
tionem quantitatis eiuſdem ad quantitatem alte-
rius que eque velociter deperdant de dēſitate: tūc
minus denſum maiorem quantitatem acquirit ̄
magis denſum in proportione per quam propor-
tio denſitatum in fine talis deperditionis excedit
proportionem quantitatum in principio. Si vero
illa duo equaliter acquirant de denſitate, et eque
velociter: : et proportio denſitatum in fine maneat
maior ꝙ̄ ſit proportio quantitatum in principio:
tunc minus denſum deperdit maiorem quantitatē
in proportione per quam proportio denſitatuꝫ in
fine excedit proportioneꝫ que eſt inter quantitates
in principio talis acquiſitionis ipſius denſitatis.
Et ſi ꝓportio denſitatis in fine fuerit equalis pro-
portioni quantitatis in principio: tūc et magis dē
ſum et minus denſum equalem quantitatem deper
duut. Si autem proportio denſitatum in fine exce-
dit proportionem quantitatum in principio: tunc
magis denſum maiorem quantitatē deperdit quã
minus denſum in ea proportione per quam pro-
portio quantitatis in principio excedit proporti-
onem denſitatum in fine. Exemplum primi / vt ſi ſit
vnū bipedale denſum vt .8. et vnum pedale denſum
vt .2. et eque velociter deperdant vnum gradū den-
ſitatis: tunc minus denſum maiorem quantitatē
acquiret ꝙ̄ magis denſum in proportione tripla
ſexquialtera qualis eſt .7. ad .2. quia proportio dē
ſitatum in fine que eſt ſeptupla excedit proportio-
nem duplam quantitatis que eſt in principio per
proportionem triplam ſexquialteram. Exemplum
ſecundi in eodem exemplo / ſi vtrum illorum ac-
quirat duos gradus denſitatis: tunc minus denſū
maiorem quantitatem deperdet in ea proportiõe
per quam proportio denſitatum in fine que eſt du
pla ſexquialtera excedit proportionem quantita-
tum in principio que eſt dupla: et quia illa propor-
tio per quam dupla ſexquialtera excedit propor-
tionem duplã eſt ſexquiquarta. Ideo minus den-
ſum maiorem quantitatem acquiret in proporti-
one ſexquiquarta. Exemplum tertii / vt in eodem ca
ſu. ſi vtrum illorum corporum acquirat .4. gra-
dus denſitatis: tunc equaliter deperdent de denſi-
tate: quia proportio denſitatum in fine erit equa-
lis proportioni quantitatum in principio. Exem-
plum quarti / vt in eodem exemplo. ſi vtrum il-
lorum corporū acquirat quī gradus denſitatis
tunc magis denſum maiorem quantitatem deper-
dit in proportione ſexquitridecimo quoniam pro-
portio quantitatum in principio que eſt dupla pro
portionem denſitatum exuperat que eſt proportio
ſuperſextipartiens ſeptimas ꝑ proportionē ſex-
quitridecimam: vt ſatis conſtat. Hec notabilia que
numero quaternario abſoluūtur tanta ſubtilita-