Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio prima. Capitulum </p>
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      dela linea .ac. e dela linea .bd. Ma la retta .fc. è iguale ala retta .ab. E la retta .eb. è iguale a-
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      la retta .ac. Onde la potentia dele linee .fc. e .cd. sonno iguali ale potentie dele linee .ab. e .dc.
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      E la potentia dela linea .fd. è iguali ale .2. potentie, cioé del .fc. e .cd., perché l’ angolo .c. è retto.
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      Adunque la potentia dela linea .fd. è iguale ale .2. potentie .ab. e .dc. E, per simil modo, la po-
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      tentia dela linea .ed. è iguali a .2. potentie .ac. e .bd. Per la qual cosa .ed. e .df. sonno infra lo-
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      ro iguali. Adunque il triangolo .fde. á .2. facie iguali. E, perché la basa .ef. é divisa in .2. parti
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      iguali sopra il ponto .g., la linea .dg. è certamente catetto sopra la linea .fe. Onde l’ angolo
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      .egd. è retto e l’ angolo .fgd. è ancora retto. Ancora, perché la retta .gh. è equedistante ala
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      retta .fc. e cade sopra la retta .cb., gli angoli adunque .fch. e .ghc. sonno iguali a .2. retti. Ma
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      l’ angolo .fch. è retto. Onde l’ angolo .ghc. è ancora retto. E l’ angolo .ghd. è retto, perché è
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      di fuori; catetto è adunque la linea .gh. sopra la retta .bc. E il quadrilatero .kbcf. è paralel-
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      lo di retti angoli. Dove i lati oposti sonno iguali. Iguali è adunque la retta .fk. alla retta .bc.
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      E la retta .kb. ala retta .cf. Adunque .bk. è .13. e .ke. è .2. Imperoché la retta .kb. è iguali a-
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      la retta .ih. E il paralello di retti angoli .kbhi. E il paralello .ihcf. ancora di retti angoli.
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      Onde la retta .ih. è iguali ala retta .ba. che è ancora .13. Ancora, perché nelle equedistanti
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      .eb. e .gh. la retta .ef. passa, sará l’ angolo .fgi. di fuora iguale al’ angolo .gel. dentro. E l’ ango-
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      lo .fig. è iguale al’ angolo .gle., imperoché sonno in infra due linee equedistanti e ciascuno è
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      retto. E l’ angolo .gfi. è iguale al’ angolo .egl. E la retta .fg. è iguali alla retta .ge. Onde gli al-
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      tri lati sonno igual agli altri lati. E peró il lato .gi. è iguali al lato .el. E il lato .fi. è igual al
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      lato .gl. Ma la retta .gl. è iguale ala retta .ik., perché il paralello rettangolo è di lati equedi-
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      stanti. Cioé il paralello .lkig. Adunque la retta .fi. è iguali ala retta .ik. E tutta .ch. è igua-
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      le ala linea .hb. Adunque è divisa la basa in .2. iguali parti sopra il ponto .h. Onde .ch. è </p>
      <p class="main"> Ancora, perché il paralello .lkig. è rettangolo, iguali è la retta .lk. ala retta .ig. Ma la retta
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      .ig. è mostro che è iguali ala retta .le. Onde è iguali al .kl. E tutta .ke. è .2. Adunque ciasca-
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      na dele linee .kl.le.ig. è uno bracio. Dove tutta .hg. è .14.bracia. Ancora, perché retto è l’ an-
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      golo .dgf., e .2. angoli che sonno .dgh. e .hgf. sonno iguali a uno retto. Ancora, perché il tri-
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      angolo .gif. è rettangolo, che l’ angolo .i. è retto, gli altri .2. angoli, che sonno .igf. e .ifg., son-
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      no iguali a uno retto. Adunque gli angoli .dgh. e .hgf. sonno iguali agli angoli .hgf. e .gfi.
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      Onde, se comunamente si trae di ciascuno l’ angolo .hgf., rimarrá l’ angolo .dgh. iguali al’ an-
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      golo .gfi. E l’ angolo .gif. al’ angolo .ghd. E l’ altro angolo .igf. al’ altro .hdg. Simile é a-
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      dunque il triangolo .fig. al triangolo .ghd., onde è comme .fi. al .gi., cioé comme .7. a .1. co-
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      sí .gh., cioé .14., al .hd. Onde la multiplicatione del .gi. in .gh., divisa per .fi. fa .hd. E questo è
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      quando facemo che agiongnemo .ab. collo lato .ac., cioé .fc. con .be. e havemo .28., de’ quali la
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      mitá è .14., cioé la retta .gh. La qual multiplicamo per .ig., che è quello nel quale la retta .gh.
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      avanza la retta .fc., cioé .el. over .gi. E .gi. è quello che la retta .ac., cioé .eb., avanza la linea .gh.
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      Dela qual multiplicatione havemo .14., la qual dividemo per la mitá dela basa, cioé per .ch.,
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      cioé per .fi. che è .7. e haremo .2. per la quantitá .hd., la quale agiongneremo ala mitá dela ba-
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      sa, cioé al .ch. e haremo .9. per lo .cd., che è il maggiore cadimento, over traremo .hd. del .hb.,
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      cioé .2. di .7., rimarano .5. per lo minor cadimento .db., ch’ era di bisognio se dimostrasse et cetera.
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      Ancora mostraremo la figura necessaria al terzo modo, cioé la dimostratione del
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      trovare el cadimento per lo terzo modo. Faciasi ancora el detto triangolo e meni-
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      se adunque sopra la basa .bc. el catetto .ad. e, perché maggiore è il lato .ac. che .ab.,
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      maggiore è il cadimento .dc. che .db. Onde del .dc. si tolga .dg. che sia iguali a-
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      la retta .db. e sará la retta .bg. divisa in .2. parti iguali sopra il ponto .d. ala quale, per lo dritto,
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      s’ agiongne la retta .gc., onde la multiplicatione del .gc. in .bc., col quadrato dela linea .bd., è
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      iguali al quadrato dela linea .cd.ex. 6a. secundi. Adunque el quadrato dela linea .dc. avan-
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      za el quadrato dela linea .db., cioé el quadrato del maggior cadimento, nela quantitá dela
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      multiplicatione dela linea .gc. nela linea .bc. Ma disopra è mostro, nel’ altra figura, che l’ a-
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      vanzo del quadrato del cadimento .dc. al quadrato del cadimento .db. è comme la soprabun-
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      dantia del quadrato delo lato .ac. al quadrato del lato .ab. e comme la multiplicatione del
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      .gc. nel .bc. Ma il quadrato del .ac. è .225., che avanza il quadrato del .ab., cioé .169., in .56.; on-
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      de la multlplicatione del .gc. in .bc. è .56. Dove, se ’l .bc. è .14., sará .gc.4., che tratto il detto .4.
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      dela basa, cioé di .14., rimangono .10. per lo .bg. De’ quali la mitá è .5. che è il minore cadimen-
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      to, ch’ era bisogno dimostrare.
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