200194ALHAZEN
illud, quod fit ex ductu a h in h f bis, ſecundũ quod dicit Euclides [13 p 2.
] Igitur quadratũ a h cũ qua
drato h b, ſuperat quadratum a d quæ eſt æqualis a b) in ductu a h in h f bis: & ita [per 1 p 2] in ductu
a h in h d bis, & a h in d f bis: Sed [per 7 p 2] multiplicatio a h in h d bis, cum quadrato a d, eſt æqua-
lis quadrato a h cum quadrato h d: & ita ablato cõmuni quadrato a d, cũ ductu a h in h d bis: reſtabit
quadratũ h d cũ ductu a h in f d bis, æquale quadrato h b. Sed [per fabricationẽ] multiplicatio a h in
h t æqualis eſt quadrato h d: & multiplicatio a h in h u, æqualis quadrato h b: erit ergo multiplicatio
a h in h u, æqualis multiplicationi a h in h t, & multiplicationi a h in d f bis, ſubtractoq́; ductu a h in
t(quẽ communẽ ponimus utriq; multiplicationi. ) [Quia enim oblonga cõprehenſa ſub a h t & ſub
a h & t u, æquãtur oblongo cõprehenſo ſub a h u perip 2: ergo æquãtur oblõgis cõprehenſis ſub a h
t & ſub a h & d f bis: cõmune igitur eſt oblongũ cõprehenſum ſub a h t] reſtabit multiplicatio a h in
t u ęqualis multiplicationi a h in d f bis. Igitur t u eſt dupla d f: [Quia enim oblongũ comprehenſum
ſub altitudine a h & baſi t u, æquatur duplici oblongo, comprehenſo ſub eadem altitudine & baſi d
f: erit per 1 p 6 baſis t u dupla baſis d f. ] Amplius: cũ angulus a t g ſit acutus [ut oſtenſũ eſt 60 n 5] erit
ſecundũ prædictũ modũ, quadratũ a t cum quadrato t g, æquale quadrato a d, cũ ductu a t in t k bis:
& ita [per 1 p 2] cũ ductu a t in t d bis, & in d k bis. Et probabitur modo prædicto, quòd quadratũ t g
æquale eſt quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis: ſed ductus a t in t u, æqualis eſt quadrato t g [excõclu
ſo] & ita æqualis quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis. Sit aũt ductus a t in t æ æqualis quadrato t d [ut
oſtenſũ eſt in principio huius numeri] reſtat ergo, ut ductus a t in æ u, ſit ęqualis ductui a t in d k bis,
per ablationẽ cõmunis, qui eſt ductus a t in t æ [nam oblonga cõprehenſa ſub a t æ, itẽ ſub a t & æ u,
æquãtur oblongo cõprehenſo ſub a t u per 1 p 2: ergo æquãtur oblongis cõprehenſis ſub a t æ ſemel,
& ſub a t & d k bis. Cõmune igitur eſt a t æ, quo ſublato: reliquũ oblongũ coprehenſum ſub at & æ u
æquatur oblongo ſub a t & d k bis cõprehenſo. ] Igitur æ u eſt dupla k d [per 1 p 6] ſed iam dictũ eſt,
quòd t u eſt dupla d f: reſtat ergo t æ dupla k f. Amplius: proportio a h ad h t eſt, ſicut a h ad h d dupli
cata [per 10 d 5] h d enim media eſt in proportione interillas: cũ eius quadratũ ſit æquale ductui a h
in h t [per fabricationẽ. ] Et ſimiliter proportio a t ad t æ, ſicut a t ad t d duplicata [eſt enim ex ſabri-
catione & 17 p 6 a t ad t d, ſicut t d ad t æ. ] Sed maior eſt proportio a t ad t d, quàm a h ad h d. [Quia
enim h t minor eſt quinta parte h d, ut patuit: itaq; ſi a t, uerbi gratia, ipſam t d quater contineat: a h
eandem t d quater continebit, & h d ſemel. Quare a h nõ continebit h d quater. Ratio igitur a t ad t d
maior eſt, quàm a h ad h d. ] Et cum a h ſit maior a t: [per 9 ax: ] erit h t maior t æ [quia enim a h maior
eſt a t: erit ք 8 p 5 ratio a h ad t æ maior, quàm a t ad t æ: ſed ratio a t ad t æ maior eſt, quàm a h ad h t.
Ergo per 11 p 5 ratio a h ad t æ maior eſt, quàm a h ad h t. Quare ք 10 p 5 h t maior eſt t æ. ] Sed t æ du-
pla ad k f: ergo h t maior eſt, quàm dupla ad k f. Item. Vt dictũ eſt, proportio b g ad g s, ſicut o a ad o y,
erit [per 16 p 5] b g ad o a, ſicut g s ad o y: ſed o a ęqualis b a [per 15 d 1] & g s ęqualis f k [per 34 p 1] pro-
pter ęquidiſtantiã: erit [per 7 p 5] proportio b g ad b a, ſicut f k ad o y. Amplius: quia i h minor eſt me-
dietate o h [ut patuit] & o h tripla th: eriti h minor h t, & medietate ipſius: ſed h t minor quinta parte
h d. Igitur i h minor eſt t d: quare i h multò minor n d: quare m i multò minor n d [quia m i minor eſt
i h, quæ minor eſt n d. ] Et palàm per hoc, quòd i cadit inter h & z. Amplius: quod fit ex ductu e z in z
d, eſt æquale quadrato a d: [per theſin] igitur quod fit ex ductu e m in m d, eſt minus quadrato a d.
Sed quoniam m g circulum d b e cõtingit, quod fit ex ductu e m in m d, eſt æquale quadrato m g, ſe-
cundũ quod dicit Euclides [36 p 3. ] Igitur m g eſt minor a d: igitur minor eſt a g. Amplius: triangula
a g m, m g k habent unum angulũ communem [a d m] & utrunq; eorum habet unũ angulum rectũ
[ad g & k. ] Igitur [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] ſunt ſimilia. Quare proportio m k ad k g, ſicut m g ad g a: & ita
m k minor eſt k g [eſt enim m g minor g a ex concluſo. ] Et cum [per 15 p 3] o y ſit maior g k: erit h d
minor o y [quia h d minor eſt m k, & m k minor k g, & k g minor o y. ] Amplius: quia a h ad h d, ſicut h
d ad h t: [per theſin & 17 p 6] erit ſic [per 15 p 5] medietas h d ad medietatem h t: & ita a h ad h d, ſicut
q h ad medietatem h t: cum q h ſit medietas h d: [per fabricationem] & ita a h ad q h, ſicut h d ad
medietatem h t: & ita [per conſectarium 4 p 5] q h ad a h, ſicut medietas h t ad h d. Sed medietas h t
maior eſt f k [demonſtratũ enim eſt ipſam h t maiorẽ eſſe, quàm duplam ipſius k f] & h d minor o y.
Erit igitur proportio medietatis h t ad h d maior, quàm f k ad o y [ut conſtat ex 8 p 5. ] Quare [per 11 p
5] erit proportio q h ad a h maior, quàm f k ad o y. Amplius: linea a q ſecat circulum e b d: ſit punctũ
ſectiõis œ: & ducatur linea d œ: quę erit æquidiſtãs q h: [Quia enim tota a h æquatur toti a q, & pars
a d parti a œ per 15 d 1: reliqua igitur d h ęquatur reliquę œ q: quare per 7 p 5, ut a d ad d h, ſic a œ ad œ
q. Ita q; per 2 p 6 œ d parallela eſt ipſi q h] eritq́; per 29 p 1. 4 p 6 proportio q h ad h a, ſicut œ ad d a: &
ita proportio œ ad d a maior, quàm f k ad o y. Sed fk ad o y, ſicut g b ad b a [ex concluſo. ] Erit igitur
maior proportio œ d ad d a, quàm b g ad b a [id eſt ad d a: æquales enim ſunt d a & b a per 15 d 1] & ita
œ d maior b g: [per 10 p 5] & arcus œ d maior arcu g b [per 28 p 3. ] Amplius: producatur a q uſq; ad
punctũ s, ut ſit a s æqualis a i: [per 3 p 1] & ducatur linea s i: quę erit æquidiſtãs q h: [eodẽ argumẽto,
quo œ d parallela cõcluſa eſt ipſi q h] & erit [per 29 p 1. 4 p 6] si ad q h, ſicut i a ad h a. Sed ſuprà poſi-
tũ eſt, quòd i a ad a h, ſicut t q ad q h: erit igitur [per 9 p 5] si æqualis t q. Amplius: mutetur figura ad
euitandam linearũ intricationẽ multiplicẽ, & propter defectũ literarũ ad diſtinctionẽ linearũ. Cum
ergo i a ſit æqualis lineę, quã diximus a s: fiat circulus ſecundũ quantitatẽ ipſarũ, & loco s ponatur li
tera n: & producantur a g i ab uſq; ad circulũ hunc: & ſint a b c, a g r: & loco literæ œ ponamus f. Di-
ctum eſt, quòd arcus d f maior eſt arcu b g: ſit arcus b m æqualis arcui d f: [fiet uerò æqualis, ſiad re-
ctam a b eiusq́; punctũ a cõſtituatur per 23 p 1 angulus b a m æqualis angulo d a f: ſic enim per 33 p 6
drato h b, ſuperat quadratum a d quæ eſt æqualis a b) in ductu a h in h f bis: & ita [per 1 p 2] in ductu
a h in h d bis, & a h in d f bis: Sed [per 7 p 2] multiplicatio a h in h d bis, cum quadrato a d, eſt æqua-
lis quadrato a h cum quadrato h d: & ita ablato cõmuni quadrato a d, cũ ductu a h in h d bis: reſtabit
quadratũ h d cũ ductu a h in f d bis, æquale quadrato h b. Sed [per fabricationẽ] multiplicatio a h in
h t æqualis eſt quadrato h d: & multiplicatio a h in h u, æqualis quadrato h b: erit ergo multiplicatio
a h in h u, æqualis multiplicationi a h in h t, & multiplicationi a h in d f bis, ſubtractoq́; ductu a h in
t(quẽ communẽ ponimus utriq; multiplicationi. ) [Quia enim oblonga cõprehenſa ſub a h t & ſub
a h & t u, æquãtur oblongo cõprehenſo ſub a h u perip 2: ergo æquãtur oblõgis cõprehenſis ſub a h
t & ſub a h & d f bis: cõmune igitur eſt oblongũ cõprehenſum ſub a h t] reſtabit multiplicatio a h in
t u ęqualis multiplicationi a h in d f bis. Igitur t u eſt dupla d f: [Quia enim oblongũ comprehenſum
ſub altitudine a h & baſi t u, æquatur duplici oblongo, comprehenſo ſub eadem altitudine & baſi d
f: erit per 1 p 6 baſis t u dupla baſis d f. ] Amplius: cũ angulus a t g ſit acutus [ut oſtenſũ eſt 60 n 5] erit
ſecundũ prædictũ modũ, quadratũ a t cum quadrato t g, æquale quadrato a d, cũ ductu a t in t k bis:
& ita [per 1 p 2] cũ ductu a t in t d bis, & in d k bis. Et probabitur modo prædicto, quòd quadratũ t g
æquale eſt quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis: ſed ductus a t in t u, æqualis eſt quadrato t g [excõclu
ſo] & ita æqualis quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis. Sit aũt ductus a t in t æ æqualis quadrato t d [ut
oſtenſũ eſt in principio huius numeri] reſtat ergo, ut ductus a t in æ u, ſit ęqualis ductui a t in d k bis,
per ablationẽ cõmunis, qui eſt ductus a t in t æ [nam oblonga cõprehenſa ſub a t æ, itẽ ſub a t & æ u,
æquãtur oblongo cõprehenſo ſub a t u per 1 p 2: ergo æquãtur oblongis cõprehenſis ſub a t æ ſemel,
& ſub a t & d k bis. Cõmune igitur eſt a t æ, quo ſublato: reliquũ oblongũ coprehenſum ſub at & æ u
æquatur oblongo ſub a t & d k bis cõprehenſo. ] Igitur æ u eſt dupla k d [per 1 p 6] ſed iam dictũ eſt,
quòd t u eſt dupla d f: reſtat ergo t æ dupla k f. Amplius: proportio a h ad h t eſt, ſicut a h ad h d dupli
cata [per 10 d 5] h d enim media eſt in proportione interillas: cũ eius quadratũ ſit æquale ductui a h
in h t [per fabricationẽ. ] Et ſimiliter proportio a t ad t æ, ſicut a t ad t d duplicata [eſt enim ex ſabri-
catione & 17 p 6 a t ad t d, ſicut t d ad t æ. ] Sed maior eſt proportio a t ad t d, quàm a h ad h d. [Quia
enim h t minor eſt quinta parte h d, ut patuit: itaq; ſi a t, uerbi gratia, ipſam t d quater contineat: a h
eandem t d quater continebit, & h d ſemel. Quare a h nõ continebit h d quater. Ratio igitur a t ad t d
maior eſt, quàm a h ad h d. ] Et cum a h ſit maior a t: [per 9 ax: ] erit h t maior t æ [quia enim a h maior
eſt a t: erit ք 8 p 5 ratio a h ad t æ maior, quàm a t ad t æ: ſed ratio a t ad t æ maior eſt, quàm a h ad h t.
Ergo per 11 p 5 ratio a h ad t æ maior eſt, quàm a h ad h t. Quare ք 10 p 5 h t maior eſt t æ. ] Sed t æ du-
pla ad k f: ergo h t maior eſt, quàm dupla ad k f. Item. Vt dictũ eſt, proportio b g ad g s, ſicut o a ad o y,
erit [per 16 p 5] b g ad o a, ſicut g s ad o y: ſed o a ęqualis b a [per 15 d 1] & g s ęqualis f k [per 34 p 1] pro-
pter ęquidiſtantiã: erit [per 7 p 5] proportio b g ad b a, ſicut f k ad o y. Amplius: quia i h minor eſt me-
dietate o h [ut patuit] & o h tripla th: eriti h minor h t, & medietate ipſius: ſed h t minor quinta parte
h d. Igitur i h minor eſt t d: quare i h multò minor n d: quare m i multò minor n d [quia m i minor eſt
i h, quæ minor eſt n d. ] Et palàm per hoc, quòd i cadit inter h & z. Amplius: quod fit ex ductu e z in z
d, eſt æquale quadrato a d: [per theſin] igitur quod fit ex ductu e m in m d, eſt minus quadrato a d.
Sed quoniam m g circulum d b e cõtingit, quod fit ex ductu e m in m d, eſt æquale quadrato m g, ſe-
cundũ quod dicit Euclides [36 p 3. ] Igitur m g eſt minor a d: igitur minor eſt a g. Amplius: triangula
a g m, m g k habent unum angulũ communem [a d m] & utrunq; eorum habet unũ angulum rectũ
[ad g & k. ] Igitur [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] ſunt ſimilia. Quare proportio m k ad k g, ſicut m g ad g a: & ita
m k minor eſt k g [eſt enim m g minor g a ex concluſo. ] Et cum [per 15 p 3] o y ſit maior g k: erit h d
minor o y [quia h d minor eſt m k, & m k minor k g, & k g minor o y. ] Amplius: quia a h ad h d, ſicut h
d ad h t: [per theſin & 17 p 6] erit ſic [per 15 p 5] medietas h d ad medietatem h t: & ita a h ad h d, ſicut
q h ad medietatem h t: cum q h ſit medietas h d: [per fabricationem] & ita a h ad q h, ſicut h d ad
medietatem h t: & ita [per conſectarium 4 p 5] q h ad a h, ſicut medietas h t ad h d. Sed medietas h t
maior eſt f k [demonſtratũ enim eſt ipſam h t maiorẽ eſſe, quàm duplam ipſius k f] & h d minor o y.
Erit igitur proportio medietatis h t ad h d maior, quàm f k ad o y [ut conſtat ex 8 p 5. ] Quare [per 11 p
5] erit proportio q h ad a h maior, quàm f k ad o y. Amplius: linea a q ſecat circulum e b d: ſit punctũ
ſectiõis œ: & ducatur linea d œ: quę erit æquidiſtãs q h: [Quia enim tota a h æquatur toti a q, & pars
a d parti a œ per 15 d 1: reliqua igitur d h ęquatur reliquę œ q: quare per 7 p 5, ut a d ad d h, ſic a œ ad œ
q. Ita q; per 2 p 6 œ d parallela eſt ipſi q h] eritq́; per 29 p 1. 4 p 6 proportio q h ad h a, ſicut œ ad d a: &
ita proportio œ ad d a maior, quàm f k ad o y. Sed fk ad o y, ſicut g b ad b a [ex concluſo. ] Erit igitur
maior proportio œ d ad d a, quàm b g ad b a [id eſt ad d a: æquales enim ſunt d a & b a per 15 d 1] & ita
œ d maior b g: [per 10 p 5] & arcus œ d maior arcu g b [per 28 p 3. ] Amplius: producatur a q uſq; ad
punctũ s, ut ſit a s æqualis a i: [per 3 p 1] & ducatur linea s i: quę erit æquidiſtãs q h: [eodẽ argumẽto,
quo œ d parallela cõcluſa eſt ipſi q h] & erit [per 29 p 1. 4 p 6] si ad q h, ſicut i a ad h a. Sed ſuprà poſi-
tũ eſt, quòd i a ad a h, ſicut t q ad q h: erit igitur [per 9 p 5] si æqualis t q. Amplius: mutetur figura ad
euitandam linearũ intricationẽ multiplicẽ, & propter defectũ literarũ ad diſtinctionẽ linearũ. Cum
ergo i a ſit æqualis lineę, quã diximus a s: fiat circulus ſecundũ quantitatẽ ipſarũ, & loco s ponatur li
tera n: & producantur a g i ab uſq; ad circulũ hunc: & ſint a b c, a g r: & loco literæ œ ponamus f. Di-
ctum eſt, quòd arcus d f maior eſt arcu b g: ſit arcus b m æqualis arcui d f: [fiet uerò æqualis, ſiad re-
ctam a b eiusq́; punctũ a cõſtituatur per 23 p 1 angulus b a m æqualis angulo d a f: ſic enim per 33 p 6
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib