20119
caret rectam G I, vt in L, tunc G L æquaretur ipſi H B, ideoque G 1116. ſec.
conic. G L inter ſe æquales eſſent, totum, & pars, quod eſt abſurdum.
conic. G L inter ſe æquales eſſent, totum, & pars, quod eſt abſurdum.
Cum ergo puncta I, A cadant in oppoſitas ſectiones, iunctaque ſit I
A ſecans rectas C O, C D continentes angulum O C D, qui deinceps eſt
angulo D C E ſectionem A B continenti erunt ex ipſa abſciſſæ lineæ 22ibidem. I, N A inter aſymptotos, & ſectiones interiectæ inter ſe æquales. Pro-
ducantur F A, F B vſque ad aſymptotos in D, E, agaturque ex I recta
I O æquidiſtans ad C D. Cumque triangulorum I O M, N D A, baſes I
M, N A ſint in directum conſtitutæ ſintque latera I O, N D; M O, A D
inter ſe parallela, ſingula ſingulis, erunt quoque anguli ad I, & N; vti
etiam ad M, & A inter ſe æquales; ſed & baſes I M, N A inter ſe ſunt
æquales, vt ſuperiùs demonſtratum fuit, quare, & reliqua latera M O,
A D æqualia erunt.
A ſecans rectas C O, C D continentes angulum O C D, qui deinceps eſt
angulo D C E ſectionem A B continenti erunt ex ipſa abſciſſæ lineæ 22ibidem. I, N A inter aſymptotos, & ſectiones interiectæ inter ſe æquales. Pro-
ducantur F A, F B vſque ad aſymptotos in D, E, agaturque ex I recta
I O æquidiſtans ad C D. Cumque triangulorum I O M, N D A, baſes I
M, N A ſint in directum conſtitutæ ſintque latera I O, N D; M O, A D
inter ſe parallela, ſingula ſingulis, erunt quoque anguli ad I, & N; vti
etiam ad M, & A inter ſe æquales; ſed & baſes I M, N A inter ſe ſunt
æquales, vt ſuperiùs demonſtratum fuit, quare, & reliqua latera M O,
A D æqualia erunt.
Præterea cum ſit linea B G æqualis H I, erunt quoque E G, C O inter
ſe æquales (ob æ quidiſtantiam linearum I O, H C, B E,) quibus addita
communi G C in prima, ſecunda, & tertia figura, vel dempta in quin-
ta, proueniet E C, æqualis ipſi G O, ſed F D, E C ſunt æquales (nam
ſunt latera oppoſita in parallelogrammo C F,) quare F D ipſi G O ęqua-
lis erit; ſi ergo ex his demantur æquales M O, A D; reliquæ G M, F A
æquales erunt, at ſunt quoque parallelæ, vnde G F, I A inter ſe ęquidi
ſtabunt. Quod demonſtrare oportebat.
ſe æquales (ob æ quidiſtantiam linearum I O, H C, B E,) quibus addita
communi G C in prima, ſecunda, & tertia figura, vel dempta in quin-
ta, proueniet E C, æqualis ipſi G O, ſed F D, E C ſunt æquales (nam
ſunt latera oppoſita in parallelogrammo C F,) quare F D ipſi G O ęqua-
lis erit; ſi ergo ex his demantur æquales M O, A D; reliquæ G M, F A
æquales erunt, at ſunt quoque parallelæ, vnde G F, I A inter ſe ęquidi
ſtabunt. Quod demonſtrare oportebat.
LEMMA V. PROP. XVI.
Sint duæ rationes, A B nempe ad B C, &
D E ad F maioris
inæqualitatis, & ſit ratio A B ad B C, minor ratione D E ad F.
Oportet B C, ita ſecare in G, ita vt A G ad G C ſit vt D E
ad F.
inæqualitatis, & ſit ratio A B ad B C, minor ratione D E ad F.
Oportet B C, ita ſecare in G, ita vt A G ad G C ſit vt D E
ad F.
FIat E H æqualis F, &
vt D H ad H E, ita A C ad C G, &
punctum
G erit quæſitum. Quoniam cum A C ad C G ſit vt D H ad H E,
erit componendo A G ad G C,
161[Figure 161]
vt D E ad E H, velad F.
Quod
faciendum erat.
G erit quæſitum. Quoniam cum A C ad C G ſit vt D H ad H E,
erit componendo A G ad G C,
faciendum erat.
Quod autem punctum G ca-
dat infra B, patet. Nam ex hy-
poteſi, A B ad B C habet mi-
norem rationem quàm D E ad
F, vel ad E H, quare diuiden-
do A C ad C B habebit mino-
rem rationem, quàm D H ad H
E, vel quàm eadem A C ad C
G; ergo C B eſt maior C G; ſiue
punctum G cadit infra B. Quod demonſtrandum erat.
dat infra B, patet. Nam ex hy-
poteſi, A B ad B C habet mi-
norem rationem quàm D E ad
F, vel ad E H, quare diuiden-
do A C ad C B habebit mino-
rem rationem, quàm D H ad H
E, vel quàm eadem A C ad C
G; ergo C B eſt maior C G; ſiue
punctum G cadit infra B. Quod demonſtrandum erat.