202190
CF, minor.
Ducta autem recta CH, ad AC, perpendiculari, quæ circulum
tanget in C, ducantur rectæ AG, AH, AI, per puncta D, E, F. Item DK, ad
11coroll. 16 3 AC, perpendicularis. Eritq; CG, tangens arcus CD; & CH, tangens arcus
CE; & CI, tangens arcus CF. at DK, ſinus rectus
149[Figure 149]
arcus CD, &
AG, eiuſdem ſecans.
Dico CG, æqua-
lem eſſe ſinui toti AC; at CH, maiorem, & CI, mi-
norem. Item AG, duplam ſinus DK. Quoniam
2227. tertij. enim anguli CAG, GAB, æquales ſunt, ob arcus
æquales CD, DB; eſtq́; angulus BAC, rectus, erit
vterq; illorum ſemirectus. Quare & reliquus angu-
3332. primi. lus CGA, in triangulo ACG, ſemirectus erit;
propterea quòd angulus C, rectus eſt. Igitur recta
445. primi. CG, tangens arcus CD, qui ſemiſsis eſt quadran-
tis, ſinui toti AC, æqualis erit. Ex quo ſequi-
tur, CH, tangentem arcus CE, qui ſemiſſe quadrantis maior eſt, ſinu toto
AC, maiorem eſſe; & CI, tangentem arcus CF, qui ſemiſſe quadrantis mi-
nor eſt, minorem: cum punctum H, neceſſario cadat ſupra G, & punctum I,
infra.
tanget in C, ducantur rectæ AG, AH, AI, per puncta D, E, F. Item DK, ad
11coroll. 16 3 AC, perpendicularis. Eritq; CG, tangens arcus CD; & CH, tangens arcus
CE; & CI, tangens arcus CF. at DK, ſinus rectus
lem eſſe ſinui toti AC; at CH, maiorem, & CI, mi-
norem. Item AG, duplam ſinus DK. Quoniam
2227. tertij. enim anguli CAG, GAB, æquales ſunt, ob arcus
æquales CD, DB; eſtq́; angulus BAC, rectus, erit
vterq; illorum ſemirectus. Quare & reliquus angu-
3332. primi. lus CGA, in triangulo ACG, ſemirectus erit;
propterea quòd angulus C, rectus eſt. Igitur recta
445. primi. CG, tangens arcus CD, qui ſemiſsis eſt quadran-
tis, ſinui toti AC, æqualis erit. Ex quo ſequi-
tur, CH, tangentem arcus CE, qui ſemiſſe quadrantis maior eſt, ſinu toto
AC, maiorem eſſe; & CI, tangentem arcus CF, qui ſemiſſe quadrantis mi-
nor eſt, minorem: cum punctum H, neceſſario cadat ſupra G, & punctum I,
infra.
QVOD tamen ſeorſum ita quoq;
oſtendi poteſt, nulla habita ratione tan
gentis CG, cuius arcus eſt ſemiſsis quadrantis. Quoniam arcus CE, ſemiſſe
quadrantis maior eſt, erit arcus BE, ſemiſſe quadrantis minor. Igitur angulus
CAH, angulo HAB, maior eſt, ac proinde maior ſemirecto. Cum ergo an-
55Schol. 27. 3. gulus C, rectus ſit, erit reliquus AHC, in triangulo ACH, ſemirecto minor.
6632. primi. Quare recta CH, tangens arcus CE, qui ſemiſſe quadrantis maior eſt, ma-
7719. primi. ior eſt ſinu toto AC.
gentis CG, cuius arcus eſt ſemiſsis quadrantis. Quoniam arcus CE, ſemiſſe
quadrantis maior eſt, erit arcus BE, ſemiſſe quadrantis minor. Igitur angulus
CAH, angulo HAB, maior eſt, ac proinde maior ſemirecto. Cum ergo an-
55Schol. 27. 3. gulus C, rectus ſit, erit reliquus AHC, in triangulo ACH, ſemirecto minor.
6632. primi. Quare recta CH, tangens arcus CE, qui ſemiſſe quadrantis maior eſt, ma-
7719. primi. ior eſt ſinu toto AC.
RVRSVS quia arcus CF, ſemiſſe quadrantis minor eſt, ac proinde BF,
maior, erit angulus CAI, angulo IAB, minor; atque adeo minor ſemirecto.
88Schol. 27. 3. Cum ergo angulus C, ſit rectus, erit reliquus AIC, in triangulo ACI, maior
9932. primi. ſemirecto: ac propterea recta CI, tangens arcus CF, qui quadrantis ſemiſſe
minor eſt, minor erit ſinu toto AC.
101019. primi.maior, erit angulus CAI, angulo IAB, minor; atque adeo minor ſemirecto.
88Schol. 27. 3. Cum ergo angulus C, ſit rectus, erit reliquus AIC, in triangulo ACI, maior
9932. primi. ſemirecto: ac propterea recta CI, tangens arcus CF, qui quadrantis ſemiſſe
minor eſt, minor erit ſinu toto AC.
PRAETEREA quoniam angulus K, rectus eſt, &
DAK, ſemirectus, vt
oſtenſum eſt; erit & AD k, ſemirectus; ac proinde AK, ſinui DK, æqualis
11116. primi. erit. Quia vero triangula GAC, DAK, æquiangula ſunt, erit vt AG, ad AC,
12124. ſexti. ita AD, hoc eſt, AC, ad AK; ac proinde tres rectæ GA, ſecans; AC, ſinus
totus, & AK, ſinus dimidij quadrantis, continue proportionales erunt. Ita
ergo erit quadratum ex AG, ad quadratum ex AC, vt recta AG, ad rectam
1313Corol. 20. 6 AK. Eſt autem quadratum ex AG, quadrati ex AC, duplum propterea quòd
141447 primi. æquale eſt quadratis ex AC, CG, æqualibus. Igitur & AG, ſecans dimidij
quadrátis dupla eſt ſinus AK, vel DK, eiuſdem dimidij. Quocirca tangens di-
midij quadrantis ſinui toti æqualis eſt, & c. Quod demonſtrandum erat.
1515Q uæ tan-oſtenſum eſt; erit & AD k, ſemirectus; ac proinde AK, ſinui DK, æqualis
11116. primi. erit. Quia vero triangula GAC, DAK, æquiangula ſunt, erit vt AG, ad AC,
12124. ſexti. ita AD, hoc eſt, AC, ad AK; ac proinde tres rectæ GA, ſecans; AC, ſinus
totus, & AK, ſinus dimidij quadrantis, continue proportionales erunt. Ita
ergo erit quadratum ex AG, ad quadratum ex AC, vt recta AG, ad rectam
1313Corol. 20. 6 AK. Eſt autem quadratum ex AG, quadrati ex AC, duplum propterea quòd
141447 primi. æquale eſt quadratis ex AC, CG, æqualibus. Igitur & AG, ſecans dimidij
quadrátis dupla eſt ſinus AK, vel DK, eiuſdem dimidij. Quocirca tangens di-
midij quadrantis ſinui toti æqualis eſt, & c. Quod demonſtrandum erat.
gentes in ta
bula tágen-
tiũ mino -
resſint ſinu
toto, & quę
maiores.
Ité cur ſe-
cás gt. 45.
dupla ſit ſi-
nus gt. 45.
SCHOLIVM.
E X hac propoſ.
aperte cauſa colligitur, cur in tabula Tangentium omnes tangen
tes arcuum minorum, quàm grad. 45. minores ſint ſinu toto: Tangens vero arcus gra.
45. ſinui totiæqualis: Tangentes denique omnes arcuum maiorum, quàm grad. 45.
ſinu toto maiores. Item cur in tabula Secantium ſecans arcus grad. 45. dupla ſit ſinus
arcus eiuſdem grad. 45.
tes arcuum minorum, quàm grad. 45. minores ſint ſinu toto: Tangens vero arcus gra.
45. ſinui totiæqualis: Tangentes denique omnes arcuum maiorum, quàm grad. 45.
ſinu toto maiores. Item cur in tabula Secantium ſecans arcus grad. 45. dupla ſit ſinus
arcus eiuſdem grad. 45.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib