202196ALHAZEN
dico, quòd extra hanc totalẽ ſuperficiem licebit inuenire punctũ, ad quod reflectãtur duo pũcta i, n
à duobus ſpeculi punctis: & imago erit t q. Verbi gratia. Palàm, quòd angulus n a z duplus eſt ad an-
gulũ c a b: [oſtenſum enim eſt peripherias n u & u z ęquari: itaq; n z dupla eſt ipſius u z, & per 33 p 6
angulus n a z duplus ad angulũ n a u, ideoq́; duplus ad æqualẽ i a b] & angulus i a o duplus ad angu
lum i a g, ſecundũ prædicta: [æquatus enim eſt o a g ipſi i a g: itaq; totus i a o duplus eſt ad i a g] & an
gulus n a z nõ excedit angulũ i a o in angulo maiore angulo n a i. [Quia enim anguli n a z & i a o du-
pli ſunt angulorũ i a b & i a g: & i a b exuperat angulũ i a g, angulo g a b (qui per theſin minor eſt an-
gulo g a m) ergo angulus g a b minor eſt dimidiato angulo b a m (qui per 33 p 6 ęquatur angulo n a i,
ob peripherias f d & m b æquales) angulus igitur g a b minor eſt dimidiato angulo n a i. Quare angu
lus n a z exuperans angulũ i a o, duplo angulo g a b, nõ exuperat maiore angulo ꝗ̃ ſit n a i] & duo an-
guli i a o, i a n maiores tertio, qui eſt n a z: & duo z a n, n a i maiores tertio i a o: & duo n a z, i a o maio
res tertio n a i. Habemus ergo tres angulos [n a i, n a z, i a o] quorũ quilibet duo maiores ſunt tertio,
& oẽs ſimul quatuor rectis minores: [quia non totũ circa centrum a locum replent. ] Igitur [per 23 p
11] exillis licet facere angulũ corporalẽ. Fiat angulus ille ſuper a: & ſit linea s a erecta ſuper a: & angu
lus i a s ſit ęqualis angulo i a o: & angulus n a s ęqualis angulo n a z: angulus n a i manebit immotus:
& fiat linea a s æqualis lineæ a n uel a i: quæ oẽs ſunt æquales: & ꝓducãtur lineę t s, q s. Palàm, quo-
niã angulus t a s eſt æqualis angulo t a o [eſt enim t a pars lineæ i a [& duo latera [t a, & a o] lateribus
duob. [t a & a s] erit [per 4 p 1] baſis t s ęqualis baſi t o, & triangulũ triãgulo: & ita angulus g t a æqua
lis angulo s t a [ꝗ a g t pars eſt lineæ o t. ] Si-
161[Figure 161]l u r c z o d t m g b n k q f a s p x e s militer angulus q a s ęqualis angulo q a z, &
latera [q a, a s] lateribus: [q a, a z] & [per 4 p
1] triangulũ æquale triangulo: & angulus m
q a æqualis angulo s q a [eſt enim m q pars
lineę z q. ] Diuidatur angulus t a s per æqua
lia per lineam a y [per 9 p 1. ] Sit y punctũ, in
quo linea illa ſecabit lineã t s. Palàm, cũ an-
gulus i a g ſit medietas angulii a o: erit an-
gulus t a g æqualis angulo t a y, & angulus
g t a æqualis y t a: & unũ latus cõmune, ſcili
cet t a: erit [per 26 p 1] t g æqualis t y, & trian
gulũ [y t a] triangulo: [g t a] & erit a y æqua
lis a g: & ita y in ſuperficie ſpeculi: [cũ enim
puncta g & y à centro a æquabiliter diſtent
per concluſionẽ proximam: ſitq́; g ex theſi
in ſpeculi ſuperficie: erit y in eadẽ. ] Erit etiã
angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera
[i a, a g] lateribus [i a, a y] & [per 4 p 1] trian-
gulum i a g triangulo [i a y] æquale: & erit angulus a g i ęqualis angulo a y i: & linea i y ꝓducta, æqua
lis i g. Et producatur a y extra ſphęrã uſq; ad punctũ p: reſtabit angulus i g r æqualis angulo i y p [ք 13
p 1. ] Verũ cum t s ſit æqualis t o, & t y æqualis t g: [per cõcluſionẽ] reſtat g o æqualis y s. Igitur a y, y s
æqualia, a g, g o: & baſis a s æqualis baſi a o: erit [per 8 p 1] triangulũ [a y s] ęquale triangulo: [a g o] &
erit angulus a y s æqualis angulo a g o: reſtat [per 13 p 1] angulus s y p æqualis angulo o g r. Igitur duo
anguli i g r, o g r æquales ſunt duobus angulis i y p, s y p. Verùm linea a s ſecabit ſphęrã: ſit punctum
ſectionis e. Igitur tria pũcta e, y, d ſunt in ſuperficie ſphæræ. Quare linea e y d eſt pars circuli ſphærę:
& eſt linea comunis ſuperficiei ſphærę & ſuperficiei reflexionis t s p. Quare punctũ i reflectitur ad
punctũ s à puncto y: & locus imaginis eſt t. Similiter diuiſo angulo n a s per æqualia per ax: probabi
tur modo prædicto, quòd q x æqualis eſt q m, & a x æqualis a m, & x s æqualis m z: & duo anguli n x
æ & s x æ æquales duobus angulis n m u, z m u. Et ita n reflectetur ad s à puncto x: & locus imaginis
q: & ita t q imago i n: [& ſic imago, ut prius, erit æqualis uiſibili: cum t q æqualis concluſa ſit ipſi i n. ]
Quod eſt propoſitũ. Amplius: ſi à puncto i ducatur perpendicularis ſuper n a: cadet inter n & q, non
extra n: cũ angulus i n a ſit acutus: quoniá æqualis angulo n i a [ducta enim recta in, ęquabuntur an-
guli ad baſim i n per 5 p 1] & ſi caderet քpendicularis illa extra n: eſſet acutus maior recto [per 16 p 1. ]
Faciet ergo perpendicularis illa angulũ rectũ ſuper n q, quẽ angulũ reſpicit linea i n. Quare [ք 19 p 1]
linea in maior eſt illa perpendiculari. Quare perpendicularis illa minor t q [ęquali ipſi in per cõclu
ſionẽ. ] Punctũ igitur lineę n q, in quod cadit perpẽdicularis, reflectitur ad punctũ s: imago uerò eius
cadet in lineã n a [per 3 n 5] ſupra punctũ q. Quia quantò remotiora ſunt puncta, quę reflectũtur, tan
tò loca imaginũ magis accedunt ad centrũ circuli [per 30 n 5. ] Et quæcunq; linea ducetur à puncto t
[quod eſt imago puncti i, reflexi à puncto ſpeculi y] ad aliquod punctũ n q ſupra q: erit maior t q [per
19 p 1. ] Igitur imago perpendicularis erit maior ipſa perpendiculari. [Quia enim t q æquatur ipſi i n,
quę maior cõcluſa eſt perpendiculari: ergo t q imago perpendicularis eadẽ maior eſt. ] Eodẽ modo
quęcunq; linea ducetur à puncto i ad n q, inter hanc perpendicularẽ & in: erit imago ipſius maior i-
pſa. Verùm determinentur hęc certius. Punctũ n quia reflectitur ad z à puncto m: & locus imaginis
eſt q: linea z m q ſecat circulũ in puncto, quod eſt 3: cõtingens ergo ducta à pũcto z ad circulũ: cadet
ſuper punctũ aliquod arcus m 3 [ſi enim z m tangeret: angulus z m a eſſet rectus per 18 p 3: quare per
à duobus ſpeculi punctis: & imago erit t q. Verbi gratia. Palàm, quòd angulus n a z duplus eſt ad an-
gulũ c a b: [oſtenſum enim eſt peripherias n u & u z ęquari: itaq; n z dupla eſt ipſius u z, & per 33 p 6
angulus n a z duplus ad angulũ n a u, ideoq́; duplus ad æqualẽ i a b] & angulus i a o duplus ad angu
lum i a g, ſecundũ prædicta: [æquatus enim eſt o a g ipſi i a g: itaq; totus i a o duplus eſt ad i a g] & an
gulus n a z nõ excedit angulũ i a o in angulo maiore angulo n a i. [Quia enim anguli n a z & i a o du-
pli ſunt angulorũ i a b & i a g: & i a b exuperat angulũ i a g, angulo g a b (qui per theſin minor eſt an-
gulo g a m) ergo angulus g a b minor eſt dimidiato angulo b a m (qui per 33 p 6 ęquatur angulo n a i,
ob peripherias f d & m b æquales) angulus igitur g a b minor eſt dimidiato angulo n a i. Quare angu
lus n a z exuperans angulũ i a o, duplo angulo g a b, nõ exuperat maiore angulo ꝗ̃ ſit n a i] & duo an-
guli i a o, i a n maiores tertio, qui eſt n a z: & duo z a n, n a i maiores tertio i a o: & duo n a z, i a o maio
res tertio n a i. Habemus ergo tres angulos [n a i, n a z, i a o] quorũ quilibet duo maiores ſunt tertio,
& oẽs ſimul quatuor rectis minores: [quia non totũ circa centrum a locum replent. ] Igitur [per 23 p
11] exillis licet facere angulũ corporalẽ. Fiat angulus ille ſuper a: & ſit linea s a erecta ſuper a: & angu
lus i a s ſit ęqualis angulo i a o: & angulus n a s ęqualis angulo n a z: angulus n a i manebit immotus:
& fiat linea a s æqualis lineæ a n uel a i: quæ oẽs ſunt æquales: & ꝓducãtur lineę t s, q s. Palàm, quo-
niã angulus t a s eſt æqualis angulo t a o [eſt enim t a pars lineæ i a [& duo latera [t a, & a o] lateribus
duob. [t a & a s] erit [per 4 p 1] baſis t s ęqualis baſi t o, & triangulũ triãgulo: & ita angulus g t a æqua
lis angulo s t a [ꝗ a g t pars eſt lineæ o t. ] Si-
161[Figure 161]l u r c z o d t m g b n k q f a s p x e s militer angulus q a s ęqualis angulo q a z, &
latera [q a, a s] lateribus: [q a, a z] & [per 4 p
1] triangulũ æquale triangulo: & angulus m
q a æqualis angulo s q a [eſt enim m q pars
lineę z q. ] Diuidatur angulus t a s per æqua
lia per lineam a y [per 9 p 1. ] Sit y punctũ, in
quo linea illa ſecabit lineã t s. Palàm, cũ an-
gulus i a g ſit medietas angulii a o: erit an-
gulus t a g æqualis angulo t a y, & angulus
g t a æqualis y t a: & unũ latus cõmune, ſcili
cet t a: erit [per 26 p 1] t g æqualis t y, & trian
gulũ [y t a] triangulo: [g t a] & erit a y æqua
lis a g: & ita y in ſuperficie ſpeculi: [cũ enim
puncta g & y à centro a æquabiliter diſtent
per concluſionẽ proximam: ſitq́; g ex theſi
in ſpeculi ſuperficie: erit y in eadẽ. ] Erit etiã
angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera
[i a, a g] lateribus [i a, a y] & [per 4 p 1] trian-
gulum i a g triangulo [i a y] æquale: & erit angulus a g i ęqualis angulo a y i: & linea i y ꝓducta, æqua
lis i g. Et producatur a y extra ſphęrã uſq; ad punctũ p: reſtabit angulus i g r æqualis angulo i y p [ք 13
p 1. ] Verũ cum t s ſit æqualis t o, & t y æqualis t g: [per cõcluſionẽ] reſtat g o æqualis y s. Igitur a y, y s
æqualia, a g, g o: & baſis a s æqualis baſi a o: erit [per 8 p 1] triangulũ [a y s] ęquale triangulo: [a g o] &
erit angulus a y s æqualis angulo a g o: reſtat [per 13 p 1] angulus s y p æqualis angulo o g r. Igitur duo
anguli i g r, o g r æquales ſunt duobus angulis i y p, s y p. Verùm linea a s ſecabit ſphęrã: ſit punctum
ſectionis e. Igitur tria pũcta e, y, d ſunt in ſuperficie ſphæræ. Quare linea e y d eſt pars circuli ſphærę:
& eſt linea comunis ſuperficiei ſphærę & ſuperficiei reflexionis t s p. Quare punctũ i reflectitur ad
punctũ s à puncto y: & locus imaginis eſt t. Similiter diuiſo angulo n a s per æqualia per ax: probabi
tur modo prædicto, quòd q x æqualis eſt q m, & a x æqualis a m, & x s æqualis m z: & duo anguli n x
æ & s x æ æquales duobus angulis n m u, z m u. Et ita n reflectetur ad s à puncto x: & locus imaginis
q: & ita t q imago i n: [& ſic imago, ut prius, erit æqualis uiſibili: cum t q æqualis concluſa ſit ipſi i n. ]
Quod eſt propoſitũ. Amplius: ſi à puncto i ducatur perpendicularis ſuper n a: cadet inter n & q, non
extra n: cũ angulus i n a ſit acutus: quoniá æqualis angulo n i a [ducta enim recta in, ęquabuntur an-
guli ad baſim i n per 5 p 1] & ſi caderet քpendicularis illa extra n: eſſet acutus maior recto [per 16 p 1. ]
Faciet ergo perpendicularis illa angulũ rectũ ſuper n q, quẽ angulũ reſpicit linea i n. Quare [ք 19 p 1]
linea in maior eſt illa perpendiculari. Quare perpendicularis illa minor t q [ęquali ipſi in per cõclu
ſionẽ. ] Punctũ igitur lineę n q, in quod cadit perpẽdicularis, reflectitur ad punctũ s: imago uerò eius
cadet in lineã n a [per 3 n 5] ſupra punctũ q. Quia quantò remotiora ſunt puncta, quę reflectũtur, tan
tò loca imaginũ magis accedunt ad centrũ circuli [per 30 n 5. ] Et quæcunq; linea ducetur à puncto t
[quod eſt imago puncti i, reflexi à puncto ſpeculi y] ad aliquod punctũ n q ſupra q: erit maior t q [per
19 p 1. ] Igitur imago perpendicularis erit maior ipſa perpendiculari. [Quia enim t q æquatur ipſi i n,
quę maior cõcluſa eſt perpendiculari: ergo t q imago perpendicularis eadẽ maior eſt. ] Eodẽ modo
quęcunq; linea ducetur à puncto i ad n q, inter hanc perpendicularẽ & in: erit imago ipſius maior i-
pſa. Verùm determinentur hęc certius. Punctũ n quia reflectitur ad z à puncto m: & locus imaginis
eſt q: linea z m q ſecat circulũ in puncto, quod eſt 3: cõtingens ergo ducta à pũcto z ad circulũ: cadet
ſuper punctũ aliquod arcus m 3 [ſi enim z m tangeret: angulus z m a eſſet rectus per 18 p 3: quare per
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