204198ALHAZEN
Quare imago puncti remotioris ab e remotior eſt à centro, imagine propinquioris:
& finis contin-
gentiæ remotioris remotior à centro, fine propinquioris. Quod erat propoſitum.
gentiæ remotioris remotior à centro, fine propinquioris. Quod erat propoſitum.
8. Si data recta in duob{us} punctis ſecta, ſit ad alterũ extremorũ ſegmentorũ, ut reliquũ ex-
tremum ad intermediũ: & ab altero ipſi{us} termino, ſectionuḿ punctis tres rectæ in eodẽ pun
cto cõcurrant: recta à reliquo termino ſecãs cõcurrentes, ſecabitur proportionaliter datæ. 123 p 1.
tremum ad intermediũ: & ab altero ipſi{us} termino, ſectionuḿ punctis tres rectæ in eodẽ pun
cto cõcurrant: recta à reliquo termino ſecãs cõcurrentes, ſecabitur proportionaliter datæ. 123 p 1.
AMplius:
propoſita linea a b, & diuiſa in punctis g, d, ut ſit proportio a b ad b d, ſicut a g ad g d:
ſi à punctis ſectionũ ducantur tres lineæ concurrentes in punctum unum, ſcilicet g e, d e, b e:
& à puncto a ducatur linea ſecans illas tres lineas: Dico, quòd linea illa diuiſa erit ſecundum
prædictam proportionẽ. Ducatur linea a c ſecans tria latera g e, d e, b e in tribus punctis z, h, c. Dico
quòd proportio a c ad c h, ſicut a z ad z h. Ducatur [per 31 p 1] à puncto h æquidiſtans a b: quæ ſit h q.
Palàm [è demonſtratis à Theone ad 5 d 6] quòd proportio a b ad b d, conſtat ex proportionibus a b
ad h q, & h q ad b d. Sed quoniã q h æquidiſtat a b: erit triangulũ c q h ſimile triangulo c a b: ] per 29 p
1. 4 p. 1 d 6] & erit proportio a b ad q h, ſicut a c ad c h. Similiter triangulũ q e h ſimile triangulo b e d:
igitur erit porportio q h ad b d, ſicut h e ad e d. Ergo
163[Figure 163]e c h m z b d a proportio a b ad b d, cõſtat ex proportionibus a c ad
c h & h e ad e d. Producatur q h, uſq; dum cadat ſuper
e g in puncto m. [cadet aũt per lemma Procli ad 29 p
1] Proportio igitur a g ad g d, conſtat ex proportioni-
bus a g ad h m, & h m ad g d. Sed cum [per 29 p 1]
angulus e m h ſit æqualis angulo z g d: erit [per 13 p 1]
angulus h m zæqualis angulo z g a: & erit triangulũ
a z g ſimile triangulo h m z [quia enim anguli aduer-
ticem z æquantur per 15 p 1: æquabitur per 32 p 1 ter-
tius m h z tertio g a z. Quare per 4 p. 1 d 6 triangula h
m z, a g z ſunt ſimilia. ] Et erit proportio a z ad z h ſi-
cut a g ad h m. Sed [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum h
e m ſimile eſt triangulo g e d: erit igitur proportio h
m ad g d, ſicut h e ad e d. Igitur proportio a g ad g d,
conſtat ex proportione a z ad z h, & h e ad e d: & eadẽ
eſt a g ad g d, quæ a b ad b d [pertheſin. ] Igitur illa ea-
dem cõſtat ex proportionibus a z ad z h & h e ad e d.
Igitur [ſubducta utrinq; ratione h c ad e d] eadẽ erit
proportio a c ad c h, quę eſt a z ad z h. Et ita eſt propoſitũ. Eadem erit probatio, quęcunq; linea duca
rur à puncto a, ſecans lineas illas tres concurrentes. Et ſi ducantur aliæ tres lineę à tribus punctis g,
d, b, ad aliud punctũ quàm e cõcurrentes, & à puncto a ducatur linea quæcũq; , ſecans eas: diuidetur
ſecundum prædictã proportionẽ. Et ita quocunq; modo concurrãt tres lineę. Et ſi tres lineę e g, e d,
e b producantur ultra tria puncta b, d, g ex alia parte: & à puncto a ducantur lineæ, ſecantes eas ex il
la alia parte: nunquam illæ lineæ diuidentur ſecundum prædictam proportionem.
ſi à punctis ſectionũ ducantur tres lineæ concurrentes in punctum unum, ſcilicet g e, d e, b e:
& à puncto a ducatur linea ſecans illas tres lineas: Dico, quòd linea illa diuiſa erit ſecundum
prædictam proportionẽ. Ducatur linea a c ſecans tria latera g e, d e, b e in tribus punctis z, h, c. Dico
quòd proportio a c ad c h, ſicut a z ad z h. Ducatur [per 31 p 1] à puncto h æquidiſtans a b: quæ ſit h q.
Palàm [è demonſtratis à Theone ad 5 d 6] quòd proportio a b ad b d, conſtat ex proportionibus a b
ad h q, & h q ad b d. Sed quoniã q h æquidiſtat a b: erit triangulũ c q h ſimile triangulo c a b: ] per 29 p
1. 4 p. 1 d 6] & erit proportio a b ad q h, ſicut a c ad c h. Similiter triangulũ q e h ſimile triangulo b e d:
igitur erit porportio q h ad b d, ſicut h e ad e d. Ergo
163[Figure 163]e c h m z b d a proportio a b ad b d, cõſtat ex proportionibus a c ad
c h & h e ad e d. Producatur q h, uſq; dum cadat ſuper
e g in puncto m. [cadet aũt per lemma Procli ad 29 p
1] Proportio igitur a g ad g d, conſtat ex proportioni-
bus a g ad h m, & h m ad g d. Sed cum [per 29 p 1]
angulus e m h ſit æqualis angulo z g d: erit [per 13 p 1]
angulus h m zæqualis angulo z g a: & erit triangulũ
a z g ſimile triangulo h m z [quia enim anguli aduer-
ticem z æquantur per 15 p 1: æquabitur per 32 p 1 ter-
tius m h z tertio g a z. Quare per 4 p. 1 d 6 triangula h
m z, a g z ſunt ſimilia. ] Et erit proportio a z ad z h ſi-
cut a g ad h m. Sed [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum h
e m ſimile eſt triangulo g e d: erit igitur proportio h
m ad g d, ſicut h e ad e d. Igitur proportio a g ad g d,
conſtat ex proportione a z ad z h, & h e ad e d: & eadẽ
eſt a g ad g d, quæ a b ad b d [pertheſin. ] Igitur illa ea-
dem cõſtat ex proportionibus a z ad z h & h e ad e d.
Igitur [ſubducta utrinq; ratione h c ad e d] eadẽ erit
proportio a c ad c h, quę eſt a z ad z h. Et ita eſt propoſitũ. Eadem erit probatio, quęcunq; linea duca
rur à puncto a, ſecans lineas illas tres concurrentes. Et ſi ducantur aliæ tres lineę à tribus punctis g,
d, b, ad aliud punctũ quàm e cõcurrentes, & à puncto a ducatur linea quæcũq; , ſecans eas: diuidetur
ſecundum prædictã proportionẽ. Et ita quocunq; modo concurrãt tres lineę. Et ſi tres lineę e g, e d,
e b producantur ultra tria puncta b, d, g ex alia parte: & à puncto a ducantur lineæ, ſecantes eas ex il
la alia parte: nunquam illæ lineæ diuidentur ſecundum prædictam proportionem.
9. Si duæ rectæ facientes angulum, ſimiliteŕ in duob{us} punctis ita ſectæ (ut tota ſit ad alterũ
extremorũ ſegmentorũ, ſicut reliquum extremum ad intermedium) baſi infinita cõnect antur:
rectæ per pũcta ſectionũ utriuſ, cũ baſi & inter ſe cõcurrẽtes, in eodẽ puncto cõcurrẽt. 124 p 1.
extremorũ ſegmentorũ, ſicut reliquum extremum ad intermedium) baſi infinita cõnect antur:
rectæ per pũcta ſectionũ utriuſ, cũ baſi & inter ſe cõcurrẽtes, in eodẽ puncto cõcurrẽt. 124 p 1.
AMplius:
data linea a b prædicto modo diuiſa:
ſi à puncto a ducatur alia linea, uelut a c, quæ di
uidatur iuxta eandem proportionẽ: & à punctis diuiſionũ a b ducantur lineę ad puncta diui
ſionũ a c, quę quidẽ nõ ſint æquidiſtãtes: Dico quòd
164[Figure 164]e n c z b d g a illæ tres concurrent in uno & eodẽ puncto. Sit pro-
portio ac ad c h, ſicut a z ad z h. Et quia b c, d h non
ſunt æquidiſtantes [ex theſi] igitur concurrent in ali
quo puncto: quod ſit e. Linea g z aut concurret ad
idem punctũ: aut non. Si ad idem: habemus propoſi
tum. Si nõ, ducatur linea e g: ſecabit quidem lineã a
c in alio puncto quàm z: ſit illud punctũ l. Erit ergo
proportio a c ad c h, ſicut a l ad l h iuxta priorẽ pro-
bationem [præcedentis numeri] ſed poſitum eſt a
c ad ch, ſicut a z ad z h. Et ita impoſsibile [nempe to-
tum æquari ſuæ parti. Quia enim per præcedentem
numerum eſt, ut a l ad l h, ſic a c ad c h, & ex theſi, ut
a c ad ch, ſic a z ad z h: erit per 11 p 5, ut a l ad l h, ſic a z
ad z h & per 18 p 5, ut a h ad h l, ſic a h ad h z. Quare
cum a h ad duas rectas h l, h z eandem habeat ratio-
nem, æquabuntur ipſæ inter ſe per 9 p 5: & ſic tota h
l erit æqualis parti h z. ] Similiter, ſi ponatur, quòd li
nea g z concurrat cum d h ad punctum e: probabitur hoc modo, quòd linea b c concurrat ad idem
uidatur iuxta eandem proportionẽ: & à punctis diuiſionũ a b ducantur lineę ad puncta diui
ſionũ a c, quę quidẽ nõ ſint æquidiſtãtes: Dico quòd
164[Figure 164]e n c z b d g a illæ tres concurrent in uno & eodẽ puncto. Sit pro-
portio ac ad c h, ſicut a z ad z h. Et quia b c, d h non
ſunt æquidiſtantes [ex theſi] igitur concurrent in ali
quo puncto: quod ſit e. Linea g z aut concurret ad
idem punctũ: aut non. Si ad idem: habemus propoſi
tum. Si nõ, ducatur linea e g: ſecabit quidem lineã a
c in alio puncto quàm z: ſit illud punctũ l. Erit ergo
proportio a c ad c h, ſicut a l ad l h iuxta priorẽ pro-
bationem [præcedentis numeri] ſed poſitum eſt a
c ad ch, ſicut a z ad z h. Et ita impoſsibile [nempe to-
tum æquari ſuæ parti. Quia enim per præcedentem
numerum eſt, ut a l ad l h, ſic a c ad c h, & ex theſi, ut
a c ad ch, ſic a z ad z h: erit per 11 p 5, ut a l ad l h, ſic a z
ad z h & per 18 p 5, ut a h ad h l, ſic a h ad h z. Quare
cum a h ad duas rectas h l, h z eandem habeat ratio-
nem, æquabuntur ipſæ inter ſe per 9 p 5: & ſic tota h
l erit æqualis parti h z. ] Similiter, ſi ponatur, quòd li
nea g z concurrat cum d h ad punctum e: probabitur hoc modo, quòd linea b c concurrat ad idem