205193
100000000000000.
per sinus complementorum omnium arcuum, initio facto à
11Sola diui-
ſione eiuſ-
dé ſemper
numeri p ſi
nus omnes
ſecantes in
ueniuntur. principto Quadrantis, omnium arcuum ſecantes eruuntur, vt ex demonſtratis liquet.
Ex quo facilima erit conſtructio tabulæ ſecantium.
11Sola diui-
ſione eiuſ-
dé ſemper
numeri p ſi
nus omnes
ſecantes in
ueniuntur. principto Quadrantis, omnium arcuum ſecantes eruuntur, vt ex demonſtratis liquet.
Ex quo facilima erit conſtructio tabulæ ſecantium.
THEOR 11. PROPOS. 19.
TANGENS cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe qua-
22Tangens ar
cus maioris
ſemiſle qua
diantis, cui
tangenti, &
ſecanti ſi-
mul ſit æ-
qualis. drantis maior ſit, æqualis eſt tangenti & ſecanti ſi-
mul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat.
22Tangens ar
cus maioris
ſemiſle qua
diantis, cui
tangenti, &
ſecanti ſi-
mul ſit æ-
qualis. drantis maior ſit, æqualis eſt tangenti & ſecanti ſi-
mul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat.
IN quadrante ABC, ſit CG, tangens arcus CF, qui ſemiſſe quadrantis
maior ſit, inter ſemidiametrum AC, & ſecantem AG, eiuſdem arcus CF, com
prehenſa. Dico CG, æqualem eſſe tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus
ſit exceſſus, quo arcus CF, ſemiſſem quadrantis
152[Figure 152]
ſuperat.
Sumpto enim arcu FD, ipſi FB, æquali,
ducatur recta AD, extendaturq́; vſque ad E. Et
quoniam anguli BAF, FAE, ob æquales arcus
3327. tertij. BF, DF, æquales ſunt: Et angulo BAF, æqualis
eſt alternus angulus G; erit quoq; idem angulus
4429. primi. G, angulo GAE, æqualis. Quare rectæ EG, EA,
556. primi. æquales ſunt: ac propterea, addita communi CE,
erit CG, tota tangens arcus CF, duabus CE, &
AE, hoc eſt, tangenti, & ſecanti arcus CD, ſimul
æqualis. Dico iam arcum CD, duplum eſſe exceſ-
ſus quo arcus CF, propoſitus ſemiſſem quadrãtis ſuperat. Producto enim ar-
cu quadrantis ad partes B, ſumptoq́; arcu BH, æquali ipſi CD, cum & arcus
FB, arcui FD, ſit æqualis, erit totus arcus FH, toti arcui CF, æqualis, ac pro-
inde arcus CH, duplus erit arcus CF. Quoniam vero arcus CH, quadrantem
CB, ſuperat arcu BH, hoc eſt, arcu CD; ſuperabit CF, ſemiſsis arcus CH, ſe
667. huius. miſsem quadrantis CB, ſemiſse exceſſus CD. Arcus igitur CD, duplus eſt ex-
ceſſus, quo datus arcus CF, ſemiſſem quadrantis ſuperat. Eſt auté oſtenſum,
CG, tangentem arcus CF, æqualem eſſe tangenti CE, & ſecanti AE, ſimul ar-
cus CD. Igitur tangens cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe quadrantis maior ſit, æqua
lis eſt tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat. Quod oſtendendum erat.
maior ſit, inter ſemidiametrum AC, & ſecantem AG, eiuſdem arcus CF, com
prehenſa. Dico CG, æqualem eſſe tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus
ſit exceſſus, quo arcus CF, ſemiſſem quadrantis
ducatur recta AD, extendaturq́; vſque ad E. Et
quoniam anguli BAF, FAE, ob æquales arcus
3327. tertij. BF, DF, æquales ſunt: Et angulo BAF, æqualis
eſt alternus angulus G; erit quoq; idem angulus
4429. primi. G, angulo GAE, æqualis. Quare rectæ EG, EA,
556. primi. æquales ſunt: ac propterea, addita communi CE,
erit CG, tota tangens arcus CF, duabus CE, &
AE, hoc eſt, tangenti, & ſecanti arcus CD, ſimul
æqualis. Dico iam arcum CD, duplum eſſe exceſ-
ſus quo arcus CF, propoſitus ſemiſſem quadrãtis ſuperat. Producto enim ar-
cu quadrantis ad partes B, ſumptoq́; arcu BH, æquali ipſi CD, cum & arcus
FB, arcui FD, ſit æqualis, erit totus arcus FH, toti arcui CF, æqualis, ac pro-
inde arcus CH, duplus erit arcus CF. Quoniam vero arcus CH, quadrantem
CB, ſuperat arcu BH, hoc eſt, arcu CD; ſuperabit CF, ſemiſsis arcus CH, ſe
667. huius. miſsem quadrantis CB, ſemiſse exceſſus CD. Arcus igitur CD, duplus eſt ex-
ceſſus, quo datus arcus CF, ſemiſſem quadrantis ſuperat. Eſt auté oſtenſum,
CG, tangentem arcus CF, æqualem eſſe tangenti CE, & ſecanti AE, ſimul ar-
cus CD. Igitur tangens cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe quadrantis maior ſit, æqua
lis eſt tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat. Quod oſtendendum erat.
SCHOLIVM.
HANC propoſitionem nonnulli ita proponunt.
SECANS cuiuſuis arcus vna cum tangente eiuſdem æqualis eſt
77Secás @@ tá-
gens eiuſ-
dem arcus
cui tágenti
ſimul ęqua
les ſint. tangenti arcus compoſiti ex dato arcu, & ſemiſſe complementi
eiuſdem.
77Secás @@ tá-
gens eiuſ-
dem arcus
cui tágenti
ſimul ęqua
les ſint. tangenti arcus compoſiti ex dato arcu, & ſemiſſe complementi
eiuſdem.
N A M in eadem figura ſit AE, ſecans, &
Ce, tangens eiuſdem arcus CD.