THEOR 11. PROPOS. 19.
TANGENS cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe qua-
22Tangens ar
cus maioris
ſemiſle qua
diantis, cui
tangenti, &
ſecanti ſi-
mul ſit æ-
qualis. drantis maior ſit, æqualis eſt tangenti & ſecanti ſi-
mul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat.
22Tangens ar
cus maioris
ſemiſle qua
diantis, cui
tangenti, &
ſecanti ſi-
mul ſit æ-
qualis. drantis maior ſit, æqualis eſt tangenti & ſecanti ſi-
mul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat.
IN quadrante ABC, ſit CG, tangens arcus CF, qui ſemiſſe quadrantis
maior ſit, inter ſemidiametrum AC, & ſecantem AG, eiuſdem arcus CF, com
prehenſa. Dico CG, æqualem eſſe tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus
ſit exceſſus, quo arcus CF, ſemiſſem quadrantis
152[Figure 152]
ſuperat.
Sumpto enim arcu FD, ipſi FB, æquali,
ducatur recta AD, extendaturq́; vſque ad E. Et
quoniam anguli BAF, FAE, ob æquales arcus
3327. tertij. BF, DF, æquales ſunt: Et angulo BAF, æqualis
eſt alternus angulus G; erit quoq; idem angulus
4429. primi. G, angulo GAE, æqualis. Quare rectæ EG, EA,
556. primi. æquales ſunt: ac propterea, addita communi CE,
erit CG, tota tangens arcus CF, duabus CE, &
AE, hoc eſt, tangenti, & ſecanti arcus CD, ſimul
æqualis. Dico iam arcum CD, duplum eſſe exceſ-
ſus quo arcus CF, propoſitus ſemiſſem quadrãtis ſuperat. Producto enim ar-
cu quadrantis ad partes B, ſumptoq́; arcu BH, æquali ipſi CD, cum & arcus
FB, arcui FD, ſit æqualis, erit totus arcus FH, toti arcui CF, æqualis, ac pro-
inde arcus CH, duplus erit arcus CF. Quoniam vero arcus CH, quadrantem
CB, ſuperat arcu BH, hoc eſt, arcu CD; ſuperabit CF, ſemiſsis arcus CH, ſe
667. huius. miſsem quadrantis CB, ſemiſse exceſſus CD. Arcus igitur CD, duplus eſt ex-
ceſſus, quo datus arcus CF, ſemiſſem quadrantis ſuperat. Eſt auté oſtenſum,
CG, tangentem arcus CF, æqualem eſſe tangenti CE, & ſecanti AE, ſimul ar-
cus CD. Igitur tangens cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe quadrantis maior ſit, æqua
lis eſt tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat. Quod oſtendendum erat.
maior ſit, inter ſemidiametrum AC, & ſecantem AG, eiuſdem arcus CF, com
prehenſa. Dico CG, æqualem eſſe tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus
ſit exceſſus, quo arcus CF, ſemiſſem quadrantis
ducatur recta AD, extendaturq́; vſque ad E. Et
quoniam anguli BAF, FAE, ob æquales arcus
3327. tertij. BF, DF, æquales ſunt: Et angulo BAF, æqualis
eſt alternus angulus G; erit quoq; idem angulus
4429. primi. G, angulo GAE, æqualis. Quare rectæ EG, EA,
556. primi. æquales ſunt: ac propterea, addita communi CE,
erit CG, tota tangens arcus CF, duabus CE, &
AE, hoc eſt, tangenti, & ſecanti arcus CD, ſimul
æqualis. Dico iam arcum CD, duplum eſſe exceſ-
ſus quo arcus CF, propoſitus ſemiſſem quadrãtis ſuperat. Producto enim ar-
cu quadrantis ad partes B, ſumptoq́; arcu BH, æquali ipſi CD, cum & arcus
FB, arcui FD, ſit æqualis, erit totus arcus FH, toti arcui CF, æqualis, ac pro-
inde arcus CH, duplus erit arcus CF. Quoniam vero arcus CH, quadrantem
CB, ſuperat arcu BH, hoc eſt, arcu CD; ſuperabit CF, ſemiſsis arcus CH, ſe
667. huius. miſsem quadrantis CB, ſemiſse exceſſus CD. Arcus igitur CD, duplus eſt ex-
ceſſus, quo datus arcus CF, ſemiſſem quadrantis ſuperat. Eſt auté oſtenſum,
CG, tangentem arcus CF, æqualem eſſe tangenti CE, & ſecanti AE, ſimul ar-
cus CD. Igitur tangens cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe quadrantis maior ſit, æqua
lis eſt tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat. Quod oſtendendum erat.