209 Probat̄̄ antecedens / qm̄ ille proportiones acqui-
ſite ↄ̨tinuo ſe habent in ꝓportione dupla et prima
illaꝝ eſt dupla: ergo totū eſt vna ꝓportio q̈drupla /
vt ſepius argutū eſt. Q, autē continuo ſe habēt in
ꝓportiõe dupla. Ptꝫ / q2 in prima parte ꝓportiõa-
bili acq̇rit illud corpꝰ ꝓportionē dupla: et in ſcḋa
medietatē duple: qm̄ ſi eque velociter augmētaret̄̄
in ſcḋa ſicut in prima acq̇reret vnã quartã duple:
ſed mõ in duplo velociꝰ auget̄̄ ꝙ̄ tūc: g̊ acq̇rit vnam
medietatē duple: et ſic ꝓbabis / in tertia parte ac
quirit vnã quartã: et ſic ↄ̨ñter: igr̄ ↄ̨tinuo acq̇rit ꝓ-
portiões ſe habētes in ꝓportiõe ſubdupla, et ſub-
dupla / qḋ fuit ꝓbandū. 11Cõfirma
tio .2. ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo / q2 ſi poſi-
tio eſſet uera: ſeq̄ret̄̄ / aliqḋ corpꝰ augmētaret̄̄, et
in nulla ꝓportiõe fierit maiꝰ: ↄ̨ñs eſt falſñ: igr̄ et il-
lud ex quo ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄: et volo / vnū peda-
le in prima parte ꝓportiõali hore ꝓportiõe dupla
diuiſe aliq̈liter augmētet̄̄: et in ſcḋa in ſuꝑbipartiē
te tertias velociꝰ, et in tertia in ſuꝑtripartiēte quī-
tas, et ī quarta in ſupraq̈dripartiēte ſeptīas, ī .5. et
ſupraquītipartiēte vndecimas, et ſic ↄ̨ñter ꝓcedēdo
ꝑ nūeros īpares primos et incõpoſitos. Quo poſi
to ſic argr̄: tale corpꝰ augmētat̄̄ vt notū eſt: et tñ in
nulla ꝓportiõe ſit maiꝰ: igr̄. Probat̄̄ mīor: q2 nec
in multiplici, nec ī ſuꝑparticulari, nec in ſuprapar
tiente, nec in multiplici ſupraparticulari, nec ī mul
tiplici ſuprabprrtiēte, et ſi hoc negas des illã. Itē
poſito / in prima parte ꝓportiõali vnū pedale ac
quirit ꝓportionē ſaꝑbipartientē tertias, et in ſcḋa
acq̇rat ꝓportionē ſuꝑbipartientē quītas, et in ter-
tia ſuꝑbipartientē ſeptīas, et in q̈rta ſuprabipar-
tiēte nonas, et ſic ↄ̨ñter ꝓcedendo ꝑ ſpecies ꝓporti-
onis ſuꝑbipartiētes: tale corpꝰ augmentabit̄̄: et in
nulla uroportione fiet maius quam erat antea igr̄
ſite ↄ̨tinuo ſe habent in ꝓportione dupla et prima
illaꝝ eſt dupla: ergo totū eſt vna ꝓportio q̈drupla /
vt ſepius argutū eſt. Q, autē continuo ſe habēt in
ꝓportiõe dupla. Ptꝫ / q2 in prima parte ꝓportiõa-
bili acq̇rit illud corpꝰ ꝓportionē dupla: et in ſcḋa
medietatē duple: qm̄ ſi eque velociter augmētaret̄̄
in ſcḋa ſicut in prima acq̇reret vnã quartã duple:
ſed mõ in duplo velociꝰ auget̄̄ ꝙ̄ tūc: g̊ acq̇rit vnam
medietatē duple: et ſic ꝓbabis / in tertia parte ac
quirit vnã quartã: et ſic ↄ̨ñter: igr̄ ↄ̨tinuo acq̇rit ꝓ-
portiões ſe habētes in ꝓportiõe ſubdupla, et ſub-
dupla / qḋ fuit ꝓbandū. 11Cõfirma
tio .2. ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo / q2 ſi poſi-
tio eſſet uera: ſeq̄ret̄̄ / aliqḋ corpꝰ augmētaret̄̄, et
in nulla ꝓportiõe fierit maiꝰ: ↄ̨ñs eſt falſñ: igr̄ et il-
lud ex quo ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄: et volo / vnū peda-
le in prima parte ꝓportiõali hore ꝓportiõe dupla
diuiſe aliq̈liter augmētet̄̄: et in ſcḋa in ſuꝑbipartiē
te tertias velociꝰ, et in tertia in ſuꝑtripartiēte quī-
tas, et ī quarta in ſupraq̈dripartiēte ſeptīas, ī .5. et
ſupraquītipartiēte vndecimas, et ſic ↄ̨ñter ꝓcedēdo
ꝑ nūeros īpares primos et incõpoſitos. Quo poſi
to ſic argr̄: tale corpꝰ augmētat̄̄ vt notū eſt: et tñ in
nulla ꝓportiõe ſit maiꝰ: igr̄. Probat̄̄ mīor: q2 nec
in multiplici, nec ī ſuꝑparticulari, nec in ſuprapar
tiente, nec in multiplici ſupraparticulari, nec ī mul
tiplici ſuprabprrtiēte, et ſi hoc negas des illã. Itē
poſito / in prima parte ꝓportiõali vnū pedale ac
quirit ꝓportionē ſaꝑbipartientē tertias, et in ſcḋa
acq̇rat ꝓportionē ſuꝑbipartientē quītas, et in ter-
tia ſuꝑbipartientē ſeptīas, et in q̈rta ſuprabipar-
tiēte nonas, et ſic ↄ̨ñter ꝓcedendo ꝑ ſpecies ꝓporti-
onis ſuꝑbipartiētes: tale corpꝰ augmentabit̄̄: et in
nulla uroportione fiet maius quam erat antea igr̄
Sexto principaliṫ ad idē argr̄ ſic.
Si
illa poſitio eſſet a ſeq̄ret̄̄ / ſi duo corpora equa-
lia augmētarent̄̄ talr̄ / medietas vniꝰ augmētaret̄̄
ad duplū, et quarta alteriꝰ ad quadruplū: illa cor
pora eq̄ velociter augmētarent̄̄: ſed ↄ̨ñs eſt falſum /
igr̄ illud ex quo ſequit̄̄. Seq̄la ptꝫ. qm̄ ſi eq̈lis aug-
mentatio aut acq̇ſitio ꝓportiõis in parte alicuiꝰ to
tius aliq̇d facit ad denoīationē augmētatiõis to-
tius, ſequit̄̄ qḋ dupla ꝓportio acq̇ſita parti in du
plo mīori tm̄ facit ſicut ſubdupla ꝓportio acq̇ſita
parti in duplo maiori: igr̄ in ꝓpoſito illa acq̇ſitio
ꝓportiõis in medietate tm̄ adequate facit ad aug-
mentū totiꝰ ſicut acq̇ſitio ꝓportiõis in duplo maio
ris in vna quarta. Ptꝫ añs a ſimili de denoīatiõe
q̈litatis et denſitatis. Iam ꝓbo falſitatē ↄ̨ñtis qm̄
in tali caſu corpꝰ cuiꝰ vna medietas auget̄̄ ad du-
plum ſui acq̇rit ꝓportionē ſexq̇alterã, et aliud acq̇-
rit ꝓportionē ſuꝑtripartientē quartas q̄ maior eſt /
igr̄ nõ eque velociter augmentat̄̄, et ꝑ ↄ̨ñs illatum
falſū. Probat̄̄ maior / q2 ſi medietas acq̇ſiuit ꝓpor
tionē duplã ſequit̄̄ tale corpꝰ acq̇ſiut tm̄ quantū
eſt medietas eiꝰ, et ꝑ ↄ̨ñs ſexq̇alterã ꝓportionē. Mi
nor ꝓbat̄̄: q2 ſi vna quarta alteriꝰ corporis facta
eſt in q̈druplo maior, ſequit̄̄ qḋ acq̇ſiuit ter tm̄ ſi-
cut ipſa eſt, et ſic acq̇ſiuit tres quartas totiꝰ, et per
ↄ̨ñs in fine illud totū componitur ex ſeptem parti-
bus quaꝝ q̄libet eſt equalis vni quarte totiꝰ corpo
ris in principio augmētatiõis, et ſic illud corpꝰ erit
in ſupratripartiēte quartas maiꝰ quã erat antea /
qḋ fuit ꝓbandū. 22ↄ̨firma°. ¶ Cõfirmat̄̄ / q2 ſi iſta poſitio eſſet
vera, ſeq̄ret̄̄ / uõ eſſet poſſibile aliq̇d īcipere auge-
ri a nõ quanto vniformiṫ, aut īfinite tarde ſed ↄ̨ñs
eſt flm̄: igr̄ illud ex q̊ ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄ / q2 qḋlibet
qḋ a nõ quãto īcipit augeri īfinite velociter incipit
augeri: igr̄ nullū tale / qḋ a nõ quãto incipit augeri
incipit vniformiter aut infinitū tarde augeri. Con
ſequētia ſatis apparet, et añs ꝓbat̄̄ vcꝫ / quodli-
bet tale incipit infinite velociter augeri: qm̄ quod-
libet tale incipit infinitã magnã ꝓportionē acqui-
rere: igr̄. Probat̄̄ tñ falſitas ↄ̨ñtis: q2 aliq̇d incipit
a nõ quanto augeri īfinite tarde: et illud idē incipit
a nõ quãto īfinite velociter augeri, et illud idē etiã
a nõ quanto incipit vniformiter augeri. igr̄ poſſi-
bile eſt aliq̇d incipere a nõ quãto vniformiter, et in-
finitū tarde augeri: et ꝑ ↄ̨ñs illud ↄ̨ñs eſt flm̄. Pro-
bat̄̄ añs, et volo / diuidat̄̄ hora futura in partes
ꝓportionales ꝓportione dupla, et capio tres ordi
nes partiū ꝓportionaliū qui ordines continuo ſe
habēt in ꝓportione octupla puta pro primo ordīe
primã partē et quartã: et ſeptimã et decimã / et ſic cõ-
ſequēter omittendo duas, et ꝓ ſecūdo ordine capio
ſcḋam, et quintã, et octauã, et vndecimã, et ſic ↄ̨ñter:
ſimiliter omittēdo duas. Et ꝓ tertio ordine capio
tertiã, ſextã, nonã, duodecimã, et ſic cõſeqnēter etiã
omittendo duas: et volo / in qualibet parte ꝓpor
tionali primi ordinis vnū pedale perdat ꝓportio-
nē duplã: et in prima parte ſcḋi ordinis perdat etiã
duplã: et in ſcḋa eiuſdē ordinis ꝓportiouē in octu-
plo minorē quã in ſcḋa: et ſic ↄ̨ñter. ita in ſcḋo or
dine in ea ꝓportione qua partes ſunt minores in
ea ↄ̨tinuo ꝓportionē minorē deṗerdat. In prima
vero parte tertii ordinis idē pedale deꝑdat ꝓpor-
tionē duplã, et in ſcḋa eiuſdē tertii ordinis in ſexde
cuplo minorē, et in tertia eiuſdē ordinis in ſexdecu-
plo minorē quã in ſcḋa / et ſic ↄ̨ñter. Quo poſito ma
nifeſtū eſt / hoc corpꝰ diminuet̄̄ ad nõ quantñ vſ
et in īfinitū velociter diminuet̄̄ ad nõ quantū in par
tibꝰ ꝓportionabilibꝰ primi ordinis, et in partibus
ꝓportiõalibꝰ ſcḋi ordīs ↄ̨tinuo vniformiter dimi-
nuet̄̄ / vt ptꝫ ex caſu et in partibꝰ ꝓportiõalibꝰ tertii
ordinis in īfinitū tarde diminuit̄̄ ad nõ quantum.
Uolo igr̄ / cū corpꝰ fuerit ad nõ quantū redactū.
Iteꝝ īcipiat in hora ſeq̄nti augeri a nõ quãto oīno
eodē mõ ſicut diminuebat̄̄. Et argr̄ ſic. illud corpꝰ
īcipit in īfinitū velociter augeri puta in partibꝰ pri
mi ordinis, et incipit etiã vniformiter puta in par-
bꝰ ſcḋi ordīs: et ↄ̨ſimiliter īcipit in īfinitū tarde au-
geri / vt īdicat diminutio fucta in partibꝰ tertii or-
dinis: igr̄ aliq̇d īcipit a nõ quãto in īfinitū tarde, et
īfinitū velociter, et vniformiṫ augeri / qḋ fuit ꝓbãdū
illa poſitio eſſet a ſeq̄ret̄̄ / ſi duo corpora equa-
lia augmētarent̄̄ talr̄ / medietas vniꝰ augmētaret̄̄
ad duplū, et quarta alteriꝰ ad quadruplū: illa cor
pora eq̄ velociter augmētarent̄̄: ſed ↄ̨ñs eſt falſum /
igr̄ illud ex quo ſequit̄̄. Seq̄la ptꝫ. qm̄ ſi eq̈lis aug-
mentatio aut acq̇ſitio ꝓportiõis in parte alicuiꝰ to
tius aliq̇d facit ad denoīationē augmētatiõis to-
tius, ſequit̄̄ qḋ dupla ꝓportio acq̇ſita parti in du
plo mīori tm̄ facit ſicut ſubdupla ꝓportio acq̇ſita
parti in duplo maiori: igr̄ in ꝓpoſito illa acq̇ſitio
ꝓportiõis in medietate tm̄ adequate facit ad aug-
mentū totiꝰ ſicut acq̇ſitio ꝓportiõis in duplo maio
ris in vna quarta. Ptꝫ añs a ſimili de denoīatiõe
q̈litatis et denſitatis. Iam ꝓbo falſitatē ↄ̨ñtis qm̄
in tali caſu corpꝰ cuiꝰ vna medietas auget̄̄ ad du-
plum ſui acq̇rit ꝓportionē ſexq̇alterã, et aliud acq̇-
rit ꝓportionē ſuꝑtripartientē quartas q̄ maior eſt /
igr̄ nõ eque velociter augmentat̄̄, et ꝑ ↄ̨ñs illatum
falſū. Probat̄̄ maior / q2 ſi medietas acq̇ſiuit ꝓpor
tionē duplã ſequit̄̄ tale corpꝰ acq̇ſiut tm̄ quantū
eſt medietas eiꝰ, et ꝑ ↄ̨ñs ſexq̇alterã ꝓportionē. Mi
nor ꝓbat̄̄: q2 ſi vna quarta alteriꝰ corporis facta
eſt in q̈druplo maior, ſequit̄̄ qḋ acq̇ſiuit ter tm̄ ſi-
cut ipſa eſt, et ſic acq̇ſiuit tres quartas totiꝰ, et per
ↄ̨ñs in fine illud totū componitur ex ſeptem parti-
bus quaꝝ q̄libet eſt equalis vni quarte totiꝰ corpo
ris in principio augmētatiõis, et ſic illud corpꝰ erit
in ſupratripartiēte quartas maiꝰ quã erat antea /
qḋ fuit ꝓbandū. 22ↄ̨firma°. ¶ Cõfirmat̄̄ / q2 ſi iſta poſitio eſſet
vera, ſeq̄ret̄̄ / uõ eſſet poſſibile aliq̇d īcipere auge-
ri a nõ quanto vniformiṫ, aut īfinite tarde ſed ↄ̨ñs
eſt flm̄: igr̄ illud ex q̊ ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄ / q2 qḋlibet
qḋ a nõ quãto īcipit augeri īfinite velociter incipit
augeri: igr̄ nullū tale / qḋ a nõ quãto incipit augeri
incipit vniformiter aut infinitū tarde augeri. Con
ſequētia ſatis apparet, et añs ꝓbat̄̄ vcꝫ / quodli-
bet tale incipit infinite velociter augeri: qm̄ quod-
libet tale incipit infinitã magnã ꝓportionē acqui-
rere: igr̄. Probat̄̄ tñ falſitas ↄ̨ñtis: q2 aliq̇d incipit
a nõ quanto augeri īfinite tarde: et illud idē incipit
a nõ quãto īfinite velociter augeri, et illud idē etiã
a nõ quanto incipit vniformiter augeri. igr̄ poſſi-
bile eſt aliq̇d incipere a nõ quãto vniformiter, et in-
finitū tarde augeri: et ꝑ ↄ̨ñs illud ↄ̨ñs eſt flm̄. Pro-
bat̄̄ añs, et volo / diuidat̄̄ hora futura in partes
ꝓportionales ꝓportione dupla, et capio tres ordi
nes partiū ꝓportionaliū qui ordines continuo ſe
habēt in ꝓportione octupla puta pro primo ordīe
primã partē et quartã: et ſeptimã et decimã / et ſic cõ-
ſequēter omittendo duas, et ꝓ ſecūdo ordine capio
ſcḋam, et quintã, et octauã, et vndecimã, et ſic ↄ̨ñter:
ſimiliter omittēdo duas. Et ꝓ tertio ordine capio
tertiã, ſextã, nonã, duodecimã, et ſic cõſeqnēter etiã
omittendo duas: et volo / in qualibet parte ꝓpor
tionali primi ordinis vnū pedale perdat ꝓportio-
nē duplã: et in prima parte ſcḋi ordinis perdat etiã
duplã: et in ſcḋa eiuſdē ordinis ꝓportiouē in octu-
plo minorē quã in ſcḋa: et ſic ↄ̨ñter. ita in ſcḋo or
dine in ea ꝓportione qua partes ſunt minores in
ea ↄ̨tinuo ꝓportionē minorē deṗerdat. In prima
vero parte tertii ordinis idē pedale deꝑdat ꝓpor-
tionē duplã, et in ſcḋa eiuſdē tertii ordinis in ſexde
cuplo minorē, et in tertia eiuſdē ordinis in ſexdecu-
plo minorē quã in ſcḋa / et ſic ↄ̨ñter. Quo poſito ma
nifeſtū eſt / hoc corpꝰ diminuet̄̄ ad nõ quantñ vſ
et in īfinitū velociter diminuet̄̄ ad nõ quantū in par
tibꝰ ꝓportionabilibꝰ primi ordinis, et in partibus
ꝓportiõalibꝰ ſcḋi ordīs ↄ̨tinuo vniformiter dimi-
nuet̄̄ / vt ptꝫ ex caſu et in partibꝰ ꝓportiõalibꝰ tertii
ordinis in īfinitū tarde diminuit̄̄ ad nõ quantum.
Uolo igr̄ / cū corpꝰ fuerit ad nõ quantū redactū.
Iteꝝ īcipiat in hora ſeq̄nti augeri a nõ quãto oīno
eodē mõ ſicut diminuebat̄̄. Et argr̄ ſic. illud corpꝰ
īcipit in īfinitū velociter augeri puta in partibꝰ pri
mi ordinis, et incipit etiã vniformiter puta in par-
bꝰ ſcḋi ordīs: et ↄ̨ſimiliter īcipit in īfinitū tarde au-
geri / vt īdicat diminutio fucta in partibꝰ tertii or-
dinis: igr̄ aliq̇d īcipit a nõ quãto in īfinitū tarde, et
īfinitū velociter, et vniformiṫ augeri / qḋ fuit ꝓbãdū
Septimo prīcipaliṫ ↄ̨̨tra aliã partē
q̄ſtiõis argr̄ ſic. Quia ſi velocitas augmētationis
deberet attēdi penes abſolutã acq̇ſitionē quãtita-
tia ſeq̄ret̄̄ / aliq̇d augmētaret̄̄ / qḋ tñ nõ fierit maiꝰ
ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄:
et capio vnū bipedale, et volo / vna medietas eius
vniformiter acq̇rat vnū ſemipedale, et tm̄ cõtinuo
deꝑdat alia medietas ſicut altera acq̇rit, q̊ poſito
argr̄ ſic. Illud bipedale nõ ſit maiꝰ vt conſtat: et tñ
augmentat̄̄: igr̄ ꝓpoſitū. argr̄ minor. Q2 acq̇rit a-
liquã ̄titatē cū vna medietas eiꝰ acq̇rat ſemipeda
lē quãtitatē: igr̄ augmētat̄̄. Ptꝫ ↄ̨ña ꝑ poſitione q̄
ponit / augmētatio d3 attēdi penes abſolutã acq̇
ſitionē quãtitatis. 33Dictur ¶ Dices et bñ: negãdo ſequelã, et
ad ꝓbationē admiſſo caſu negãdo / illud bipeda
le augeat̄̄, qm̄ ſemꝑ manet pedale: et cū ꝓbat̄̄ / q2 ac
q̇rit aliquã quãtitatē negando illud, ̄uis em̄ vna
medietas eiꝰ acq̇rit quãtitatē totū nõ. Ad hoc em̄
acq̇reret oporteret / vltra illã quã habet. haberet
maiorē, hoc eſt acq̇reret aliquē exceſſum ſuꝑ illã
qḋ nõ ſit in ꝓpoſito: q2 quãtū vna medietas acq̇rit
tm̄ alia deꝑdit. ¶ Sed ↄ̈ / q2 ſi alia medietas nõ di-
minueret̄̄: ſequeret̄̄ / hec medietas que auget̄̄ eque
velociter augeretur cum toto: ſed conſequens eſt
q̄ſtiõis argr̄ ſic. Quia ſi velocitas augmētationis
deberet attēdi penes abſolutã acq̇ſitionē quãtita-
tia ſeq̄ret̄̄ / aliq̇d augmētaret̄̄ / qḋ tñ nõ fierit maiꝰ
ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄:
et capio vnū bipedale, et volo / vna medietas eius
vniformiter acq̇rat vnū ſemipedale, et tm̄ cõtinuo
deꝑdat alia medietas ſicut altera acq̇rit, q̊ poſito
argr̄ ſic. Illud bipedale nõ ſit maiꝰ vt conſtat: et tñ
augmentat̄̄: igr̄ ꝓpoſitū. argr̄ minor. Q2 acq̇rit a-
liquã ̄titatē cū vna medietas eiꝰ acq̇rat ſemipeda
lē quãtitatē: igr̄ augmētat̄̄. Ptꝫ ↄ̨ña ꝑ poſitione q̄
ponit / augmētatio d3 attēdi penes abſolutã acq̇
ſitionē quãtitatis. 33Dictur ¶ Dices et bñ: negãdo ſequelã, et
ad ꝓbationē admiſſo caſu negãdo / illud bipeda
le augeat̄̄, qm̄ ſemꝑ manet pedale: et cū ꝓbat̄̄ / q2 ac
q̇rit aliquã quãtitatē negando illud, ̄uis em̄ vna
medietas eiꝰ acq̇rit quãtitatē totū nõ. Ad hoc em̄
acq̇reret oporteret / vltra illã quã habet. haberet
maiorē, hoc eſt acq̇reret aliquē exceſſum ſuꝑ illã
qḋ nõ ſit in ꝓpoſito: q2 quãtū vna medietas acq̇rit
tm̄ alia deꝑdit. ¶ Sed ↄ̈ / q2 ſi alia medietas nõ di-
minueret̄̄: ſequeret̄̄ / hec medietas que auget̄̄ eque
velociter augeretur cum toto: ſed conſequens eſt
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib