La prima cosa, che occorreva a dimostrare, per servirsene nel progresso
delle altre dimostrazioni, era che i tempi, per due spazi ugualmente diretti,
son proporzionali a uno dei detti spazi e alla media fra ambedue. Ciò po
tevasi immediatamente dedurre dalla legge dei moti accelerati, ma non es
sendo questa ancora a Galileo nota, fu costretto a far del facile corollario
un elaborato teorema, a cui convenne di più chiamare in aiuto un lemma
geometrico, che ritrovasi manoscritto a tergo del folio 172 nel citato codice,
e che corrisponde al primo lemma premesso alla XXXVI proposizione stam
pata (Alb. XIII, 214). Noi potremmo rimandar là i Lettori, se in due parole
359[Figure 359]
delle altre dimostrazioni, era che i tempi, per due spazi ugualmente diretti,
son proporzionali a uno dei detti spazi e alla media fra ambedue. Ciò po
tevasi immediatamente dedurre dalla legge dei moti accelerati, ma non es
sendo questa ancora a Galileo nota, fu costretto a far del facile corollario
un elaborato teorema, a cui convenne di più chiamare in aiuto un lemma
geometrico, che ritrovasi manoscritto a tergo del folio 172 nel citato codice,
e che corrisponde al primo lemma premesso alla XXXVI proposizione stam
pata (Alb. XIII, 214). Noi potremmo rimandar là i Lettori, se in due parole
359[Figure 359]Figura 168.
non si riducesse qui alla loro memoria. Per ritrovare
infatti le relazioni, che passano fra le tre linee AS,
AB, AC nella figura 168, basta congiungere insieme i
due punti B, C, d'onde nascono i due triangoli SBC,
BCA che, riconosciuti simili, danno AB:AC=AC:AS,
in che consiste il Lemma geometrico, che s'invoca per
condur la seguente proposizione.
non si riducesse qui alla loro memoria. Per ritrovare
infatti le relazioni, che passano fra le tre linee AS,
AB, AC nella figura 168, basta congiungere insieme i
due punti B, C, d'onde nascono i due triangoli SBC,
BCA che, riconosciuti simili, danno AB:AC=AC:AS,
in che consiste il Lemma geometrico, che s'invoca per
condur la seguente proposizione.
PROPOSITIO VII. — “ Posteaquam (in antecedenti
propos. V et eius corollario) ostensum fuerit tempora
per AB, AC esse aequalia, demonstrabitur tempus per
AD, ad tempus per AE, esse ut DA ad mediam inter DA, AE. ”
propos. V et eius corollario) ostensum fuerit tempora
per AB, AC esse aequalia, demonstrabitur tempus per
AD, ad tempus per AE, esse ut DA ad mediam inter DA, AE. ”
“ Nam tempus per DA, ad tempus per AC, est ut DA ad AC lineam:
Tempus autem per AC, idest per AB ad tempus AE, est ut lina AB ad AE,
hoc est AS ad AD. Ergo ex aequali, in analogia perturbata, tempus per AD,
ad tempus AE, est ut linea AS ad lineam AC. Cumque AC, ex demonstra
tis, sit media inter SA, AB, et ut SA ad AB, ita DA ad AE; ergo tempus
per AD, ad tempus per AE, est ut DA ad mediam inter DA, AE, quod erat
probandum ” (ibid., fol. 147).
Tempus autem per AC, idest per AB ad tempus AE, est ut lina AB ad AE,
hoc est AS ad AD. Ergo ex aequali, in analogia perturbata, tempus per AD,
ad tempus AE, est ut linea AS ad lineam AC. Cumque AC, ex demonstra
tis, sit media inter SA, AB, et ut SA ad AB, ita DA ad AE; ergo tempus
per AD, ad tempus per AE, est ut DA ad mediam inter DA, AE, quod erat
probandum ” (ibid., fol. 147).
Si sottintende da Galileo, anche dopo questa, un facile corollario, in
cui si dimostra che, non solo nelle direzioni verticali, ma e nelle oblique
corre la medesima proporzione dei tempi. Avendosi infatti le oblique AC, AD
(fig. 169) se AR è media fra AB, AG, condotte dai punti G, R le due oriz
zontali GE, RN, è facile vedere che, in virtù dei triangoli simili, venutisi a
descrivere dalle dette orizzontali parallele, AT e AN son medie proporzio
nali fra AC, AF, e AD, AE. Ed essendo pure, in virtù dei triangoli simili,
360[Figure 360]
cui si dimostra che, non solo nelle direzioni verticali, ma e nelle oblique
corre la medesima proporzione dei tempi. Avendosi infatti le oblique AC, AD
(fig. 169) se AR è media fra AB, AG, condotte dai punti G, R le due oriz
zontali GE, RN, è facile vedere che, in virtù dei triangoli simili, venutisi a
descrivere dalle dette orizzontali parallele, AT e AN son medie proporzio
nali fra AC, AF, e AD, AE. Ed essendo pure, in virtù dei triangoli simili,
360[Figure 360]Figura 169.
fra AR e AG, AB, nella verticale, come fra
AT e AC, AF, nell'obliqua, la medesima pro
porzion degli spazi; è chiaro che la medesima
proporzione si serberà pure dei tempi. In
ogni modo si suppongon da Galileo facil
mente note queste meccaniche proprietà, nella
proposizione, che così passa a dimostrare.
fra AR e AG, AB, nella verticale, come fra
AT e AC, AF, nell'obliqua, la medesima pro
porzion degli spazi; è chiaro che la medesima
proporzione si serberà pure dei tempi. In
ogni modo si suppongon da Galileo facil
mente note queste meccaniche proprietà, nella
proposizione, che così passa a dimostrare.
PROPOSITIO VIII. — “ Sint ad horizon
tem DB (in eadem figura 169) quotcumque
lineae ab eadem altitudine A demissae AB,
tem DB (in eadem figura 169) quotcumque
lineae ab eadem altitudine A demissae AB,