213183LIBER QVARTVS.
Octogoniæqualis, cadet punctumk, citra F, &
i, citra H, quod E T, minor ſit
ſemidiametro circuli, & ambitus Octogoni minor peripheria eiuſdem circuli. I-
gitur ducta recta ki, erit triangulum G k i, minus triangulo F G H, pars toto. Eſt
autem triangulum k Gi, Octogono æquale: quippe cum ex ſcholio propoſ. 41.
lib. 1, Euclid. æquale ſit rectangulo ſub G k, & ſemiſſe ipſius Gi, comprehenſo,
quod per propoſitionem 2. lib. 7. de Iſoperimetris Octogono æquale eſt. O-
ctogonum ergo minus eſt triangulo F G H. Non ergo maius eſt: ac proinde cir-
culus triangulo maius eſſe nequit.
ſemidiametro circuli, & ambitus Octogoni minor peripheria eiuſdem circuli. I-
gitur ducta recta ki, erit triangulum G k i, minus triangulo F G H, pars toto. Eſt
autem triangulum k Gi, Octogono æquale: quippe cum ex ſcholio propoſ. 41.
lib. 1, Euclid. æquale ſit rectangulo ſub G k, & ſemiſſe ipſius Gi, comprehenſo,
quod per propoſitionem 2. lib. 7. de Iſoperimetris Octogono æquale eſt. O-
ctogonum ergo minus eſt triangulo F G H. Non ergo maius eſt: ac proinde cir-
culus triangulo maius eſſe nequit.
Sit deinde, ſi fieri poteſt, circulus ABCD, minor quam triangulum FGH,
magnitudinez. Circumſcribatur circulo quadratum IKL M, cuius latera cir-
culum tangantin punctis A, B, C, D. quod maius erit triangulo FGH. Cum
enim eius ambitus (vt lib. 8. propoſ. 1. probabimus) maior ſit peripheria circuli,
hoc eſt, recta G H, & perpendicularis E A, ipſi F G, æqualis, erit triangulum re-
ctangulum latus vnum habens æqualeipſi F G, & alterum maius latere GH, (æ-
quale nimirum ambitui quadrati I K L M.) maius triangulo FGH. Cum ergo
triangulum illud, per ſcholium propoſ. 45. lib. 1. Euclid. ſit æquale rectangulo
ſub FG, & ſemiſſe ambitus quadrati IKLM, comprehenſo: hoc autem rectan-
gulum per propoſ. 2. lib. 7. de Iſoperimetris, qua drato IKLM, æquale; erit quo-
que quadratum IKLM, maius triangulo F G H. Et quia triangulum F G H, po-
nitur æquale circulo, & magnitudini z. ſimul, ac proinde maius quã z, erit quo-
que quadratum IKLM, (quod maius eſſe oſtendimus triangulo FGH,) maius,
quam z. Siigitur ex quadrato IKLM, auferatur plus, quam dimidium, & à reſi-
dio plus etiam quam dimidium, at queita deinceps, relin quetur tandem 111. decimi. gnitudo minor, quam z.
magnitudinez. Circumſcribatur circulo quadratum IKL M, cuius latera cir-
culum tangantin punctis A, B, C, D. quod maius erit triangulo FGH. Cum
enim eius ambitus (vt lib. 8. propoſ. 1. probabimus) maior ſit peripheria circuli,
hoc eſt, recta G H, & perpendicularis E A, ipſi F G, æqualis, erit triangulum re-
ctangulum latus vnum habens æqualeipſi F G, & alterum maius latere GH, (æ-
quale nimirum ambitui quadrati I K L M.) maius triangulo FGH. Cum ergo
triangulum illud, per ſcholium propoſ. 45. lib. 1. Euclid. ſit æquale rectangulo
ſub FG, & ſemiſſe ambitus quadrati IKLM, comprehenſo: hoc autem rectan-
gulum per propoſ. 2. lib. 7. de Iſoperimetris, qua drato IKLM, æquale; erit quo-
que quadratum IKLM, maius triangulo F G H. Et quia triangulum F G H, po-
nitur æquale circulo, & magnitudini z. ſimul, ac proinde maius quã z, erit quo-
que quadratum IKLM, (quod maius eſſe oſtendimus triangulo FGH,) maius,
quam z. Siigitur ex quadrato IKLM, auferatur plus, quam dimidium, & à reſi-
dio plus etiam quam dimidium, at queita deinceps, relin quetur tandem 111. decimi. gnitudo minor, quam z.
Hæc autem detractio continua fiet, ſi primo loco auferatur circul{us} A B C D:
Hic
135[Figure 135]
enim maior eſt ſemiſſe quadrati I K L M, propterea quod
quadratum inſcriptum (quod min{us} eſt circulo, pars toto)
ſemiſſis eſt quadrati circumſcripti, exſcholio propoſ. 9. lib.
4. Euclid. Quod ſi ducta recta E K, ſecante circulum in
O, ducatur per O, ad E K, perpendicularis V X, quæ 2216. tertij. culum tanget in O: idemque fiat, ductis rectis EL, EM,
EI, & c. deſcriptum erit Octogonum a quilaterum, & æ-
136[Figure 136]
quiangulũ VXY a b c d e V, vt conſtat ex conſtructione, demonſtratione propoſ.
12.
lib.
4. Eucl. quippe cum ad E A, E O, & adreliqu{as} ſemidiametros Octogoni inſcripti ductæ
ſint perpendiculares ve, V X, & c. Quoniã vero v A, v O, per 2. coroll propoſ. 36. lib. 3. Eucl.
æqual{es} ſunt; & eſt K V, maior quam v O: erit quoque K V, maior quam v A, ideoque3319. primi.& triangulum K v O, triangulo v A O, mai{us} erit; cum ſit triangulum ad 441. ſexti. vt baſis ad baſem. Igitur triangulum K V O, mai{us} erit, quam dimidium
quadratum inſcriptum (quod min{us} eſt circulo, pars toto)
ſemiſſis eſt quadrati circumſcripti, exſcholio propoſ. 9. lib.
4. Euclid. Quod ſi ducta recta E K, ſecante circulum in
O, ducatur per O, ad E K, perpendicularis V X, quæ 2216. tertij. culum tanget in O: idemque fiat, ductis rectis EL, EM,
EI, & c. deſcriptum erit Octogonum a quilaterum, & æ-
4. Eucl. quippe cum ad E A, E O, & adreliqu{as} ſemidiametros Octogoni inſcripti ductæ
ſint perpendiculares ve, V X, & c. Quoniã vero v A, v O, per 2. coroll propoſ. 36. lib. 3. Eucl.
æqual{es} ſunt; & eſt K V, maior quam v O: erit quoque K V, maior quam v A, ideoque3319. primi.& triangulum K v O, triangulo v A O, mai{us} erit; cum ſit triangulum ad 441. ſexti. vt baſis ad baſem. Igitur triangulum K V O, mai{us} erit, quam dimidium