213 et tūc manifeſtū eſt / viceſima prima efficitur eq̈-
lis illi viceſime vel maior qm̄ tot proportiones ac-
quiſiuit viceſima prima ſicut viceſima et cū hoc ac-
quiſiuit bis ꝓportionē diuiſionis vel maiorē ea: g̊
effecta eſt maior viceſima parte. et ſic ꝓbabis de vi-
ceſima ſcḋa reſpectu viceſime prime. 11Correĺ. ¶ Ex quo ſe-
quit̄̄ / diuiſo corpore quauis ꝓportiõe volueris
vt ponit̄̄ in caſu ↄ̨cluſiõis nõ eſt poſſibile tale cor-
pꝰ ſucceſſiue ī tali caſu augmentari. Ptꝫ ex ↄ̨cĺone
lis illi viceſime vel maior qm̄ tot proportiones ac-
quiſiuit viceſima prima ſicut viceſima et cū hoc ac-
quiſiuit bis ꝓportionē diuiſionis vel maiorē ea: g̊
effecta eſt maior viceſima parte. et ſic ꝓbabis de vi-
ceſima ſcḋa reſpectu viceſime prime. 11Correĺ. ¶ Ex quo ſe-
quit̄̄ / diuiſo corpore quauis ꝓportiõe volueris
vt ponit̄̄ in caſu ↄ̨cluſiõis nõ eſt poſſibile tale cor-
pꝰ ſucceſſiue ī tali caſu augmentari. Ptꝫ ex ↄ̨cĺone
Quarta ↄ̨̨cluſio.
Diuiſo corpore qua-
uis optata ꝓportione, et prima pars ꝓportiõalis
talis corporis in hora aliqualiter augeat̄̄: et ſcḋa
velociꝰ prima in ꝓportione in qua eſt minor ea vel
maiori: et tertia etiã velociꝰ prima in qua eſt minor
ea vel maiori, et ſic ↄ̨ñter ↄ̨tinuo totū illud corpus
infinite velociter auget̄̄ in illa hora et ſubito efficit̄̄
infinite magnū. Probat̄̄ hec ↄ̨cluſio et volo / di-
uidat̄̄ aliqḋ corpꝰ ꝓportione a. et incipiant partes
augmentari: vt ponit̄̄ in ↄ̨cluſione. Tunc argr̄ ſic.
Quocun inſtanti dato poſt hoc dabit̄̄ vna pars
ꝓportionalis equalis īmediate p̄cedenti vĺ maior
et q̄libet ſequēs equalis illi vĺ maior: ergo quocū
inſtanti dato poſt hoc illud corpꝰ erit infinite ma-
gnū. Cõſequētia ptꝫ et argr̄ añs. Qm̄ ſignato aliq̊
inſtanti poſt hoc aliqua eſt ꝓportio acq̇ſita prime
parte ꝓportionali q̄ ſit h. et in īfinitū maior acq̇ſi-
ta eſt alicui parti / vt ptꝫ ex caſu: qm̄ in īfinitū mīor
prima eſt aliqua pars, capio igr̄ vnã / que acq̇ſiuit
vnã ꝓportionē a. vel maiorē vltra ꝓportionē acq̇-
ſitã parti īmediate p̄cedenti: et ſequit̄̄ / illa eſt eq̈-
lis vel maior īmediate p̄cedenti: qm̄ acq̇ſiuit tantã
ꝓportionē ſicut īmediate p̄cedens: et inſuꝑ illã per
quã excedebat̄̄ ab īmediate p̄cedenti vel maiorē: et
ꝑ ↄ̨ñs eſt equalis vel maior / vt ptꝫ ex maxīa ſcḋe cõ-
cluſionis. et ſiĺr pars ſequēs illã eſt eq̈lis īmediate
p̄cedēti vel maior: qm̄ acquiſiuit tantã ꝓportionē
quantã īmediate p̄cedens et cū hoc vnã ꝓportionē
maiorē ꝙ̄ ſic proportio a. per quã excedebatur ab
īmediate p̄cedēti: et ſic ↄ̨ñter ꝓbabis de q̈libet alia
uis optata ꝓportione, et prima pars ꝓportiõalis
talis corporis in hora aliqualiter augeat̄̄: et ſcḋa
velociꝰ prima in ꝓportione in qua eſt minor ea vel
maiori: et tertia etiã velociꝰ prima in qua eſt minor
ea vel maiori, et ſic ↄ̨ñter ↄ̨tinuo totū illud corpus
infinite velociter auget̄̄ in illa hora et ſubito efficit̄̄
infinite magnū. Probat̄̄ hec ↄ̨cluſio et volo / di-
uidat̄̄ aliqḋ corpꝰ ꝓportione a. et incipiant partes
augmentari: vt ponit̄̄ in ↄ̨cluſione. Tunc argr̄ ſic.
Quocun inſtanti dato poſt hoc dabit̄̄ vna pars
ꝓportionalis equalis īmediate p̄cedenti vĺ maior
et q̄libet ſequēs equalis illi vĺ maior: ergo quocū
inſtanti dato poſt hoc illud corpꝰ erit infinite ma-
gnū. Cõſequētia ptꝫ et argr̄ añs. Qm̄ ſignato aliq̊
inſtanti poſt hoc aliqua eſt ꝓportio acq̇ſita prime
parte ꝓportionali q̄ ſit h. et in īfinitū maior acq̇ſi-
ta eſt alicui parti / vt ptꝫ ex caſu: qm̄ in īfinitū mīor
prima eſt aliqua pars, capio igr̄ vnã / que acq̇ſiuit
vnã ꝓportionē a. vel maiorē vltra ꝓportionē acq̇-
ſitã parti īmediate p̄cedenti: et ſequit̄̄ / illa eſt eq̈-
lis vel maior īmediate p̄cedenti: qm̄ acq̇ſiuit tantã
ꝓportionē ſicut īmediate p̄cedens: et inſuꝑ illã per
quã excedebat̄̄ ab īmediate p̄cedenti vel maiorē: et
ꝑ ↄ̨ñs eſt equalis vel maior / vt ptꝫ ex maxīa ſcḋe cõ-
cluſionis. et ſiĺr pars ſequēs illã eſt eq̈lis īmediate
p̄cedēti vel maior: qm̄ acquiſiuit tantã ꝓportionē
quantã īmediate p̄cedens et cū hoc vnã ꝓportionē
maiorē ꝙ̄ ſic proportio a. per quã excedebatur ab
īmediate p̄cedēti: et ſic ↄ̨ñter ꝓbabis de q̈libet alia
Quīta ↄ̨̨cluſio.
Diuiſo corꝑe quacū-
proportione volueris: et tn aliquo tꝑe prima pars
ꝓportionalis acquirat aliquã ꝓportionē: et q̄libet
ſequēs tantã in eodē tꝑe: tūc oēs ille partes manēt
in eadē ꝓportione in qua antea ſe habebãt: et totū
acquirit illã ꝓportionē quã acquirit prima eiꝰ ꝑs
Probat̄̄ prima pars ↄ̨cluſiõis: qm̄ q̄libet due par
tes īmediate ita ſe hñt quanttã ꝓportionē acq̇ſi-
uit maior tantã acq̇ſiuit mīor: et ſic manent in eadē
ꝓportiõe in qua ſe habebãt ãtea. Ptꝫ ↄ̨ña ex ſcḋa
parte: et ꝑ ↄ̨ñs oēs ille partes ꝓportiõales ſe hñt in
ea ꝓportiõe in qua ſe habebant antea. Scḋa pars
ꝓbat̄̄ / et ſit h. ꝓportio acq̇ſita primi parti ꝓportio
nali. et argr̄ ſic. Quelꝫ ꝑs ꝓportionalis iſtiꝰ corꝑis
demõſtrato corꝑe ſic diuiſo et augmētato eſt in h.
ꝓportiõe maior ꝙ̄ ãtea: g̊ totū corpꝰ eſt in h. ꝓpor-
tiõe maiꝰ: et illa eſt ꝓportio quã acq̇ſiuit ṗma ꝑs ꝓ-
portiõalis: igr̄ in caſu ↄ̨cluſiõis totū corpꝰ effectuꝫ
ē maiꝰ in ꝓportiõe quã acq̇ſiuit ṗma ꝑs ꝓportiõa-
lis. Probat̄̄ ↄ̨ña: et ſit illud corpꝰ a. in fine augmē-
tatiõis: et b. in prīcipio. Et argr̄ ſic / ṗme ꝑtꝪ ꝓpor-
tiõalis ipſiꝰ a .h. ꝓportiõe ad primã ipſiꝰ b. eſt ꝓpor
tio h. Et ſcḋe ipſiꝰ a. ad ſcḋaꝫ ipſiꝰ b. eſt etiã ꝓportio
h. / Et ṫtie ipſiꝰ a. ad ṫtiã ipſiꝰ b. eſt ꝓportio h. / et ſic
ↄ̨ñter: igr̄ oīm partiū ꝓportionaliū ipſiꝰ a. ad oēs
ꝑtes ꝓportiõales ipſiꝰ b. eſt ꝓportio h. / ptꝫ hec ↄ̨ña
qm̄ eadē eſt ꝓpor° ↄ̨iūtoꝝ et diuiſorū / vt ptꝫ ex ſcḋo
capite ſecunde partis. Et ex conſequenti totum a.
eſt in h. proportione maius ipſo b.
proportione volueris: et tn aliquo tꝑe prima pars
ꝓportionalis acquirat aliquã ꝓportionē: et q̄libet
ſequēs tantã in eodē tꝑe: tūc oēs ille partes manēt
in eadē ꝓportione in qua antea ſe habebãt: et totū
acquirit illã ꝓportionē quã acquirit prima eiꝰ ꝑs
Probat̄̄ prima pars ↄ̨cluſiõis: qm̄ q̄libet due par
tes īmediate ita ſe hñt quanttã ꝓportionē acq̇ſi-
uit maior tantã acq̇ſiuit mīor: et ſic manent in eadē
ꝓportiõe in qua ſe habebãt ãtea. Ptꝫ ↄ̨ña ex ſcḋa
parte: et ꝑ ↄ̨ñs oēs ille partes ꝓportiõales ſe hñt in
ea ꝓportiõe in qua ſe habebant antea. Scḋa pars
ꝓbat̄̄ / et ſit h. ꝓportio acq̇ſita primi parti ꝓportio
nali. et argr̄ ſic. Quelꝫ ꝑs ꝓportionalis iſtiꝰ corꝑis
demõſtrato corꝑe ſic diuiſo et augmētato eſt in h.
ꝓportiõe maior ꝙ̄ ãtea: g̊ totū corpꝰ eſt in h. ꝓpor-
tiõe maiꝰ: et illa eſt ꝓportio quã acq̇ſiuit ṗma ꝑs ꝓ-
portiõalis: igr̄ in caſu ↄ̨cluſiõis totū corpꝰ effectuꝫ
ē maiꝰ in ꝓportiõe quã acq̇ſiuit ṗma ꝑs ꝓportiõa-
lis. Probat̄̄ ↄ̨ña: et ſit illud corpꝰ a. in fine augmē-
tatiõis: et b. in prīcipio. Et argr̄ ſic / ṗme ꝑtꝪ ꝓpor-
tiõalis ipſiꝰ a .h. ꝓportiõe ad primã ipſiꝰ b. eſt ꝓpor
tio h. Et ſcḋe ipſiꝰ a. ad ſcḋaꝫ ipſiꝰ b. eſt etiã ꝓportio
h. / Et ṫtie ipſiꝰ a. ad ṫtiã ipſiꝰ b. eſt ꝓportio h. / et ſic
ↄ̨ñter: igr̄ oīm partiū ꝓportionaliū ipſiꝰ a. ad oēs
ꝑtes ꝓportiõales ipſiꝰ b. eſt ꝓportio h. / ptꝫ hec ↄ̨ña
qm̄ eadē eſt ꝓpor° ↄ̨iūtoꝝ et diuiſorū / vt ptꝫ ex ſcḋo
capite ſecunde partis. Et ex conſequenti totum a.
eſt in h. proportione maius ipſo b.
Sexta cõcluſio.
Partito corpore per
partes ꝓportionales quacun ꝓportione volue-
ris et in aliquo tēpore prima pars proportionalis
acquirat aliquã ꝓportionē et ſecunda acquirat in
aliqua certa ꝓportione in eodē tēpore ꝓportioneꝫ
minorē: et tertia in eadē ꝓportione minorē ſecūda:
et quarta in eadem ꝓportione minorē tertia: et ſic
ↄ̨ñter. tūc ꝓportio inter primã partē et ſcḋam effi-
citur maior ꝑ primã partē ꝓportionalē ꝓportiõis
acquiſite prime diuiſe in ea ꝓportione qua ſecūda
tardius augmētaã prima: et tertia ꝙ̄ ſcḋa: et ſic cõ-
ſequēter: et ꝓportio īter ſcḋaꝫ et tertiã efficit̄̄ maior
ꝑ ſcḋam partē ꝓportionalē ꝓportiõis acq̇ſite ṗme
et ꝓportio īter tertiã et quartã efficit̄̄ maior ꝑ tertiã
partē ꝓportionalē ꝓportionis acq̇ſite prime: r ſic
ↄ̨ñter: et (vt opinor) nõ valet finita intellectꝰ capaci
tas cõmenſurare ꝓportionē toti corpori acquiſitã
Exemplū / vt ſi aliqḋ corpꝰ diuidat̄̄ ꝑ partes ꝓpor-
tionales ꝓportiõe dupla: et prima pars ꝓportiõa
lis acq̇rat ꝓportionē ſexquialterã: et ſcḋa ſubqua-
druplã: et tertia ſubquadruplã ad acquiſitã ſecūde
et quarta ſubquadruplã ad acquiſitã tertie: et ſic cõ
ſequenter: tūc dico / ꝓportio inter primã partem
ꝓportionalē et ſcḋam acquiſiuit primã partē ꝓpor
tionis ſexq̇altere diuiſe ꝑ partes ꝓportiõales pro
portione quadrupla. Et ꝓportio inter ſcḋaꝫ et ter-
tiã acq̇ſiuit ſcḋam partē ꝓportionalē ꝓportionis
ſexq̇altere. Et ꝓportio inter tertiã et quartã tertiã
partē ꝓportionalē ꝓportionis ſexq̇altere. Et ſi cõ
ſequēter. Probat̄̄ / ſit a. proportio acq̇ſita prime
parti ꝓportionali: et ſit f. ꝓportio in qua velocius
auget̄̄ prima ꝙ̄ ſcḋa. Et argr̄ ſic. Proportiões ac-
quiſite partibꝰ huiꝰ corporis cõtinuo ſe habent in
ꝓportione f. / vt ptꝫ ex caſu: ergo exceſſus quibꝰ cõti
nuo ſe excedūt etiã ſe hñt ↄ̨tinuo in ꝓportione f. et
ꝑ primū illoꝝ exceſſuū ꝓportio inter primã et ſcḋaꝫ
partē efficit̄̄ maior: et ꝑ ſcḋm ꝓportio inter ſcḋaꝫ et
tertiaꝫ efficit̄̄ maior: et ꝑ tertiū ꝓportio inter tertiã
et quartã efficit̄̄ maior: et ſic ↄ̨ñter: et primꝰ illoꝝ ex-
ceſſuū eſt prima pars ꝓportionalis ipſiꝰ a. ꝓpor-
tionis diuiſe ꝓportiõe f. et ſcḋus ſcḋa: et tertiꝰ tertia /
et ſic ↄ̨ñter: igr̄ ꝓportio inter primã et ſcḋam partē
efficit̄̄ maior ꝑ primã partē ꝓportionalē ipſius a.
ꝓportione f. et ſcḋa ꝑ ſcḋaꝫ: et tertia per tertiã: et ſic
ↄ̨ñter / qḋ fuit ꝓbandū. Ptꝫ tamē prima ↄ̨ña ꝑ hãc
regulã q̄ ſuperiꝰ demõſtrata eſt in quacun ꝓpor-
tione ſe hñt aliqua ↄ̨tinuo in eadē ↄ̨tinuo ſe habēt
exceſſus eoꝝ. Sed iã ꝓbo / ꝑ primū illorū exceſſuū
ꝓportio inter primã et ſcḋam efficitur maior: et per
ſcḋm proportio inter ſcḋam et tertiã etc̈. / et hoc ꝑ hãc
maximã. Quãdocū due quãtitates inequales ac
quirūt aliquas ꝓportiones: et maior illaꝝ acqui-
rit maiorē ꝓportionē ꝙ̄ minor: tunc ꝓportio inter
illas quantitates efficitur maior per exceſſum quo
ꝓportio acquiſita maiori excedit ꝓportionē acqui
ſitam mīori vt in capĺo .8. ſcḋe partis oſtēſum eſt
ſed ſic eſt in ꝓpoſito: igr̄. Sed iam ꝓbat̄̄ / primꝰ
illoꝝ exceſſuū eſt prima pars ꝓportionalis ipſius
a. ꝓportione f. q2 a. ſe habet ad ꝓportionē acquiſi
tam prime partiū ꝓportionali in ꝓportione f. / ergo
exceſſus quo a. excedit ꝓportionē acquiſitã ſecunde
parti ꝓportionali eſt prima pars proportionalis
ipſius a. ꝓportione f. Ptꝫ ↄ̨ña per hanc regulam.
Quandocū aliquod totū excedit aliquid in cer-
ta ꝓportione tūc excedit illud per primã ſui partē
ꝓportionalē tali ꝓportione: vt ſi vnū pedale exce-
dat aliam quantitatē in proportione ſexquialtera
illud pedale excedit aliud per primã ſui partē pro-
portionalē ꝓportione ſexquialtera quia per vnaꝫ
partes ꝓportionales quacun ꝓportione volue-
ris et in aliquo tēpore prima pars proportionalis
acquirat aliquã ꝓportionē et ſecunda acquirat in
aliqua certa ꝓportione in eodē tēpore ꝓportioneꝫ
minorē: et tertia in eadē ꝓportione minorē ſecūda:
et quarta in eadem ꝓportione minorē tertia: et ſic
ↄ̨ñter. tūc ꝓportio inter primã partē et ſcḋam effi-
citur maior ꝑ primã partē ꝓportionalē ꝓportiõis
acquiſite prime diuiſe in ea ꝓportione qua ſecūda
tardius augmētaã prima: et tertia ꝙ̄ ſcḋa: et ſic cõ-
ſequēter: et ꝓportio īter ſcḋaꝫ et tertiã efficit̄̄ maior
ꝑ ſcḋam partē ꝓportionalē ꝓportiõis acq̇ſite ṗme
et ꝓportio īter tertiã et quartã efficit̄̄ maior ꝑ tertiã
partē ꝓportionalē ꝓportionis acq̇ſite prime: r ſic
ↄ̨ñter: et (vt opinor) nõ valet finita intellectꝰ capaci
tas cõmenſurare ꝓportionē toti corpori acquiſitã
Exemplū / vt ſi aliqḋ corpꝰ diuidat̄̄ ꝑ partes ꝓpor-
tionales ꝓportiõe dupla: et prima pars ꝓportiõa
lis acq̇rat ꝓportionē ſexquialterã: et ſcḋa ſubqua-
druplã: et tertia ſubquadruplã ad acquiſitã ſecūde
et quarta ſubquadruplã ad acquiſitã tertie: et ſic cõ
ſequenter: tūc dico / ꝓportio inter primã partem
ꝓportionalē et ſcḋam acquiſiuit primã partē ꝓpor
tionis ſexq̇altere diuiſe ꝑ partes ꝓportiõales pro
portione quadrupla. Et ꝓportio inter ſcḋaꝫ et ter-
tiã acq̇ſiuit ſcḋam partē ꝓportionalē ꝓportionis
ſexq̇altere. Et ꝓportio inter tertiã et quartã tertiã
partē ꝓportionalē ꝓportionis ſexq̇altere. Et ſi cõ
ſequēter. Probat̄̄ / ſit a. proportio acq̇ſita prime
parti ꝓportionali: et ſit f. ꝓportio in qua velocius
auget̄̄ prima ꝙ̄ ſcḋa. Et argr̄ ſic. Proportiões ac-
quiſite partibꝰ huiꝰ corporis cõtinuo ſe habent in
ꝓportione f. / vt ptꝫ ex caſu: ergo exceſſus quibꝰ cõti
nuo ſe excedūt etiã ſe hñt ↄ̨tinuo in ꝓportione f. et
ꝑ primū illoꝝ exceſſuū ꝓportio inter primã et ſcḋaꝫ
partē efficit̄̄ maior: et ꝑ ſcḋm ꝓportio inter ſcḋaꝫ et
tertiaꝫ efficit̄̄ maior: et ꝑ tertiū ꝓportio inter tertiã
et quartã efficit̄̄ maior: et ſic ↄ̨ñter: et primꝰ illoꝝ ex-
ceſſuū eſt prima pars ꝓportionalis ipſiꝰ a. ꝓpor-
tionis diuiſe ꝓportiõe f. et ſcḋus ſcḋa: et tertiꝰ tertia /
et ſic ↄ̨ñter: igr̄ ꝓportio inter primã et ſcḋam partē
efficit̄̄ maior ꝑ primã partē ꝓportionalē ipſius a.
ꝓportione f. et ſcḋa ꝑ ſcḋaꝫ: et tertia per tertiã: et ſic
ↄ̨ñter / qḋ fuit ꝓbandū. Ptꝫ tamē prima ↄ̨ña ꝑ hãc
regulã q̄ ſuperiꝰ demõſtrata eſt in quacun ꝓpor-
tione ſe hñt aliqua ↄ̨tinuo in eadē ↄ̨tinuo ſe habēt
exceſſus eoꝝ. Sed iã ꝓbo / ꝑ primū illorū exceſſuū
ꝓportio inter primã et ſcḋam efficitur maior: et per
ſcḋm proportio inter ſcḋam et tertiã etc̈. / et hoc ꝑ hãc
maximã. Quãdocū due quãtitates inequales ac
quirūt aliquas ꝓportiones: et maior illaꝝ acqui-
rit maiorē ꝓportionē ꝙ̄ minor: tunc ꝓportio inter
illas quantitates efficitur maior per exceſſum quo
ꝓportio acquiſita maiori excedit ꝓportionē acqui
ſitam mīori vt in capĺo .8. ſcḋe partis oſtēſum eſt
ſed ſic eſt in ꝓpoſito: igr̄. Sed iam ꝓbat̄̄ / primꝰ
illoꝝ exceſſuū eſt prima pars ꝓportionalis ipſius
a. ꝓportione f. q2 a. ſe habet ad ꝓportionē acquiſi
tam prime partiū ꝓportionali in ꝓportione f. / ergo
exceſſus quo a. excedit ꝓportionē acquiſitã ſecunde
parti ꝓportionali eſt prima pars proportionalis
ipſius a. ꝓportione f. Ptꝫ ↄ̨ña per hanc regulam.
Quandocū aliquod totū excedit aliquid in cer-
ta ꝓportione tūc excedit illud per primã ſui partē
ꝓportionalē tali ꝓportione: vt ſi vnū pedale exce-
dat aliam quantitatē in proportione ſexquialtera
illud pedale excedit aliud per primã ſui partē pro-
portionalē ꝓportione ſexquialtera quia per vnaꝫ