214184GEOMETR. PRACT.
KAO;
ac proinde multo mai{us}, quam dimidium trianguli mixti KAO, cui{us} vnum la-
t{us} eſt arc{us} A O. Eadem ratione erit K O X, mai{us}, quam dimidium trianguli mixti
KOB, cui{us} vnum lat{us} eſt arc{us} O B. Auferendo ergo triangulum KVX, ex figura mi-
ſtilinea K A B, in qua vnum lat{us} eſt arc{us} A O B, ablatum erit pl{us} quam dimidium.
Subtractis igitur quatuor eiuſmodi triangulis K V X, L Y a, M b c, I d e, ablatum erit
plus, quam dimidium ex quatuor reſiduis extra circulum, & ſic deinceps. Ponantur
igituriam octo triãgula mixta reſidua, quorũ baſes ſunt arcus AO, OB, BP, & c.
minora magnitudine z. Cum ergo circulus cum z, æqualis poſitus ſit triangulo
F G H, erit circulus cum illis octo reſiduis, hoc eſt, figura Octogona V X Y,
a b c d e V, minor eodem triangulo F G H. quod eſt ab ſurdum, cum maius fit:
quippe cum perpẽdicularis EO, æqualis ſit lateri F G, & ambitus Octogini ma-
ior circumferentia circuli, hoc eſt, recta GH. Hinc enim fit, triangulum rectan-
gulum, cuius latus F G, æquale perpendiculari EO, & alterum latus æquale am-
bitui Octogoni, maius videlicet, quam GH, maius eſſe triangulo FGH. Cum er-
go illud triangulum ſit, ex ſcholio propoſ. 41. lib. 1. Eucl. æquale rectangulo ſub
FG, & ſemiſſe ambitus Octogoni comprehenſo; hoc autem rectangulum O-
ctogono æquale, ex propoſ. 2. lib. 7. de Iſoperimetris: erit quoq; Octogonum
maius triangulo FGH. Nõ ergo minus eſſe poteſt, ac proinde circulus ABCD,
minor non eſt triangulo FGH: Sed neque maior eſt, vt demonſtrauimus. Igi-
tur æqualis eſt, quod erat demonſtrandum.
t{us} eſt arc{us} A O. Eadem ratione erit K O X, mai{us}, quam dimidium trianguli mixti
KOB, cui{us} vnum lat{us} eſt arc{us} O B. Auferendo ergo triangulum KVX, ex figura mi-
ſtilinea K A B, in qua vnum lat{us} eſt arc{us} A O B, ablatum erit pl{us} quam dimidium.
Subtractis igitur quatuor eiuſmodi triangulis K V X, L Y a, M b c, I d e, ablatum erit
plus, quam dimidium ex quatuor reſiduis extra circulum, & ſic deinceps. Ponantur
igituriam octo triãgula mixta reſidua, quorũ baſes ſunt arcus AO, OB, BP, & c.
minora magnitudine z. Cum ergo circulus cum z, æqualis poſitus ſit triangulo
F G H, erit circulus cum illis octo reſiduis, hoc eſt, figura Octogona V X Y,
a b c d e V, minor eodem triangulo F G H. quod eſt ab ſurdum, cum maius fit:
quippe cum perpẽdicularis EO, æqualis ſit lateri F G, & ambitus Octogini ma-
ior circumferentia circuli, hoc eſt, recta GH. Hinc enim fit, triangulum rectan-
gulum, cuius latus F G, æquale perpendiculari EO, & alterum latus æquale am-
bitui Octogoni, maius videlicet, quam GH, maius eſſe triangulo FGH. Cum er-
go illud triangulum ſit, ex ſcholio propoſ. 41. lib. 1. Eucl. æquale rectangulo ſub
FG, & ſemiſſe ambitus Octogoni comprehenſo; hoc autem rectangulum O-
ctogono æquale, ex propoſ. 2. lib. 7. de Iſoperimetris: erit quoq; Octogonum
maius triangulo FGH. Nõ ergo minus eſſe poteſt, ac proinde circulus ABCD,
minor non eſt triangulo FGH: Sed neque maior eſt, vt demonſtrauimus. Igi-
tur æqualis eſt, quod erat demonſtrandum.
SCHOLIVM.
Iosephvs Scaliger, vel quia vim huius demonſtrationis non perpendit,
vel quia ſuæ circuli quadrandi rationi vidit eſſe contrariam, non eſt veritus Ar-
chimedem hoc loco falſitatis arguere: conaturque oſtendere, non rectè ab eo
demonſtratum, circulum æqualem eſſe triangulo rectangulo, cuius vnum latus
ſemidiametro, & alterum circumferentiæ circuli eſt æquale. Nam, ait, ſi de-
monſtratio Archimedis bona eſt, demonſtrabitur eodem modo, circulũ æqua-
lem eſſe triangulo rectangulo, cuius vnum latus circa angulum rectum ſemidi-
ametro æquale eſt, & alterum peripheria circuli maius. Sit enim in triangulo
lmn, latus quidem lm, trianguli ſemidiametro circuli E A, æquale, at mn, peri-
pheria maius. Concedit ergo Scaliger, circulum non eſſe maiorem triangulo
FGH, rectè eſſe ab Archimede demonſtratum, hoc eſt, triangulum F G H, cuius
latus GH, peripheriæ eſt æquale, non eſſe minus circulo, ac proinde neque tri-
angulum lmn, cuius latus m n, maius eſt peripheria, circulo minus eſſe. Con-
cedititem, rectè probatum eſſe, circulũ non eſſe minorem triangulo FGH, ſi la-
tus GH, peripheriæ ſit ęquale, hoc eſt, triangulum FGH, non eſſe maius circu-
lo. Sed negat, ex hoc ſequi, triangulum FGH, eſſe æquale circulo. Cur? quia,
inquit, eodem modo, ſi baſis m n, maior eſt peripheria, ſed minor circumſcripti
polygoni ambitu, (hoc enim contingere, ait, nihil prohibet) polygonum erit
quidem maius triangulo l m n, quod ambitus polygoni maior ſit recta m n, &
ſemidiameter EA, rectæ l m, æqualis. Sed reſectis portionibus, ſequeretur, idẽ
polygonum eſſe triangulo l m n, minus, quod eſt ineptum. Ita ne verò mi Sca-
liger? Non aduertis, te cum hypotheſi pugnare? Nam poſito latere m n, ma-
iore, quam peripheria; quando eo peruentum erit, polygonum eſſe minus tri-
angulo l m n, (ſi nimirumrelictæ portiones minores fuerint magnitudine z,)
vel quia ſuæ circuli quadrandi rationi vidit eſſe contrariam, non eſt veritus Ar-
chimedem hoc loco falſitatis arguere: conaturque oſtendere, non rectè ab eo
demonſtratum, circulum æqualem eſſe triangulo rectangulo, cuius vnum latus
ſemidiametro, & alterum circumferentiæ circuli eſt æquale. Nam, ait, ſi de-
monſtratio Archimedis bona eſt, demonſtrabitur eodem modo, circulũ æqua-
lem eſſe triangulo rectangulo, cuius vnum latus circa angulum rectum ſemidi-
ametro æquale eſt, & alterum peripheria circuli maius. Sit enim in triangulo
lmn, latus quidem lm, trianguli ſemidiametro circuli E A, æquale, at mn, peri-
pheria maius. Concedit ergo Scaliger, circulum non eſſe maiorem triangulo
FGH, rectè eſſe ab Archimede demonſtratum, hoc eſt, triangulum F G H, cuius
latus GH, peripheriæ eſt æquale, non eſſe minus circulo, ac proinde neque tri-
angulum lmn, cuius latus m n, maius eſt peripheria, circulo minus eſſe. Con-
cedititem, rectè probatum eſſe, circulũ non eſſe minorem triangulo FGH, ſi la-
tus GH, peripheriæ ſit ęquale, hoc eſt, triangulum FGH, non eſſe maius circu-
lo. Sed negat, ex hoc ſequi, triangulum FGH, eſſe æquale circulo. Cur? quia,
inquit, eodem modo, ſi baſis m n, maior eſt peripheria, ſed minor circumſcripti
polygoni ambitu, (hoc enim contingere, ait, nihil prohibet) polygonum erit
quidem maius triangulo l m n, quod ambitus polygoni maior ſit recta m n, &
ſemidiameter EA, rectæ l m, æqualis. Sed reſectis portionibus, ſequeretur, idẽ
polygonum eſſe triangulo l m n, minus, quod eſt ineptum. Ita ne verò mi Sca-
liger? Non aduertis, te cum hypotheſi pugnare? Nam poſito latere m n, ma-
iore, quam peripheria; quando eo peruentum erit, polygonum eſſe minus tri-
angulo l m n, (ſi nimirumrelictæ portiones minores fuerint magnitudine z,)