214208ALHAZEN
neæ t i, h s cõcurrent ſuper idem punctũ lineæ e o.
Concurrant in puncto u.
Erit ergo t u h triangu-
lum, & in ſuperficie huius trianguli erit linea i s. Axis autem non eſt in eadem ſuperficie: uerùm t h
eſt in eadem ſuperficie cum axe. [ex theſi. ] Igitur ſuperficies illa ſecat ſuperficiem trianguli, ſuper
lineam communem: quæ eſt t h, non ſuper aliam. Cum ergo punctum c ſit in ſuperficie lineæ t h &
axis, & non ſit in linea t h: non eſt in ſuperficie trianguli t u h: & duo puncta i, s ſunt in ſuperficie il-
lius trianguli. Quare linea i c s eſt linea curua: & imago lineæ t h erit curua. Quod eſt propoſitum.
Sed eius curuitas eſt modica: quia perpendicularis ducta à puncto c ad punctum ſectionis lineæ i s
& ſuperficiei circuli, eſt ualde parua. Et quantò maior fuerit linea uiſa, æquidiſtans lineæ longitudi
nis ſpeculi: tantò imago eius erit minus curua: & quantò minor, tantò magis.
lum, & in ſuperficie huius trianguli erit linea i s. Axis autem non eſt in eadem ſuperficie: uerùm t h
eſt in eadem ſuperficie cum axe. [ex theſi. ] Igitur ſuperficies illa ſecat ſuperficiem trianguli, ſuper
lineam communem: quæ eſt t h, non ſuper aliam. Cum ergo punctum c ſit in ſuperficie lineæ t h &
axis, & non ſit in linea t h: non eſt in ſuperficie trianguli t u h: & duo puncta i, s ſunt in ſuperficie il-
lius trianguli. Quare linea i c s eſt linea curua: & imago lineæ t h erit curua. Quod eſt propoſitum.
Sed eius curuitas eſt modica: quia perpendicularis ducta à puncto c ad punctum ſectionis lineæ i s
& ſuperficiei circuli, eſt ualde parua. Et quantò maior fuerit linea uiſa, æquidiſtans lineæ longitudi
nis ſpeculi: tantò imago eius erit minus curua: & quantò minor, tantò magis.
183[Figure 183]f d b g t e h e
28. Si uiſ{us} ſit in communi ſectione planorum, lineæ rectæ & axis ſpeculi cylindracei conuexi,
inter ſeperpendicularium: fiet reflexio à peripheria circuli, qui eſt
communis ſectio plani lineæ & ſuperficiei ſpeculi: & imago uidebi- tur curua. 52 p 7.
inter ſeperpendicularium: fiet reflexio à peripheria circuli, qui eſt
communis ſectio plani lineæ & ſuperficiei ſpeculi: & imago uidebi- tur curua. 52 p 7.
AMplius:
ſi linea t h ſecet ſuperficiem, in qua ſunt centrum ui-
ſus & axis, & ſit orthogonalis ſuper eam. Viſus aut erit in illa
ſuperficie lineæ t h, ſecante orthogonaliter ſuperficiem axis
& uiſus: aut extra. Si fuerit in ſuperficie illa: aut ſupra lineam t h: aut
infra. Si ſupra, cum illa linea ſit corporalis, occultabit uiſui ſpeculũ:
& ita non reflectetur, ſed forſan capita eius apparebunt & reflecten-
tur à circulo columnæ, qui communis eſt ſuperficiei lineæ t h, ſecanti
columnam, & columnæ. Et erit horum capitum imago, ſicut in ſphæ
ricis exterioribus [21 n. ] Similiter ſi uiſus fuerit ſub linea t h: occul-
tabitur pars eius propter caput, in quo eſt uiſus. Pars aũt lineæ uiſæ
reflectitur à circulo, eodẽ penitus modo, quo in exteriorib. ſphęricis.
ſus & axis, & ſit orthogonalis ſuper eam. Viſus aut erit in illa
ſuperficie lineæ t h, ſecante orthogonaliter ſuperficiem axis
& uiſus: aut extra. Si fuerit in ſuperficie illa: aut ſupra lineam t h: aut
infra. Si ſupra, cum illa linea ſit corporalis, occultabit uiſui ſpeculũ:
& ita non reflectetur, ſed forſan capita eius apparebunt & reflecten-
tur à circulo columnæ, qui communis eſt ſuperficiei lineæ t h, ſecanti
columnam, & columnæ. Et erit horum capitum imago, ſicut in ſphæ
ricis exterioribus [21 n. ] Similiter ſi uiſus fuerit ſub linea t h: occul-
tabitur pars eius propter caput, in quo eſt uiſus. Pars aũt lineæ uiſæ
reflectitur à circulo, eodẽ penitus modo, quo in exteriorib. ſphęricis.
29. Si uiſ{us} æquabiliter diſtans à terminis lineæ rectæ, ſit extra
eiuſdem planum, perpendiculare plano axis ſpeculi cylindracei cõ-
uexi: imago maximè curua uidebitur. 53 p 7.
eiuſdem planum, perpendiculare plano axis ſpeculi cylindracei cõ-
uexi: imago maximè curua uidebitur. 53 p 7.
SI uerò uiſus fuerit extra ſuperficiem lineę t h, orthogonaliter ſe-
cantem ſuperficiem uiſus & axis: ſit e uiſus: & b g x columna: reflectetur h ad e ab aliquo pun-
cto columnæ: ſit à puncto b: & ſit t eiuſdem longitudinis à puncto e, cuius eſt h. Dico, quòd t
reflectetur ad e ab aliquo puncto columnæ. Et cum puncta h, t ſint eiuſdem ſitus & eiuſdem lon-
gitudinis à puncto e: erunt ſimiliter puncta reflexionum, ſcilicet b, g eiuſdem longitudinis & eiuſ-
dem ſitus à puncto e. Igitur duo puncta b, g erunt in circulo. Sit circulus b z g: eius centrum d: &
ducantur lineæ h b, b e, t g, g e: & à centro ducantur perpendiculares, ſuper contingentes circulum
in punctis b, g, ſcilicet d b o, d g s: & ducatur linea e d. Cum puncta h, e ſint eiuſdem ſitus & longitu
dinis, reſpectu e, & reſpectu d: & ſimiliter puncta b, g, eiuſdem ſitus, reſpectu e & reſpectu d: habe-
bunt lineæ h b, t g eundem ſitum, reſpectu lineæ e d. Et ita concurrent in idem punctum illius li-
neę. Sit concurſus in puncto l. Fiat linea longitudinis columnæ, [ut oſtenſum eſt 47 p 5] in qua
punctum z: & ſit hæc linea in ſuperficie uiſus & axis: quæ ſit a z: & ducantur lineæ l z n, d z c: q ſit
punctum lineæ t h, punctum ſcilicet, quod eſt in ſuperſicie uiſus & axis: & à puncto q ducatur linea
æquidiſtans lineę d z c [per 31 p 1] cadet quidem hęc linea ſuper axem: [per lemm a Procli ad 29
p 1] & l z n cadet in hanc lineam ſupra pũctum q. Cadat in punctum n. Palàm ex prædictis [12 n 4]
quòd angulus h b o ęqualis eſt o b e: ſed [per 15 p 1] angulus h b o æqualis eſt angulo l b d, per con-
trapoſitionem: & [per 32 p 1] angulus o b e æqualis eſt duobus angulis b e d, b d e: quia extrinſe-
cus. Ergo angulus l b d ęqualis eſt duobus angulis b e d, b d e. Fiat ergo angulus m b d æqualis
angulo b d e [per 23 p 1] remanet angulus m b l ęqualis angulo b e l. Quare ductus e m in m l æ-
qualis quadrato b m [triangula enim m e b, m b l ſunt ęquiangula: quia angulus m b l ęqualis con-
cluſus eſt angulo m e b, & communis utriuſque trianguli eſt b m e: reliquus igitur m l b ęquatur
reliquo l b e per 32 p 1. Quare per 4 p 6 erit, ut e m ad m b, ſic m b ad m l. Ergo per 17 p 6 rectangu-
lum comprehenſum ſub extremis e m & m l, ęquatur quadrato medię m b. ] Ducatur linea m z.
Quoniam igitur angulus b d m maior eſt angulo z d m: [Nam propter ſimilem ſitum punctorum
reflexionis b & g, ęquatur angulus s d e angulo o d e: ſed angulus s d e maior eſt angulo z d m per
9 ax. Quare angulus o d e, id eſt, b d m maior eſt angulo z d m] & duo latera z d, d m ęqualia duo-
bus lateribus b d, d m: [ęquantur enim z d, b d per 15 d 1: & d m eſt communis] erit [per 24 p 1]
m b maior m z: quare ductus e m in m l maior eſt quadrato z m. Sit ductus e m in m i æqualis
quadrato m z: [per 11 p 6, ut demonſtratum eſt 6 n] & ducantur lineę i b, i z. Erit ergo angulus
m z i ęqualis angulo z e i, [eſt enim per proximam fabricationem & 17 p 6, ut e m ad m z, ſic m z ad
m i. Sunt igitur duo triangula e m z, i m z lateribus circa communem angulum i m z propor-
tionalia: itaque per 6 p 6 ſunt ęquiangula, & angulus m z i ęquatur angulo z e i. ] Quare m z l ma-
ior angulo z e d. Sed quoniam angulus m b d poſitus eſt ęqualis augulo b d m: erit [per 6 p 1]
linea m b ęqualis lineę m d: ſed m b maior m z, [ut patuit. ] Quare m d maior m z. Igitur
cantem ſuperficiem uiſus & axis: ſit e uiſus: & b g x columna: reflectetur h ad e ab aliquo pun-
cto columnæ: ſit à puncto b: & ſit t eiuſdem longitudinis à puncto e, cuius eſt h. Dico, quòd t
reflectetur ad e ab aliquo puncto columnæ. Et cum puncta h, t ſint eiuſdem ſitus & eiuſdem lon-
gitudinis à puncto e: erunt ſimiliter puncta reflexionum, ſcilicet b, g eiuſdem longitudinis & eiuſ-
dem ſitus à puncto e. Igitur duo puncta b, g erunt in circulo. Sit circulus b z g: eius centrum d: &
ducantur lineæ h b, b e, t g, g e: & à centro ducantur perpendiculares, ſuper contingentes circulum
in punctis b, g, ſcilicet d b o, d g s: & ducatur linea e d. Cum puncta h, e ſint eiuſdem ſitus & longitu
dinis, reſpectu e, & reſpectu d: & ſimiliter puncta b, g, eiuſdem ſitus, reſpectu e & reſpectu d: habe-
bunt lineæ h b, t g eundem ſitum, reſpectu lineæ e d. Et ita concurrent in idem punctum illius li-
neę. Sit concurſus in puncto l. Fiat linea longitudinis columnæ, [ut oſtenſum eſt 47 p 5] in qua
punctum z: & ſit hæc linea in ſuperficie uiſus & axis: quæ ſit a z: & ducantur lineæ l z n, d z c: q ſit
punctum lineæ t h, punctum ſcilicet, quod eſt in ſuperſicie uiſus & axis: & à puncto q ducatur linea
æquidiſtans lineę d z c [per 31 p 1] cadet quidem hęc linea ſuper axem: [per lemm a Procli ad 29
p 1] & l z n cadet in hanc lineam ſupra pũctum q. Cadat in punctum n. Palàm ex prædictis [12 n 4]
quòd angulus h b o ęqualis eſt o b e: ſed [per 15 p 1] angulus h b o æqualis eſt angulo l b d, per con-
trapoſitionem: & [per 32 p 1] angulus o b e æqualis eſt duobus angulis b e d, b d e: quia extrinſe-
cus. Ergo angulus l b d ęqualis eſt duobus angulis b e d, b d e. Fiat ergo angulus m b d æqualis
angulo b d e [per 23 p 1] remanet angulus m b l ęqualis angulo b e l. Quare ductus e m in m l æ-
qualis quadrato b m [triangula enim m e b, m b l ſunt ęquiangula: quia angulus m b l ęqualis con-
cluſus eſt angulo m e b, & communis utriuſque trianguli eſt b m e: reliquus igitur m l b ęquatur
reliquo l b e per 32 p 1. Quare per 4 p 6 erit, ut e m ad m b, ſic m b ad m l. Ergo per 17 p 6 rectangu-
lum comprehenſum ſub extremis e m & m l, ęquatur quadrato medię m b. ] Ducatur linea m z.
Quoniam igitur angulus b d m maior eſt angulo z d m: [Nam propter ſimilem ſitum punctorum
reflexionis b & g, ęquatur angulus s d e angulo o d e: ſed angulus s d e maior eſt angulo z d m per
9 ax. Quare angulus o d e, id eſt, b d m maior eſt angulo z d m] & duo latera z d, d m ęqualia duo-
bus lateribus b d, d m: [ęquantur enim z d, b d per 15 d 1: & d m eſt communis] erit [per 24 p 1]
m b maior m z: quare ductus e m in m l maior eſt quadrato z m. Sit ductus e m in m i æqualis
quadrato m z: [per 11 p 6, ut demonſtratum eſt 6 n] & ducantur lineę i b, i z. Erit ergo angulus
m z i ęqualis angulo z e i, [eſt enim per proximam fabricationem & 17 p 6, ut e m ad m z, ſic m z ad
m i. Sunt igitur duo triangula e m z, i m z lateribus circa communem angulum i m z propor-
tionalia: itaque per 6 p 6 ſunt ęquiangula, & angulus m z i ęquatur angulo z e i. ] Quare m z l ma-
ior angulo z e d. Sed quoniam angulus m b d poſitus eſt ęqualis augulo b d m: erit [per 6 p 1]
linea m b ęqualis lineę m d: ſed m b maior m z, [ut patuit. ] Quare m d maior m z. Igitur