215185LIBER QVARTVS.
quitur neceſſariò, ambitum polygoni minorem eſſelatere m n.
Cum enim tri-
angulum rectangulum, cuius altitudo ſemidiametro polygoni, & baſis ambi-
tui æqualis eſt, æquale ſit, ex ſcholio propoſ. 41. lib. 1. Eucl. rectangulo ſub ea-
dem ſemidiametro, & ſemiſſe ambitus polygoni comprehenſa; hoc autem, per
propoſ. 2. lib. 7. huius de Iſo perimetris, polygono æquale: erit quoque trian-
gulum illud minus triangulo l m n. Quare cum hæc triangula habeant æquales
altitudines; erit vtillud triangulum ad l m n, ita baſis illius ad baſem m n: 111. ſexti. proinde illa baſis, hoc eſt, ambitus polygoni, baſe m n, minor erit. Non ergo
ponere potes baſem trianguli l m n, ſi maior eſt, quam peripheria circuli, mino-
rem ambitu polygoni: In demonſtratione autem Archimedis conſtat, ambitũ
polygonimaiorem eſſe baſe trianguli F G H, ſi G H, æqualis eſt peripheriæ cir-
culi, cum maior ſit, quam perip heria: ac propterea rectè concluſit Archimedes,
polygonum eſſe maius triangulo FGH, cum tamen ex hypotheſi aduerſarij o-
ſtenſum ſit eſſe minus. Itaque potuiſſet Archimedes ita quo que propoſitum
colligere. Polygonum minus eſt triangulo F G H, propter relictas ſectiones
minores magnitudine z. Ergo eius ambitus minor eſt baſe G H, (quemadmo-
dum proximè demonſtrauimus.) hoc eſt, peripheria circuli. quod eſt abſurdũ,
cum ambitus polygoni maior ſit, quam peripheria. Quod abſurdum, doctiſsi-
mè Scaliger, colligere non potes in tuo triangulo l m n, cum ſtatuas baſem mn,
perip heria circuli maiorem. Et ſane miror te, Mathematicus cũ ſis, negare quã-
titatẽ aliquam illi eſſe æqualem, qua neque maior eſt, neque minor. Si enim æ-
qualis non eſt, erit inæqualis. Igitur vel maior vel minor, contra hypotheſim,
cum dicatur neque maior eſſe, neque minor. An non vides, non ſolum Archi-
medem, ſed etiam Euclidem lib. 12. hunc argumentandi modum frequentiſsimè
vſurpare?
angulum rectangulum, cuius altitudo ſemidiametro polygoni, & baſis ambi-
tui æqualis eſt, æquale ſit, ex ſcholio propoſ. 41. lib. 1. Eucl. rectangulo ſub ea-
dem ſemidiametro, & ſemiſſe ambitus polygoni comprehenſa; hoc autem, per
propoſ. 2. lib. 7. huius de Iſo perimetris, polygono æquale: erit quoque trian-
gulum illud minus triangulo l m n. Quare cum hæc triangula habeant æquales
altitudines; erit vtillud triangulum ad l m n, ita baſis illius ad baſem m n: 111. ſexti. proinde illa baſis, hoc eſt, ambitus polygoni, baſe m n, minor erit. Non ergo
ponere potes baſem trianguli l m n, ſi maior eſt, quam peripheria circuli, mino-
rem ambitu polygoni: In demonſtratione autem Archimedis conſtat, ambitũ
polygonimaiorem eſſe baſe trianguli F G H, ſi G H, æqualis eſt peripheriæ cir-
culi, cum maior ſit, quam perip heria: ac propterea rectè concluſit Archimedes,
polygonum eſſe maius triangulo FGH, cum tamen ex hypotheſi aduerſarij o-
ſtenſum ſit eſſe minus. Itaque potuiſſet Archimedes ita quo que propoſitum
colligere. Polygonum minus eſt triangulo F G H, propter relictas ſectiones
minores magnitudine z. Ergo eius ambitus minor eſt baſe G H, (quemadmo-
dum proximè demonſtrauimus.) hoc eſt, peripheria circuli. quod eſt abſurdũ,
cum ambitus polygoni maior ſit, quam peripheria. Quod abſurdum, doctiſsi-
mè Scaliger, colligere non potes in tuo triangulo l m n, cum ſtatuas baſem mn,
perip heria circuli maiorem. Et ſane miror te, Mathematicus cũ ſis, negare quã-
titatẽ aliquam illi eſſe æqualem, qua neque maior eſt, neque minor. Si enim æ-
qualis non eſt, erit inæqualis. Igitur vel maior vel minor, contra hypotheſim,
cum dicatur neque maior eſſe, neque minor. An non vides, non ſolum Archi-
medem, ſed etiam Euclidem lib. 12. hunc argumentandi modum frequentiſsimè
vſurpare?
PROPOSITIO II.
CVIVSLIBET circuli peripheria tripla eſt diametri, &
adhuc ſupe-
rat parte, quæ quidem minor eſt decem ſeptuageſimis, hoc eſt, ſepti-
ma parte diametri, maior verò decem ſeptuageſimis primis.
rat parte, quæ quidem minor eſt decem ſeptuageſimis, hoc eſt, ſepti-
ma parte diametri, maior verò decem ſeptuageſimis primis.
Hæc eſt Archimedis propoſitio 3.
quam nos ſecundam facimus, vt do ctri-
næ ordo ſeruetur, quando quidem ſequens propoſitio 3. quamipſe 2. facit, hãc
noſtram propoſitionem 2. in demonſtrationem adhibet.
næ ordo ſeruetur, quando quidem ſequens propoſitio 3. quamipſe 2. facit, hãc
noſtram propoſitionem 2. in demonſtrationem adhibet.
Sit igitur circulus ABCD, cuius centrum E, diameter AB, quam ad rectos an-
gulos ſecet ſemidiameter E c, & e c F, ad E c, perpendicularis ducatur, quæ 2216. tertij. culum tangetin c. Ducatur latus hexagoni AD, quod ſemidiametro æquale 3315. quar. rit, & arcus AD, grad. 60. Ideoq; D c. grad. 30. Ducta ergo recta E D e, erit angu-
lus e E c, tertia pars recti, cum rectus angulus contineat grad. 90. Fiat quo que
angulus c E F, angulo c E e, æqualis: eruntq; angulie, F, inter ſe æquales, quod
vterque complementum ſit tertiæ partis angulirecti, ac proinde vter que duas
tertias partes vnius recti comprehendet. Cum ergo omnes tres anguliin 4432. primi. gulo e E F, contineant {6/3}. vnius recti, continebit quo que e E F, {2/3}. vnius recti
ipſumq; triangulum æquiangulum erit, hoc eſt, per coroll. propoſ. 6. lib. 1. Euc.
æquilaterũ; proptereaq; perpendicularis E c, baſem e F, bifariã ſecabit, ex ſcho-
lio propoſ. 26. lib. 1. Euclid. atq; ideo E@e, ipſius e c, dupla erit. Poſita igitur c
gulos ſecet ſemidiameter E c, & e c F, ad E c, perpendicularis ducatur, quæ 2216. tertij. culum tangetin c. Ducatur latus hexagoni AD, quod ſemidiametro æquale 3315. quar. rit, & arcus AD, grad. 60. Ideoq; D c. grad. 30. Ducta ergo recta E D e, erit angu-
lus e E c, tertia pars recti, cum rectus angulus contineat grad. 90. Fiat quo que
angulus c E F, angulo c E e, æqualis: eruntq; angulie, F, inter ſe æquales, quod
vterque complementum ſit tertiæ partis angulirecti, ac proinde vter que duas
tertias partes vnius recti comprehendet. Cum ergo omnes tres anguliin 4432. primi. gulo e E F, contineant {6/3}. vnius recti, continebit quo que e E F, {2/3}. vnius recti
ipſumq; triangulum æquiangulum erit, hoc eſt, per coroll. propoſ. 6. lib. 1. Euc.
æquilaterũ; proptereaq; perpendicularis E c, baſem e F, bifariã ſecabit, ex ſcho-
lio propoſ. 26. lib. 1. Euclid. atq; ideo E@e, ipſius e c, dupla erit. Poſita igitur c