217211OPTICAE LIBER VI.
catur contingens circulum [per 17 p 3] quæ ſit m z:
& à puncto f ducatur perpẽdicularis ſupera z,
[per 12 p 1] cadens in punctũ eius e: quæ producta cõcurrat cũ a o [per 11 ax. ] quoniã angulus o a z
eſt acutus [ex theſi. ] Concurrat
187[Figure 187]a o u m h z t s n d ſ e q f p igitur in puncto n. Et [per 31 p 1] à
pũcto e ducatur æquidiſtãs lineę
t h: & ſit q e: & à puncto e ducatur
ęquidiſtãs m z: quę ſit e l. Palã [ք
lemma ad 37 th. opticorum Eucli
dis: uel per 42 th 6 libri σ{υν}αγωγῶ
μαθκματικῶμ Pappi] quòd m z eſt
perpendicularis ſuper a e: quo-
niam a h eſt perpendicularis ſu-
per circulum, per z tranſeuntem,
[per 18 d 11] & m z ſuper diame-
trum illius circuli [per 18 p 3]
quia contingit. Igitur l e eſt per-
pendicularis ſuper a e [per 29
p 1] & producatur q e ultra e: hęc
concurret quidem cum axe: [per
lemma Procli ad 29 p 1] concur-
rat in d. Fiat autẽ ſuperficies l e,
d q ſecans pyramidem: erit quidem ſectio pyramidalis: [per 5 th. 1 con. Apoll. quia l d q planum ob-
liquum eſt ad axem. ] Cum ergo a e ſit perpendicularis ſuper f n, & ſuper q d, & ſuper l e: erit f n in
ſuperficie illa ſecante pyramidem [per 5 p 11. ] Fiat ergo in illa ſuperficie p f æquidiſtans q e: erit æ-
quidiſtans t z [per 9 p 11] uerùm cum angulus f z h ſit acutus: [per concluſionẽ] erit angulus t z
obtuſus [per 13 p 1. ] Ducatur à puncto z linea, faciens cum t z angulum, æqualem angulo o z t: quę
quidem linea neceſſariò ſecabit f p [per lemma Procli ad 29 p 1: quia z t, f p ſunt parallelæ. ] Secet
in puncto p: & ducatur linea p e. Cum ergo p z, o z ſint in eadem ſuperficie, & angulus o z t ęqua-
lis angulo t z p [per fabricationem] reflectetur o ad p à puncto ſpeculi z [per 12 n 4. ] Et quia an-
gulus o z t æqualis eſt angulo z f p: [per 29 p 1, & t z p æqualis z p f per eandem: quare z f p,
& z p f æquantur] erunt latera z p, z f æqualia [per 6 p 1. ] Et quia angulus f e z rectus [quia a
perpendicularis eſt ipſ f e n] quadratum f z ualet quadrata e z, e f: & quadratum p z ualet
quadrata e z, e p [per 47 p 1. ] Igitur p e, f e æqualia: [Quia enim z p, z f æquales iam concluſæ
ſunt: erunt ipſarum quadrata æqualia: ſubducto igitur communi quadrato z e: relinquentur qua-
drata e p, e f æqualia: ideoq́; ipſorum latera e p, e f] & ita [per 5 p 1] e p f, e f p anguli erunt
æquales. Quare anguli n e q, q e p æquales. [nam per 29 p 1 anguli n e q, e f p: item p e q, e p f
æquantur: itaq; per 1 ax. n e q, p e q æquantur. ] Et cum in eadem ſuperficie ſint, quæ eſt p en: refle-
ctetur n ad p à puncto e [per 12 n 4. ] Similiter ſi ducatur quæcunq; linea à puncto f a d aliquod pũ-
ctum z e, & producatur uſque ad o n: probabitur de puncto lineæ o n, in quod cadit, quòd refle-
ctetur ad p à puncto lineæ z e, quod ſecat illa linea. Simili modo & omnium huiuſmodi linea-
rum probatio ſumet initium à perpendiculari, quæ eſt f e, & à parte lineæ e z: quæ erit com-
munis omnibus illis triangulis. Et ita quo dlibet punctum lineę o n reflectetur ad p ab aliquo pun-
cto lineæ e z.
[per 12 p 1] cadens in punctũ eius e: quæ producta cõcurrat cũ a o [per 11 ax. ] quoniã angulus o a z
eſt acutus [ex theſi. ] Concurrat
187[Figure 187]a o u m h z t s n d ſ e q f p igitur in puncto n. Et [per 31 p 1] à
pũcto e ducatur æquidiſtãs lineę
t h: & ſit q e: & à puncto e ducatur
ęquidiſtãs m z: quę ſit e l. Palã [ք
lemma ad 37 th. opticorum Eucli
dis: uel per 42 th 6 libri σ{υν}αγωγῶ
μαθκματικῶμ Pappi] quòd m z eſt
perpendicularis ſuper a e: quo-
niam a h eſt perpendicularis ſu-
per circulum, per z tranſeuntem,
[per 18 d 11] & m z ſuper diame-
trum illius circuli [per 18 p 3]
quia contingit. Igitur l e eſt per-
pendicularis ſuper a e [per 29
p 1] & producatur q e ultra e: hęc
concurret quidem cum axe: [per
lemma Procli ad 29 p 1] concur-
rat in d. Fiat autẽ ſuperficies l e,
d q ſecans pyramidem: erit quidem ſectio pyramidalis: [per 5 th. 1 con. Apoll. quia l d q planum ob-
liquum eſt ad axem. ] Cum ergo a e ſit perpendicularis ſuper f n, & ſuper q d, & ſuper l e: erit f n in
ſuperficie illa ſecante pyramidem [per 5 p 11. ] Fiat ergo in illa ſuperficie p f æquidiſtans q e: erit æ-
quidiſtans t z [per 9 p 11] uerùm cum angulus f z h ſit acutus: [per concluſionẽ] erit angulus t z
obtuſus [per 13 p 1. ] Ducatur à puncto z linea, faciens cum t z angulum, æqualem angulo o z t: quę
quidem linea neceſſariò ſecabit f p [per lemma Procli ad 29 p 1: quia z t, f p ſunt parallelæ. ] Secet
in puncto p: & ducatur linea p e. Cum ergo p z, o z ſint in eadem ſuperficie, & angulus o z t ęqua-
lis angulo t z p [per fabricationem] reflectetur o ad p à puncto ſpeculi z [per 12 n 4. ] Et quia an-
gulus o z t æqualis eſt angulo z f p: [per 29 p 1, & t z p æqualis z p f per eandem: quare z f p,
& z p f æquantur] erunt latera z p, z f æqualia [per 6 p 1. ] Et quia angulus f e z rectus [quia a
perpendicularis eſt ipſ f e n] quadratum f z ualet quadrata e z, e f: & quadratum p z ualet
quadrata e z, e p [per 47 p 1. ] Igitur p e, f e æqualia: [Quia enim z p, z f æquales iam concluſæ
ſunt: erunt ipſarum quadrata æqualia: ſubducto igitur communi quadrato z e: relinquentur qua-
drata e p, e f æqualia: ideoq́; ipſorum latera e p, e f] & ita [per 5 p 1] e p f, e f p anguli erunt
æquales. Quare anguli n e q, q e p æquales. [nam per 29 p 1 anguli n e q, e f p: item p e q, e p f
æquantur: itaq; per 1 ax. n e q, p e q æquantur. ] Et cum in eadem ſuperficie ſint, quæ eſt p en: refle-
ctetur n ad p à puncto e [per 12 n 4. ] Similiter ſi ducatur quæcunq; linea à puncto f a d aliquod pũ-
ctum z e, & producatur uſque ad o n: probabitur de puncto lineæ o n, in quod cadit, quòd refle-
ctetur ad p à puncto lineæ z e, quod ſecat illa linea. Simili modo & omnium huiuſmodi linea-
rum probatio ſumet initium à perpendiculari, quæ eſt f e, & à parte lineæ e z: quæ erit com-
munis omnibus illis triangulis. Et ita quo dlibet punctum lineę o n reflectetur ad p ab aliquo pun-
cto lineæ e z.
32. Si linea recta obliquè inciderit uertici ſpeculi conici conuexi: reflectetur à latere coni-
co ad uiſum inter dictam lineam & ſpeculi ſuperficiem ſitum: eiuś imago parum curua ui-
debitur. 55 p 7.
co ad uiſum inter dictam lineam & ſpeculi ſuperficiem ſitum: eiuś imago parum curua ui-
debitur. 55 p 7.
HOc declarato dicamus.
Cum uiſus comprehenderit lineas rectas, tranſeuntes per uerti-
cem ſpeculi pyramidalis conuexi recti, obliquas ſuper axem ſpeculi: tunc formæ earum e-
runt parùm conuexæ. Sit ergo ſpeculum pyramidale erectum a b c: cuius uertex ſit a:
& cuius axis ſit a d: & extrahamus in ſuperficie eius lineam a z [ut oſtenſum eſt 52 n 5] quocun-
que modo ſit: in qua ſignetur punctum z, quocunque modo ſit. Et tranfeat per z ſuperficies æ-
quidiſtans baſi pyramidis: & faciat circulum z u [faciet autem per 4 th 1 con. Apol. ] Et extraha-
mus ex z perpendicularem z h ſuper a z [per 11 p 1. ] Hæc ergo linea concurret cum axe pyrami-
dis [per 11 ax. ut patuit præcedente numero. ] Concurrat ergo in h. Et extrahamus ex z line-
am contingentem circulum: [per 17 p 3] & ſit z m: & extrahamus ex a lineam continentem cum
utraque linea a z, h a angulum acutum: & ſit extra ſuperficiem, contingentem pyramidem, tran-
ſeuntem per lineam a z. Et hoc eſt poſsibile: [quia angulus h a z eſt acutus per 18 d 11. 32 p 1. ] Sit
ergo a n: & extrahamus ex puncto h lineam in ſuperficie, in qua ſunt a n, a h, continentem cum
a h angulum æqualem angulo a h z. Hæc ergo linea concurret cum o: [per 11 ax. ] nam
duo anguli ad a, h ſunt acuti. Concurrant ergo in o. Linea ergo h o concurret cum cir-
cumferentiã circuli z u. Nam angulus a h o eſt æqualis angulo a h z. Concurrat ergo in
u: & extrahamus a u rectè: & extrahamus perpendicularem h z ad t: & continuemus o z,
& extrahamus rectè ad f: & extrahatur a z ad e. Angulus igitur f z h erit acutus: quia
cem ſpeculi pyramidalis conuexi recti, obliquas ſuper axem ſpeculi: tunc formæ earum e-
runt parùm conuexæ. Sit ergo ſpeculum pyramidale erectum a b c: cuius uertex ſit a:
& cuius axis ſit a d: & extrahamus in ſuperficie eius lineam a z [ut oſtenſum eſt 52 n 5] quocun-
que modo ſit: in qua ſignetur punctum z, quocunque modo ſit. Et tranfeat per z ſuperficies æ-
quidiſtans baſi pyramidis: & faciat circulum z u [faciet autem per 4 th 1 con. Apol. ] Et extraha-
mus ex z perpendicularem z h ſuper a z [per 11 p 1. ] Hæc ergo linea concurret cum axe pyrami-
dis [per 11 ax. ut patuit præcedente numero. ] Concurrat ergo in h. Et extrahamus ex z line-
am contingentem circulum: [per 17 p 3] & ſit z m: & extrahamus ex a lineam continentem cum
utraque linea a z, h a angulum acutum: & ſit extra ſuperficiem, contingentem pyramidem, tran-
ſeuntem per lineam a z. Et hoc eſt poſsibile: [quia angulus h a z eſt acutus per 18 d 11. 32 p 1. ] Sit
ergo a n: & extrahamus ex puncto h lineam in ſuperficie, in qua ſunt a n, a h, continentem cum
a h angulum æqualem angulo a h z. Hæc ergo linea concurret cum o: [per 11 ax. ] nam
duo anguli ad a, h ſunt acuti. Concurrant ergo in o. Linea ergo h o concurret cum cir-
cumferentiã circuli z u. Nam angulus a h o eſt æqualis angulo a h z. Concurrat ergo in
u: & extrahamus a u rectè: & extrahamus perpendicularem h z ad t: & continuemus o z,
& extrahamus rectè ad f: & extrahatur a z ad e. Angulus igitur f z h erit acutus: quia