Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio prima. Capitulum </p>
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      a quello che fa .et. in .kl. E quello che fa .et. in .kl. è iguale al ditto del .eb. in .bl. La proportio-
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      ne adunque del .ae.ab.al. é comme la proportione del tetragono .et. a quello ch’ é fatto del .eb.
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      in .bl. E, multiplicato adunque el tetragono .et. in .al., è comme multiplicato .ae. nel produt-
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      to del .be. in .bl. E la multiplicatione del tetragono .et. nel tetragono .al. è comme la multipli-
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      catione del .ae. nel produtto del .eb. in .bl. e quello che fanno in .al. Ma la multiplicatione del
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      tetragono .et. nel tetragono .al. è comme el tetragono dela superficie del triangolo .abg. com-
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      me dimostraremo. Onde la multiplicatione del .ae., che è la soprabundantia dela mitá de’ la-
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      ti del triangolo .abg. al lato .bg. nello .eb., che è la soprabundantia dela mitá de’ lati del detto
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      triangolo alo lato .ag. e quello che fanno, multiplicato in .bl., che è la soprabundantia dela mi-
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      tá deli lati .agb. del triangolo al lato .ba. E li produtti, multiplicati in .al., cioé nela mitá de’ la-
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      ti del triangolo .abg., fará el tetragono del’ area del triangolo .abg. Ora ci resta a mostrare in
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      che modo, a multiplicare el quadrato del .et. nel quadrato del .al., fa el tetragono, cioé el quadrato del’ area
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      del triangolo .abg. Perché il triangolo .abg. è risoluto in .3. triangoli dal ponto .t., che sonno .atb. e
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      .atg. e i catetti di ciascuno triangolo provammo erano infra loro iguali è sonno .te.tz.th.
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      Adunque, multiplicato .et. nela mitá dela basa .ab., fará l’ area del triangolo .atb. Similmen-
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      te, multiplicato .th., cioé .te., nela mitá del .gb., fará l’ area del triangolo .btg. E ancora, multipli-
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      cato .tz., cioé .te., nela mitá delo .ag., fará l’ area del triangolo .atg. Onde, multiplicato .te. in .al., cioé
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      multiplicato .te. nela mitá de’ lati del triangolo .abg., fará l’ area del triangolo .abg. Onde,
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      multiplicato el quadrato del .et. nel quadrato .al., fará il quadrato del’ area del detto triango-
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      lo. E questo era bisogno mostrare. E, medianti questi .3. modi demostrati, ciascuna sor-
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      ta de triangoli sempre si poterá quadrare. E per numero determinatamente dire loro super-
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      ficie avenga che a le volte non discretamente ma per via de radici. Ma uno altro degno
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      modo ci dá esso Euclide nell’ ultima del .2o., a saperli quadrare con precisione e senza nume-
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      ro quando el dici: “Dato trigono equum quadratum ei describere”. Ove al triangolo, per la
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      .42a. del primo, ci fa fare un pararello rettangolo equale, mediante la inventione de una li-
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      nea media proportionale trovata col semicirculo, sí comme per la .9a. del suo .6o. ci dechiara,
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      commo tu, per te, ivi legendo, potrai intendere, che è una ligiadra conclusione. In modo che,
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      se fossero proposti mille triangoli, subito ci dá verso farne un sol quadrato, trovando a cia-
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      scuno il suo lato tetragonico e quelli componere asiemi mediante la penultima del primo,
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      quam tibi dimito et </p>
      <p class="main"> E, se d’ alcuno triangolo e .2. lati fussino solamente noti e volesse per quelli have-
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      re la misura del’ altro lato e ancora l’ area del detto triangolo. Comme sia uno tri-
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      angolo .abg., del qual e lati .ab. e .bg. sienno noti e voi noto il lato .ag. Prima è
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      da considerare se l’ angolo contento dale .2. linee o vogliammo dire da’ noti lati
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      .ab. e .bg. sia retto: overo minore che ’l retto overo maggiore che ’l retto. Sia primo retto.
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      Ove la retta .ab. è catetto sopra la retta .bg. e, multiplicato adunque .ab. in .bg., ne pervie-
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      ne .2. cotanti del’ area del triangolo .abg. E, se agiongniamo insiemi e quadrati dele linee
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      .ab. e .bg. note, ne perverrá el quadrato dela linea .ag. Del quale quadrato la radicie è
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      la linea </p>
      <p class="main"> Ma, se l’ angolo .abg. è minore che ’l retto, alora piglia nela linea .ab. un ponto che
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      sia .d., dal qual sopra la linea bg. si meni uno catteto che sia .de. E, se lla proportio-
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      ne del .be. al .bg. è iguali ala proportione del .bd. al .ba., l’ angolo .g. è retto, per-
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      ché la linea .de. è equedistante ala linea .ag., per la .2a. del .6o. Onde se ’l quadrato del lato .bg.
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      si togli del quadrato del lato .ab., rimarrá el quadrato delo lato .ag. Overo, perché .de. è eque-
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      distante al .ag., sará cosí .bd. al .ba., come .de. al .ag. Onde, se multiplicheremo il lato .ba. in
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      .ed. e divideremo la somma per .db., verranne .ag. Verbi gratia: sia .ab.20. e .bg. sia .12. E sia
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      l’ angolo .agb. retto e la linea .bd. sia .5. e .de. sia .4., sará .eb.3. Sará adunque cosí .bd. al .ba.,
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      cioé .5. a .20., cosí .3. al .12., cioé .be. al .bg. Onde la retta .de. è equedistante alla retta .ag. E pe-
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      ró l’ angolo .agb. è retto, imperoché retto è l’ angolo .deb. Onde, se ’l quadrato delo lato .bg.
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      si trae del quadrato del lato .ba., rimarrá il quadrato delo lato .ag., cioé trahendo del .400.
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      el .144., rimarram .256., la cui radici è .16., per lo lato .ag. Overo, se multiplicaremo .ba. in .ed.,
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      cioé .20. per .4., e partiremo per .db., cioé per .5., verranne .16. per lo detto lato del quale la mi-
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      tá, cioé .8., multiplicato per .12., fanno .96. per l’ area del triangolo .agb.
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      E, se la proportione del .be. al .bg. sará in minore proportione che ’l .bd. al .ba.,
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      comme si dimostra nel’ altro triangolo .agb., alora l’ angolo .agb. è minore che ’l retto.
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