224218ALHAZEN
44. Si uiſ{us} ſit citra centrum ſpeculi ſphærici caui, uiſibile ultra: imago tum uiſibilis, tum ui-
dentis, euerſa & minor uidebitur. 51 p 8.
dentis, euerſa & minor uidebitur. 51 p 8.
ITem:
ſit ſpeculum concauum a b:
& centrũ g:
& habeat ſuperficiem planam, tranſeuntem per cẽ
trum, & faciat circulum a b: & extrahamus lineam g d, quocunque modo ſit: & tranſeat ex parte
gad e: & ſit uiſus in e: & ſit t in ſuperficie uiſus: & extrahamus t h perpendiculariter ſuper lineã
e d: [per 11 p 1] & ſit z t ęqualis t h: & comprehendat e punctum h ex a: & g h producta in p, compre-
hendat arcum a p maiorem quarta circuli. Sic ergo erunt duo puncta a, h, à duobus lateribus puncti
g. Nam ſi in eodem eſſent: tunc linea, quæ exiret à ſpeculo ad a, non diuideret angulum, quem conti
nent duæ lineę radiales, per ęqualia [ſicq́; , ut oſtenſum eſt 66 n 5, reflexio nulla fieret. ] Et extraha-
mus lineas e a, a h, g a, g h: & tranſeat g h rectè ad k: duo ergo anguli apud a erunt ęquales: [per the-
ſin & 12 n 4] & erit k imago h [per 6 n 5. ] Et ſit arcus b d ęqualis arcui d a: [fiet autem ęqualis per 33
p 6, ſi per 23 p 1 ęquaueris angulum d g b angulo d g a] & continuemus lineas e b, b z, b g: & extra-
hamus z g ad l: & ſecet z b diametrum d g in f. Erunt ergo duo anguli apud b ęquales: [Quia enim
a g, b g ęquantur per 15 d 1, & communis eſt g f, angulusq́ue a g f ęquatus eſt angulo b g f: ęquabi-
tur baſis a f, baſi b f, & angulus f a g angulo f b g per 4 p 1. Eadem de cauſſa e a g, e b g æquãtur, quia
angulus b g e ęquatur angulo a g e per 13 p 1. Quare cum anguli ad a ęquentur, anguli ad b ęquabun-
tur. ] & comprehendetur z à uiſu ex b: [per 12 n 4] & erit punctum l imago z: [per 6 n 5] & cõtinue
mus k l: erit ergo k l diameter imaginis z h. Et quia t h eſt perpendicularis ſuper d e, & z t eſt ę-
qualis t h: erunt duę lineę e a, a h ęquales duabus li-
194[Figure 194]p d h t z f b g a ſ e k q neis e b, b z: [Quia enim t h, z t ęquantur per fabrica
tionem, & t f communis, anguliq́ue ad t recti ſunt: ę-
quabitur baſis h f baſi z f per 4 p 1: & a fiam antè ę-
qualis concluſa eſt ipſi b f: itaque tota a h ęquatur to
ti b z, & a e, b e ęquantur è cõcluſo] & duo anguli a-
pud a ſunt ęquales duobus angulis apud b: erit h e
ęqualis z e: [per 4 p 1] & linea g h eſt ęqualis lineę
z h [per 4 p 1: quia z t, t h ęquantur per fabricatio-
nem, & communis eſt t g, anguliq́ue ad t recti ſunt. ]
Ergo duæ lineę a g, g h ſunt ęquales duabus lineis
b g, g z, & baſis a h eſt ęqualis baſi b z: ergo [per 8 p
1] angulus a h k eſt ęqualis angulo b z l, & angulus h
a k eſt ęqualis z b l: ergo h k eſt ęqualis z l [per 26 p 1:
quia z b ęqualis concluſa eſt ipſi h a] & linea h g eſt
ęqualis z g: [è concluſo] ergo g k eſt æqualis g l: [per
19 p 5] ergo k l eſt ęquidiſtans z h, [per 27 p 1: nam
cum anguli ad uerticem g ęquentur per 15 p 1: ſitq́ue
per 7 p 5 l g ad g k, ſicut g z ad g h: ęquabitur per 6 p 6 angulus z l k angulo l z h. ] Item angulus h g a
eſt obtuſus [ex theſi & 33 p 6] & duo anguli apud a ſunt æquales: ergo linea g h eſt maior linea g k:
[Nam quia angulus a g h obtuſus: erit per 13 p 1 angulus a g k acutus, & h a g, g a k ſunt ęquales ex
theſi: quia punctum a eſt punctum reflexionis: quare per 32 p 1 angulus a k g maior eſt angulo a h k:
& per 19 p 1 in triangulo a h k latus a h maius eſt a k: ſed ut a h ad a k, ſic h g ad g k per 3 p 6: quia angu
li ad a æquales. Itaque cum a h maior ſit a k: erit h g maior g k] & ſimiliter z g eſt maior, quàm g l. Li-
nea ergo k l eſt minor, quàm z h [cum enim triangula k g l, h g z ſint ęquiangula per 15 p 1. 6 p 6: erit ք
4 p 6, ut g k ad g h, ſic k l ad z h: & cum g k ſit minor g h, erit k l minor z h. ] Sed k l eſt diameterima-
ginis z h: ergo z h uidetur minor, quàm ſit ſecundum ueritatem: & linea z h eſt ſuperficies faciei a-
picientis. Si ergo reuoluerimus circulum a d b, e d immobili: fiet ex duobus punctis a, b circulus
in ſuperficie ſpeculi: & erit ſitus uiſus e, reſpectu cuiuslibet comparis lineæ z h ex illo circulo, quem
ſignant puncta z, h, & ex omni arcu compari arcui a b ex portione ſpeculi, quam diuidit circulus,
quem ſignant duo puncta a, b, ſicut eſt ſitus, quem uiſus e habet ex linea z h, & ex arcu a b. Et ſimili-
ter declarabitur, ſi poſuerimus lineã z h maiorem, aut minorẽ. Patet ergo ex his omnib. quòd diame
ter ſuperficiei faciei aſpicientis cõprehenditur in ſpeculo cõcauo minor, ꝗ̃ ſit. Sciendum ergo, quòd
ſi fuerit uiſus in e: tunc aſpiciens comprehẽdet formam ſuam minorem, ꝗ̃ ſit. Et quia k eſt imago h,
& l eſt imago z: erit imago cõuerſa. Et ſic uifus e cõprehendet ſuam formam ſecundum quod eſt de-
xtrũ in ſiniſtro, & ſurſum deorſum, & è contrario. Similiter ſi uiſus fuerit in quolibet puncto, inter
quod & ſuperficiẽ ſpeculi fuerit centrũ ſpeculi: cõprehendet formã ſuã conuerſam. Et hoc eſt quod
uoluimus. Patet ergo ex his quatuor figuris, quòd in ſpeculo concauo imago quandoq; comprehẽ-
ditur maior: quandoq; minor: quandoq; ęqualis: & nunc recta, nunc conuerſa. Et in capitulo de ima
gine [72 n 5] diximus, quòd in ſpeculo cõcauo imago quandoq; erit una: quandoq; duę: quandoq;
tres: & quandoq; quatuor: & hoc idem accidit in his prędictis. Illud ergo, quod habet imaginem ſe
maiorem, fortè habebit alias minores & ęquales: & quod imaginem habet minorem, fortè habebit
alias maiores & minores. Et quod rectum uidebitur, fortè uidebitur ſub alia imagine conuerſum, &
è contrario. Reſtat ergo declarare formas eorum, quæ comprehenduntur in his ſpeculis.
trum, & faciat circulum a b: & extrahamus lineam g d, quocunque modo ſit: & tranſeat ex parte
gad e: & ſit uiſus in e: & ſit t in ſuperficie uiſus: & extrahamus t h perpendiculariter ſuper lineã
e d: [per 11 p 1] & ſit z t ęqualis t h: & comprehendat e punctum h ex a: & g h producta in p, compre-
hendat arcum a p maiorem quarta circuli. Sic ergo erunt duo puncta a, h, à duobus lateribus puncti
g. Nam ſi in eodem eſſent: tunc linea, quæ exiret à ſpeculo ad a, non diuideret angulum, quem conti
nent duæ lineę radiales, per ęqualia [ſicq́; , ut oſtenſum eſt 66 n 5, reflexio nulla fieret. ] Et extraha-
mus lineas e a, a h, g a, g h: & tranſeat g h rectè ad k: duo ergo anguli apud a erunt ęquales: [per the-
ſin & 12 n 4] & erit k imago h [per 6 n 5. ] Et ſit arcus b d ęqualis arcui d a: [fiet autem ęqualis per 33
p 6, ſi per 23 p 1 ęquaueris angulum d g b angulo d g a] & continuemus lineas e b, b z, b g: & extra-
hamus z g ad l: & ſecet z b diametrum d g in f. Erunt ergo duo anguli apud b ęquales: [Quia enim
a g, b g ęquantur per 15 d 1, & communis eſt g f, angulusq́ue a g f ęquatus eſt angulo b g f: ęquabi-
tur baſis a f, baſi b f, & angulus f a g angulo f b g per 4 p 1. Eadem de cauſſa e a g, e b g æquãtur, quia
angulus b g e ęquatur angulo a g e per 13 p 1. Quare cum anguli ad a ęquentur, anguli ad b ęquabun-
tur. ] & comprehendetur z à uiſu ex b: [per 12 n 4] & erit punctum l imago z: [per 6 n 5] & cõtinue
mus k l: erit ergo k l diameter imaginis z h. Et quia t h eſt perpendicularis ſuper d e, & z t eſt ę-
qualis t h: erunt duę lineę e a, a h ęquales duabus li-
194[Figure 194]p d h t z f b g a ſ e k q neis e b, b z: [Quia enim t h, z t ęquantur per fabrica
tionem, & t f communis, anguliq́ue ad t recti ſunt: ę-
quabitur baſis h f baſi z f per 4 p 1: & a fiam antè ę-
qualis concluſa eſt ipſi b f: itaque tota a h ęquatur to
ti b z, & a e, b e ęquantur è cõcluſo] & duo anguli a-
pud a ſunt ęquales duobus angulis apud b: erit h e
ęqualis z e: [per 4 p 1] & linea g h eſt ęqualis lineę
z h [per 4 p 1: quia z t, t h ęquantur per fabricatio-
nem, & communis eſt t g, anguliq́ue ad t recti ſunt. ]
Ergo duæ lineę a g, g h ſunt ęquales duabus lineis
b g, g z, & baſis a h eſt ęqualis baſi b z: ergo [per 8 p
1] angulus a h k eſt ęqualis angulo b z l, & angulus h
a k eſt ęqualis z b l: ergo h k eſt ęqualis z l [per 26 p 1:
quia z b ęqualis concluſa eſt ipſi h a] & linea h g eſt
ęqualis z g: [è concluſo] ergo g k eſt æqualis g l: [per
19 p 5] ergo k l eſt ęquidiſtans z h, [per 27 p 1: nam
cum anguli ad uerticem g ęquentur per 15 p 1: ſitq́ue
per 7 p 5 l g ad g k, ſicut g z ad g h: ęquabitur per 6 p 6 angulus z l k angulo l z h. ] Item angulus h g a
eſt obtuſus [ex theſi & 33 p 6] & duo anguli apud a ſunt æquales: ergo linea g h eſt maior linea g k:
[Nam quia angulus a g h obtuſus: erit per 13 p 1 angulus a g k acutus, & h a g, g a k ſunt ęquales ex
theſi: quia punctum a eſt punctum reflexionis: quare per 32 p 1 angulus a k g maior eſt angulo a h k:
& per 19 p 1 in triangulo a h k latus a h maius eſt a k: ſed ut a h ad a k, ſic h g ad g k per 3 p 6: quia angu
li ad a æquales. Itaque cum a h maior ſit a k: erit h g maior g k] & ſimiliter z g eſt maior, quàm g l. Li-
nea ergo k l eſt minor, quàm z h [cum enim triangula k g l, h g z ſint ęquiangula per 15 p 1. 6 p 6: erit ք
4 p 6, ut g k ad g h, ſic k l ad z h: & cum g k ſit minor g h, erit k l minor z h. ] Sed k l eſt diameterima-
ginis z h: ergo z h uidetur minor, quàm ſit ſecundum ueritatem: & linea z h eſt ſuperficies faciei a-
picientis. Si ergo reuoluerimus circulum a d b, e d immobili: fiet ex duobus punctis a, b circulus
in ſuperficie ſpeculi: & erit ſitus uiſus e, reſpectu cuiuslibet comparis lineæ z h ex illo circulo, quem
ſignant puncta z, h, & ex omni arcu compari arcui a b ex portione ſpeculi, quam diuidit circulus,
quem ſignant duo puncta a, b, ſicut eſt ſitus, quem uiſus e habet ex linea z h, & ex arcu a b. Et ſimili-
ter declarabitur, ſi poſuerimus lineã z h maiorem, aut minorẽ. Patet ergo ex his omnib. quòd diame
ter ſuperficiei faciei aſpicientis cõprehenditur in ſpeculo cõcauo minor, ꝗ̃ ſit. Sciendum ergo, quòd
ſi fuerit uiſus in e: tunc aſpiciens comprehẽdet formam ſuam minorem, ꝗ̃ ſit. Et quia k eſt imago h,
& l eſt imago z: erit imago cõuerſa. Et ſic uifus e cõprehendet ſuam formam ſecundum quod eſt de-
xtrũ in ſiniſtro, & ſurſum deorſum, & è contrario. Similiter ſi uiſus fuerit in quolibet puncto, inter
quod & ſuperficiẽ ſpeculi fuerit centrũ ſpeculi: cõprehendet formã ſuã conuerſam. Et hoc eſt quod
uoluimus. Patet ergo ex his quatuor figuris, quòd in ſpeculo concauo imago quandoq; comprehẽ-
ditur maior: quandoq; minor: quandoq; ęqualis: & nunc recta, nunc conuerſa. Et in capitulo de ima
gine [72 n 5] diximus, quòd in ſpeculo cõcauo imago quandoq; erit una: quandoq; duę: quandoq;
tres: & quandoq; quatuor: & hoc idem accidit in his prędictis. Illud ergo, quod habet imaginem ſe
maiorem, fortè habebit alias minores & ęquales: & quod imaginem habet minorem, fortè habebit
alias maiores & minores. Et quod rectum uidebitur, fortè uidebitur ſub alia imagine conuerſum, &
è contrario. Reſtat ergo declarare formas eorum, quæ comprehenduntur in his ſpeculis.
45. In ſpeculo ſphærico cauo imago lineæ rectæ aliquando uidetur recta. Et ſiduo lineæ rectæ
termini reflectantur à duob{us} punctis peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficie-
termini reflectantur à duob{us} punctis peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficie-