227221OPTICAE LIBER VI.
m, l, f eruntimagines punctiz.
Sic ergo z comprehendetur in tribus locis [quia à tribus punctis a,
b, d reflectitur ad uiſum e. ] Item extrahamus ex e lineam ad arcum d z, quomodocunque ſit: &
ſit e k: & continuemus g k: & ſecet arcum d z in k: & continuemus lineam k z, Quia ergo arcus
e g, g z ſunt æquales: [ex concluſo] erunt [per
198[Figure 198]ſ m s q c d r b n p t a h e g u i f 27 p 3] duo anguli e k g, g k z æquales. Et conti-
nuemus g k in r: & extrahamus e r, z r. Ergo an-
gulus e r g eſt maior angulo g r z. [Quia enim
anguli e k g, z k g æquales ſunt concluſi: æqua-
buntur anguli e k r, z k r per 13 p 1. Poſitis igitur
angulis ad r æqualibus: erunt triangula e k r, z k r
æquiangula per 32 p 1: & per 4 p 6 r k ad duasre-
ctas k e, k z eandem habebit rationem. Quare
ipſæ erunt æquales per 9 p 5: ideoq́; & periphe-
riæ e a d k & k z ipſis ſubtenſæ per 28 p 3: quod
fieri non poteſt. Nam quia rectæ a g, d g æquan-
tur per 15 d 1: æquabuntur peripheriæ a g, d g
ipſis ſubtenſæ per 28 p 3: & e g æqualis conclu-
ſa eſtipſi z g, reliqua igitur a e æquatur reliquæ
d z: ergo e a maior eſt k z per 9 ax: ergo e a d k
multò maior eſt k z. Quare angulus e r g non
eſt æqualis angulo g r z: nec eſt eo minor: quod
eodem argumento oſtendetur. Angulus igitur
e r g maior eſt angulo g r z] Sit ergo angulus
g r n æqualis angulo e r g [per 23 p 1. ] Duæ er-
go lineæ e r, r n reflectentur inter ſe, propter an-
gulos æquales [per 12 n 4] & extrahamus e r ad
q: erιt ergo q imago n reſpectu e. Et imaginemur
ſuperficiem exeuntem à linea m g f, perpendicu-
lariter ſuper circulum a b d: & extrahamus ex z
lineam in hac ſuperficie, perpendicularem ſuper
g z, & tranſeat in utranque partem. Sit ergo c z p:
& ponamus g centrum: & in longitudine g n fa-
ciamus arcum circuli c n p: ſecabit ergo lineam
c z p in duobus punctis: & ſint c, p: & continue-
mus lineas g c, g p. Erunt ergo in ſuperficie per-
pendiculari ſuper ſuperficiem a b d: & extraha-
mus g c, g p rectè: & ſuper g, & in longitudine
g q faciamus arcum circuli: ſecabit ergo duas li-
neas g c, g p: ſecet in s, o. Quia ergo ſuperficies
a b d circuli eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum g c, g p: erunt duo anguli
e g s, e g o recti [per 4 d 11] & e g perpendicularis ſuper ſuperficiem g c p: erit ergo [per 18 p 11]
utraque ſuperficies e g s, e g o perpendicularis ſuper ſuperficiem s g o: & utraque iſtarum dua-
rum ſuperficierum facit in ſpeculo circulum magnum, [per 1 th. 1 ſphær. ] comparem circulo a b d.
Punctum ergo circuli compar puncto r, eſt, quod facit ſuperficies e g s. Ergo concurrunt ex ipſo
ſecundum angulos æquales duæ lineæ inter duo puncta e, c: & ſimiliter inter duo puncta e, p: & li-
neæ g c, g p ſunt æquales [per 15 d 1] & lineæ g s, g q, g o ſunt æquales: & q eſt imago n: & s ima-
go c: & o imago p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte ſpeculi, eſt arcus s q o concauus ex
parte uiſus: & leſt imago z: & duo puncta s, o ſunt imagines c, p. Imago ergo lineæ c z p eſt linea
tranſiens per puncta s, l, o: & talis eſt concaua ex parte uiſus. Et ſignemus lineam tranſeuntem
per puncta s, l, o: & extrahamus lineam e g a d h. Si ergo ſpeculum non peruenit ad duo puncta b,
h, ſed alter ſuorum terminorum fuerit inter duo puncta b, h, & reliquus fuerit infra h, & uiſus fue-
rit in e: & duæ lineæ p z c, p n c fuerint in aliquo uiſibili: tunc forma lineæ p z c rectæ, erit conca-
ua, ſcilicet s l o: & forma arcus p n c conuexi erit etiam linea concaua, ſcilicet s q o. Et p z c re-
cta habebit unam imaginem: & arcus p n c habebit unam imaginem. Item extrahamus b g ad i:
& continuemus lineas e i, i z: iſtæ ergo duæ lineæ reflectuntur ſecundum angulos æquales: [Quia
enim e b, z b æquales ſunt concluſæ, & communis eſt b i: anguliq́ue e b i, z b i æquales per 27
p 3, ut patuit: æquabuntur per 4 p 1 anguli e i b, z i b] & e i ſecabit f g: ſecet ergo in u: u ergo
erit imago z [per 6 n 5. ] Puncta ergo m, l, u, f ſunt imagines z. Et ſi ſpeculum exceſſerit duo pun-
cta a, d, & uiſus fuerit in e, & dorſum aſpicientis fuerit ex parte arcus a i, & comprehenderit to-
tum arcum i d a: tunc z uidebitur in quatuor locis, ſcilicet l, m, u, f: & uidebit duo puncta p, cin
duobus punctis s, o: & ſic linea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: una tranſibit per
puncta s, m, o, ſcilicet linea s m o: ſecunda tranſibit per puncta s, l, o, ſcilicet linea s l o: tertia tran-
ſibit per puncta s, u, o, ſcilicet linea s u o: quarta tranſibit per puncta s, f, o, linea ſcilicet s f o. Pa-
b, d reflectitur ad uiſum e. ] Item extrahamus ex e lineam ad arcum d z, quomodocunque ſit: &
ſit e k: & continuemus g k: & ſecet arcum d z in k: & continuemus lineam k z, Quia ergo arcus
e g, g z ſunt æquales: [ex concluſo] erunt [per
198[Figure 198]ſ m s q c d r b n p t a h e g u i f 27 p 3] duo anguli e k g, g k z æquales. Et conti-
nuemus g k in r: & extrahamus e r, z r. Ergo an-
gulus e r g eſt maior angulo g r z. [Quia enim
anguli e k g, z k g æquales ſunt concluſi: æqua-
buntur anguli e k r, z k r per 13 p 1. Poſitis igitur
angulis ad r æqualibus: erunt triangula e k r, z k r
æquiangula per 32 p 1: & per 4 p 6 r k ad duasre-
ctas k e, k z eandem habebit rationem. Quare
ipſæ erunt æquales per 9 p 5: ideoq́; & periphe-
riæ e a d k & k z ipſis ſubtenſæ per 28 p 3: quod
fieri non poteſt. Nam quia rectæ a g, d g æquan-
tur per 15 d 1: æquabuntur peripheriæ a g, d g
ipſis ſubtenſæ per 28 p 3: & e g æqualis conclu-
ſa eſtipſi z g, reliqua igitur a e æquatur reliquæ
d z: ergo e a maior eſt k z per 9 ax: ergo e a d k
multò maior eſt k z. Quare angulus e r g non
eſt æqualis angulo g r z: nec eſt eo minor: quod
eodem argumento oſtendetur. Angulus igitur
e r g maior eſt angulo g r z] Sit ergo angulus
g r n æqualis angulo e r g [per 23 p 1. ] Duæ er-
go lineæ e r, r n reflectentur inter ſe, propter an-
gulos æquales [per 12 n 4] & extrahamus e r ad
q: erιt ergo q imago n reſpectu e. Et imaginemur
ſuperficiem exeuntem à linea m g f, perpendicu-
lariter ſuper circulum a b d: & extrahamus ex z
lineam in hac ſuperficie, perpendicularem ſuper
g z, & tranſeat in utranque partem. Sit ergo c z p:
& ponamus g centrum: & in longitudine g n fa-
ciamus arcum circuli c n p: ſecabit ergo lineam
c z p in duobus punctis: & ſint c, p: & continue-
mus lineas g c, g p. Erunt ergo in ſuperficie per-
pendiculari ſuper ſuperficiem a b d: & extraha-
mus g c, g p rectè: & ſuper g, & in longitudine
g q faciamus arcum circuli: ſecabit ergo duas li-
neas g c, g p: ſecet in s, o. Quia ergo ſuperficies
a b d circuli eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum g c, g p: erunt duo anguli
e g s, e g o recti [per 4 d 11] & e g perpendicularis ſuper ſuperficiem g c p: erit ergo [per 18 p 11]
utraque ſuperficies e g s, e g o perpendicularis ſuper ſuperficiem s g o: & utraque iſtarum dua-
rum ſuperficierum facit in ſpeculo circulum magnum, [per 1 th. 1 ſphær. ] comparem circulo a b d.
Punctum ergo circuli compar puncto r, eſt, quod facit ſuperficies e g s. Ergo concurrunt ex ipſo
ſecundum angulos æquales duæ lineæ inter duo puncta e, c: & ſimiliter inter duo puncta e, p: & li-
neæ g c, g p ſunt æquales [per 15 d 1] & lineæ g s, g q, g o ſunt æquales: & q eſt imago n: & s ima-
go c: & o imago p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte ſpeculi, eſt arcus s q o concauus ex
parte uiſus: & leſt imago z: & duo puncta s, o ſunt imagines c, p. Imago ergo lineæ c z p eſt linea
tranſiens per puncta s, l, o: & talis eſt concaua ex parte uiſus. Et ſignemus lineam tranſeuntem
per puncta s, l, o: & extrahamus lineam e g a d h. Si ergo ſpeculum non peruenit ad duo puncta b,
h, ſed alter ſuorum terminorum fuerit inter duo puncta b, h, & reliquus fuerit infra h, & uiſus fue-
rit in e: & duæ lineæ p z c, p n c fuerint in aliquo uiſibili: tunc forma lineæ p z c rectæ, erit conca-
ua, ſcilicet s l o: & forma arcus p n c conuexi erit etiam linea concaua, ſcilicet s q o. Et p z c re-
cta habebit unam imaginem: & arcus p n c habebit unam imaginem. Item extrahamus b g ad i:
& continuemus lineas e i, i z: iſtæ ergo duæ lineæ reflectuntur ſecundum angulos æquales: [Quia
enim e b, z b æquales ſunt concluſæ, & communis eſt b i: anguliq́ue e b i, z b i æquales per 27
p 3, ut patuit: æquabuntur per 4 p 1 anguli e i b, z i b] & e i ſecabit f g: ſecet ergo in u: u ergo
erit imago z [per 6 n 5. ] Puncta ergo m, l, u, f ſunt imagines z. Et ſi ſpeculum exceſſerit duo pun-
cta a, d, & uiſus fuerit in e, & dorſum aſpicientis fuerit ex parte arcus a i, & comprehenderit to-
tum arcum i d a: tunc z uidebitur in quatuor locis, ſcilicet l, m, u, f: & uidebit duo puncta p, cin
duobus punctis s, o: & ſic linea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: una tranſibit per
puncta s, m, o, ſcilicet linea s m o: ſecunda tranſibit per puncta s, l, o, ſcilicet linea s l o: tertia tran-
ſibit per puncta s, u, o, ſcilicet linea s u o: quarta tranſibit per puncta s, f, o, linea ſcilicet s f o. Pa-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib