22734
Nam ſumpto quovis in recta TS puncto K, &
ductâ KG ad
AZ parallelâ; quoniam verſus partes AT velocitas aſcendentis
puncti, curvam efficientis, ſemper decreſcit ab M ad O, illi verò
ex hypotheſi par velocitas puncti rectam MT gignentis haud de-
creſcit ab M ad K, ſitque tempus MG commune, erit ſpatium
GO minus quàm GK; unde punctum K erit extra curvam. Item,
quia verſus alteras partes, velocitas deſcendentis, quo curva fit, in-
creſcit ſemper ab M verſus O; æqualis autem ei velocitas, quâ recta
MS fit, haud creſcit ab M ad K; idémque ſit rurſus tempus MG,
liquet rectam GO excedere rectam GK; & idcirco punctum K ſupra
curvam exiſtere. Quare mani@eſtum eſt omnia dictæ rectæ puncta
extra curvam exiſtere; & eam proinde curvam contingere:
Q. E. D.
AZ parallelâ; quoniam verſus partes AT velocitas aſcendentis
puncti, curvam efficientis, ſemper decreſcit ab M ad O, illi verò
ex hypotheſi par velocitas puncti rectam MT gignentis haud de-
creſcit ab M ad K, ſitque tempus MG commune, erit ſpatium
GO minus quàm GK; unde punctum K erit extra curvam. Item,
quia verſus alteras partes, velocitas deſcendentis, quo curva fit, in-
creſcit ſemper ab M verſus O; æqualis autem ei velocitas, quâ recta
MS fit, haud creſcit ab M ad K; idémque ſit rurſus tempus MG,
liquet rectam GO excedere rectam GK; & idcirco punctum K ſupra
curvam exiſtere. Quare mani@eſtum eſt omnia dictæ rectæ puncta
extra curvam exiſtere; & eam proinde curvam contingere:
Q. E. D.
XIII.
Ex hiſce ſtatim _conſectatur, hujuſmodi curvas ad unum_
_punctum ab una tantùm recta contingi._
_punctum ab una tantùm recta contingi._
Nam tangere ponatur recta MT curvam AMO ad M;
&
ſi
fieri poteſt altera MX etiam tangat. Ergo eodem tempore, eâdem
velocitate (illâ ſcilicet, quæ puncti curvam deſcribentis ad contactum
M acquiſitæ velocitati æquatur) deſcribetur utraque recta XP, TM;
quare XP, TP æquales erunt, totum & pars: Q. E. A. Ergo
non tanget altera præter poſitam MT. ‖ _Hanc ſpeciatim de circule_
_demonſtravit Euclides; de Sectionibus Conicis Apollonius_, de lineis
aliis alii. Exhinc _Lucrum_ emergit haud aſpernandum, quòd eâdem
operâ _propoſitiones de tangentibus inve ſæ demonſtrantur._ Nempe ſi
determinetur angulus PMT (vel alter quiſpiam quem recta po-
ſitione data cum tangente facit ad punctum curvæ deſignatum) aut ſi
determinetur quantitas rectæ PT (vel ſimilis cujuſpiam alterius à
11_Eucl. III._ 16,
17. puncto in data poſitione recta deſignato per tangentem interceptæ)
eo tangens determinabitur. Et permutatim, ſi tangens ſitu deter-
22_Apoll. I._ 32, 33,
34, 35, 36. minetur, angulorum atque linearum ejuſmodi quantitas indè digno-
ſcetur. Adeóque parcetur operæ, qualem inſumpſerunt plerique
tales propoſitiones inverſas demonſtrandi. Quod & eo magìs ob-
ſervatu dignum eſt, quia ſæpe talium inverſarum propoſitionum
una quàm altera longè promptiùs invenitur, atque faciliùs demon-
ſtratur. Cujus obſervationis, niſi longiùs evagari nollem, in promptu
forent _Specimina_.
fieri poteſt altera MX etiam tangat. Ergo eodem tempore, eâdem
velocitate (illâ ſcilicet, quæ puncti curvam deſcribentis ad contactum
M acquiſitæ velocitati æquatur) deſcribetur utraque recta XP, TM;
quare XP, TP æquales erunt, totum & pars: Q. E. A. Ergo
non tanget altera præter poſitam MT. ‖ _Hanc ſpeciatim de circule_
_demonſtravit Euclides; de Sectionibus Conicis Apollonius_, de lineis
aliis alii. Exhinc _Lucrum_ emergit haud aſpernandum, quòd eâdem
operâ _propoſitiones de tangentibus inve ſæ demonſtrantur._ Nempe ſi
determinetur angulus PMT (vel alter quiſpiam quem recta po-
ſitione data cum tangente facit ad punctum curvæ deſignatum) aut ſi
determinetur quantitas rectæ PT (vel ſimilis cujuſpiam alterius à
11_Eucl. III._ 16,
17. puncto in data poſitione recta deſignato per tangentem interceptæ)
eo tangens determinabitur. Et permutatim, ſi tangens ſitu deter-
22_Apoll. I._ 32, 33,
34, 35, 36. minetur, angulorum atque linearum ejuſmodi quantitas indè digno-
ſcetur. Adeóque parcetur operæ, qualem inſumpſerunt plerique
tales propoſitiones inverſas demonſtrandi. Quod & eo magìs ob-
ſervatu dignum eſt, quia ſæpe talium inverſarum propoſitionum
una quàm altera longè promptiùs invenitur, atque faciliùs demon-
ſtratur. Cujus obſervationis, niſi longiùs evagari nollem, in promptu
forent _Specimina_.
XIV.
E dictis infertur puncti deſcendentis velocitates in duobus
quibuſvis deſignatis curvæ punctis ad ſe proportionem habere
quibuſvis deſignatis curvæ punctis ad ſe proportionem habere