229199LIBER QVARTVS.
Inventa circumferentia ex diametro, vel diametro ex circumferentia, re-
perietur area circuli, vt Num. 1. tra ditum eſt: ſi nimirum ſemidiameter in ſemicir-
cumferentiam ducatur: vel tota circumferentia in ſemiſſem ſemidiametri: vel
deniq; tota diameter in quartam partem circumferentiæ. quæ quidem area mi-
nus à vera diſtabit, quam illa, quæ ex proportione Archimedis inuenitur. Sed
quia diffi cilius eſt per magnos numeros calculum inſtituere, quam per minores,
vſus artificum obtinuit, vt proportio Archimedis ad calculum ad hibeatur. Quã-
do tamẽ deſideratur accuratior calculus, vtendum erit poſteriori hac propor-
tione Ludolphi, præſertimin maioribus circulis.
perietur area circuli, vt Num. 1. tra ditum eſt: ſi nimirum ſemidiameter in ſemicir-
cumferentiam ducatur: vel tota circumferentia in ſemiſſem ſemidiametri: vel
deniq; tota diameter in quartam partem circumferentiæ. quæ quidem area mi-
nus à vera diſtabit, quam illa, quæ ex proportione Archimedis inuenitur. Sed
quia diffi cilius eſt per magnos numeros calculum inſtituere, quam per minores,
vſus artificum obtinuit, vt proportio Archimedis ad calculum ad hibeatur. Quã-
do tamẽ deſideratur accuratior calculus, vtendum erit poſteriori hac propor-
tione Ludolphi, præſertimin maioribus circulis.
Capvt VIII.
6868[Handwritten note 68]
1.
Sit primum propoſitus ſector circuli ABCD, comprehenſus duabus ſe-
midiametris AB, AD, & arcu BCD. Huius aream ita explorabimus. Si tam
ſemidiameter AB, nota ſit, nimirum palmorum 7. quam arcus B C D, palmorum
videlicet 3 {2/3}. ducatur ſemidiameter 7. in {11/6}. id eſt, in ſemiſſem arcus, Produ-
ctus enim numerus 12 {5/6}. palm. erit area ſectoris ABCD, vt demonſtrabimus. Si
autem neque ſemidiameter AB, ne que perip heria BCD, data ſit, menſuranda erit
ſemidiameter aliqua menſura nota, & ſecundum
144[Figure 144]
eandem menſuram inuenienda circumſerẽtia cir-
culi per regulas antecedentis capit. necnonrecta
BD. Deinde ſiat, vt AB, nota in aſſumpta menſu-
ra ad ſinum totum 100000. ita BD, nota in eadem
menſura aſſumpta ad aliud. Numerus enim pro-
creatus dabit rectam B D, cognitam in partibus ſi-
nus totius. Huius autem medietas ſinus erit ſemiſsis arcus B D: ac proinde ex
tabula ſinuũ ſemiſsis BC, in gradib. nota erit, ideoq; totus arcus BD, nõ ignora-
bitur. Et quiatota circuli circumferentia nota facta eſt in aſſumpta menſura: ſi
fiat vt grad. 360. ad totam circumferentia in aſſumpta menſura cognitam, ita ar-
cus BD, in gradibus cognitus ad aliud, cognoſcetur idem arcus B D, in menſura
aſſumpta. Quare, vt prius, area ſectoris A B C D, reperietur. Poſlent quoque
gradus in arcu BD, contenti inueſtigari beneficio quadrantis alicuius in gradus
diuiſi, adhibita doctrina cap. 2. lib. 1. Nume. 10. tradita, vt minuta etiam cogno-
ſcantur, quando in arcu BD, vltra gradus aliqua particula ſupereſt.
midiametris AB, AD, & arcu BCD. Huius aream ita explorabimus. Si tam
ſemidiameter AB, nota ſit, nimirum palmorum 7. quam arcus B C D, palmorum
videlicet 3 {2/3}. ducatur ſemidiameter 7. in {11/6}. id eſt, in ſemiſſem arcus, Produ-
ctus enim numerus 12 {5/6}. palm. erit area ſectoris ABCD, vt demonſtrabimus. Si
autem neque ſemidiameter AB, ne que perip heria BCD, data ſit, menſuranda erit
ſemidiameter aliqua menſura nota, & ſecundum
culi per regulas antecedentis capit. necnonrecta
BD. Deinde ſiat, vt AB, nota in aſſumpta menſu-
ra ad ſinum totum 100000. ita BD, nota in eadem
menſura aſſumpta ad aliud. Numerus enim pro-
creatus dabit rectam B D, cognitam in partibus ſi-
nus totius. Huius autem medietas ſinus erit ſemiſsis arcus B D: ac proinde ex
tabula ſinuũ ſemiſsis BC, in gradib. nota erit, ideoq; totus arcus BD, nõ ignora-
bitur. Et quiatota circuli circumferentia nota facta eſt in aſſumpta menſura: ſi
fiat vt grad. 360. ad totam circumferentia in aſſumpta menſura cognitam, ita ar-
cus BD, in gradibus cognitus ad aliud, cognoſcetur idem arcus B D, in menſura
aſſumpta. Quare, vt prius, area ſectoris A B C D, reperietur. Poſlent quoque
gradus in arcu BD, contenti inueſtigari beneficio quadrantis alicuius in gradus
diuiſi, adhibita doctrina cap. 2. lib. 1. Nume. 10. tradita, vt minuta etiam cogno-
ſcantur, quando in arcu BD, vltra gradus aliqua particula ſupereſt.
Aream porro ſectoris produci ex ſemidiametro in ſemiſſem arcus ſectoris,
6969[Handwritten note 69] ſic demonſtro. Sit quadrans B E, & ſemicirculus BEF. Et quoniam eſt, vt 1133. ſexti. cus B D, ad quadrantem BE, ita ſector ABCD, ad ſectorem ABDE: erit quo que
ex ſcholio propoſ. 22. lib. 5. Eucli. vt arcus BD, ad quadruplum quadrantis BE,
hoc eſt, ad totam circumferentiam, ita ſector A B C D, ad quadruplum ſectoris
A B D E, hoc eſt, ad totum circulum. Vt autem arcus BD, ad totam 2215. quinti. ferentiam, ita eſt BC, ſemiſsis arcus BD, ad BEF, ſemiſſem totius circumferentiæ.
Igitur erit quo que vt B C, ad B E F, ita ſector A B C D, ad totum circulum. 331. ſexti. Sed vt B C, ad B E F, ita eſt rectangulum ſub A B, B C, ad rectangulum ſub
AB, BEF. Ergo erit quoq; ſector ABCD, ad totũ circulum, vtrectangulum ſub
AB, BC, ad rectangulum ſub AB, BEF. Cum ergo vt cap. 7. Num. 1.
6969[Handwritten note 69] ſic demonſtro. Sit quadrans B E, & ſemicirculus BEF. Et quoniam eſt, vt 1133. ſexti. cus B D, ad quadrantem BE, ita ſector ABCD, ad ſectorem ABDE: erit quo que
ex ſcholio propoſ. 22. lib. 5. Eucli. vt arcus BD, ad quadruplum quadrantis BE,
hoc eſt, ad totam circumferentiam, ita ſector A B C D, ad quadruplum ſectoris
A B D E, hoc eſt, ad totum circulum. Vt autem arcus BD, ad totam 2215. quinti. ferentiam, ita eſt BC, ſemiſsis arcus BD, ad BEF, ſemiſſem totius circumferentiæ.
Igitur erit quo que vt B C, ad B E F, ita ſector A B C D, ad totum circulum. 331. ſexti. Sed vt B C, ad B E F, ita eſt rectangulum ſub A B, B C, ad rectangulum ſub
AB, BEF. Ergo erit quoq; ſector ABCD, ad totũ circulum, vtrectangulum ſub
AB, BC, ad rectangulum ſub AB, BEF. Cum ergo vt cap. 7. Num. 1.