23 uatiõis puta partes aliquote .b. et partes aliquo
te .d. / vt patet ex ſexta ſuppoſitione: et qualibet illa
rum in .b. equalis erit ipſi .a. quia antea erat equa
lis: ēt quelibet in .d. et equalis ipſi .c. eadē ratione /
igitur .c. eſt pars aliquota .d. illius denominatio-
nis cuius .a. eſt pars aliquota .b. / quod fuit probã-
dum. Et ſic patet: ſecunda pars ſuppoſitionis: et
prima patet de ſe: quia vter talium numerorum
habet ad talem partem aliquotam ſui ꝓportionē
duplam q2 eſt ſua medietas Continet eteuim eam
bis: igitur ad eam habet proportionem duplam.
¶ Ex iſta ſuppoſitione ſequitur: ſi vtra illaruꝫ
quantitatum ſiue numerorum ſit diuiſorum in ꝑ-
tes aliquotas eiuſdem denominationis ꝑdat vnã
talē partē aliquotã adequate: eq̈le proportionem
deꝑdit Patꝫ / q2 eq̈lē ꝓportionē vter hab3 ad ag
gregatū ex oībꝰ dēpta vna / vt ptꝫ ex .8. ſuppoſitiõe
et illam deperdit / vt conſtat igitur. ¶ Sequitur ſe
cundo / ſi vter duorum numerorum ſit diuiſus
in ꝑtes aliquotas eiuſdē denominatiõs: et acq̇rat
vnã illarum partiū ſupra ſe p̄ciſe eq̈le ꝓportionē
acquirit vter Patet ex priori correlario. q2 quã
do vter illorum illam partem deperdit equalem
ꝓportionē deperdit / ergo quando acquirit equa-
lem acquirit: igitur.
te .d. / vt patet ex ſexta ſuppoſitione: et qualibet illa
rum in .b. equalis erit ipſi .a. quia antea erat equa
lis: ēt quelibet in .d. et equalis ipſi .c. eadē ratione /
igitur .c. eſt pars aliquota .d. illius denominatio-
nis cuius .a. eſt pars aliquota .b. / quod fuit probã-
dum. Et ſic patet: ſecunda pars ſuppoſitionis: et
prima patet de ſe: quia vter talium numerorum
habet ad talem partem aliquotam ſui ꝓportionē
duplam q2 eſt ſua medietas Continet eteuim eam
bis: igitur ad eam habet proportionem duplam.
¶ Ex iſta ſuppoſitione ſequitur: ſi vtra illaruꝫ
quantitatum ſiue numerorum ſit diuiſorum in ꝑ-
tes aliquotas eiuſdem denominationis ꝑdat vnã
talē partē aliquotã adequate: eq̈le proportionem
deꝑdit Patꝫ / q2 eq̈lē ꝓportionē vter hab3 ad ag
gregatū ex oībꝰ dēpta vna / vt ptꝫ ex .8. ſuppoſitiõe
et illam deperdit / vt conſtat igitur. ¶ Sequitur ſe
cundo / ſi vter duorum numerorum ſit diuiſus
in ꝑtes aliquotas eiuſdē denominatiõs: et acq̇rat
vnã illarum partiū ſupra ſe p̄ciſe eq̈le ꝓportionē
acquirit vter Patet ex priori correlario. q2 quã
do vter illorum illam partem deperdit equalem
ꝓportionē deperdit / ergo quando acquirit equa-
lem acquirit: igitur.
Nona ſuppoſitio
Si duo numeri in
equales ſiue quantitates ſe habeant in aliqua ꝓ-
portione: et maior illorum deperdat aliquam pro
portionem ſtante minori inuariato: tunc ꝓportio
inter maiorē et minorē deꝑdit illã ꝓportionē quã
deꝑdit maior adeq̈te. dūmõ minor ſēꝑ maneat mi
nor. vt ſi ꝓportionis q̄ eſt inter .8. et .4. maior nūe
rus puta octonariꝰ ꝑdat ꝓportionē ſexquitertiaꝫ
que eſt octo ad ſex illam ꝓportionem deperdit ꝓ-
portio que eſt inter octo et quattuor. Probatur / et
ſint .a.b. numerus maior et .c. numerus minor in-
ter quos ſit proportio .g. ſit .b. numerus maior
c. / et manifeſtum eſt / ꝓportio .a.b. ad .c. componi-
tur ex proportione .a.b. ad .b et .b. ad .c. vt poſtea vi
debitur. Deperdat igitur numerus maior ꝓpor-
tioneꝫ que eſt .a.b. ad .b. / et arguitur ſic / ꝓportio .g.
componebatur antea ex proportione .a.b. ad .b.
et .b. ad .c. modo non manet niſi proportio .b. ad .c. /
igitur proportio .g. ꝑdit ꝓportionē ab. ad .b. et illã
deperdat numerus maior / igitur.
equales ſiue quantitates ſe habeant in aliqua ꝓ-
portione: et maior illorum deperdat aliquam pro
portionem ſtante minori inuariato: tunc ꝓportio
inter maiorē et minorē deꝑdit illã ꝓportionē quã
deꝑdit maior adeq̈te. dūmõ minor ſēꝑ maneat mi
nor. vt ſi ꝓportionis q̄ eſt inter .8. et .4. maior nūe
rus puta octonariꝰ ꝑdat ꝓportionē ſexquitertiaꝫ
que eſt octo ad ſex illam ꝓportionem deperdit ꝓ-
portio que eſt inter octo et quattuor. Probatur / et
ſint .a.b. numerus maior et .c. numerus minor in-
ter quos ſit proportio .g. ſit .b. numerus maior
c. / et manifeſtum eſt / ꝓportio .a.b. ad .c. componi-
tur ex proportione .a.b. ad .b et .b. ad .c. vt poſtea vi
debitur. Deperdat igitur numerus maior ꝓpor-
tioneꝫ que eſt .a.b. ad .b. / et arguitur ſic / ꝓportio .g.
componebatur antea ex proportione .a.b. ad .b.
et .b. ad .c. modo non manet niſi proportio .b. ad .c. /
igitur proportio .g. ꝑdit ꝓportionē ab. ad .b. et illã
deperdat numerus maior / igitur.
Decima ſuppoſitio
Si duo numeri
ſiue quantitates inequales ſe habeant in aliqua
proportione: et minor deperdat aliquam propor
tionem ſtante moiore: illam proportionem acqui
rit proportio que eſt inter maiorem quantitatem
et minorem. et ſi tantam proportionem deperdat
quantitas maior ſicut minor: tunc proportio in-
ter maiorem et minorem nec augetur nec diminui
tur: ſed ſemper manet equalis extremis manenti-
bus quãtitatis. vt ſi proportionis que eſt inter .8.
et .quattuor. minor numerus perdat proportionē
duplam ſtante maiore proportio inter maiorem
et minorem acquirit proportionem duplaꝫ: et ſi qñ
numerus minor perdit duplã etiaꝫ maior perdat
duplã: illi numeri manebūt in eadem proportiõe
in qua antea ſe habebant. Erunt enim tn fine
4. et .2. Probatur prima pars ſuppoſitionis. et
ſint .a. numerus maior et .b.c. numerus minor īter
quos ſit proportio .g. et īuariato .a. perdat nume-
rus minor proportionē que eſt .b.c. ad .c. / et manife
ſtum eſt / in fine proportio īter illos numeros cõ-
ponetur ex proportione .a. ad .b.c. et .b.c. ad .c. et an
tea proportio illa inter illos numeros puta .g. e-
rat preciſe proportio .a. ad .b.c: et modo ꝓportio
inter illos numeros cõponitur ex illa ꝓportione
g. que eſt .a. ad .b.c. et ex proportione .b.c. ad .c. / ergo
acquiſiuit ꝓportionē que eſt .b.c. ad .c. et illam de-
perdit quantitas minor .b.c. / igitur ꝓpoſitū. Se-
cunda pars facile deducitur ex prima et penultīa
ſuppoſitione: quoniam quantam ꝓportionem de
perdit quantitas minor tantam acquirit ꝓportio
inter maiorem et minorem ſtante maiore: vt patet
ex priori parte iſtius ſuppoſitionis: et quantam ꝓ
portionem deperdit quantitas maior tantam de
perdit proportio inter ipſam et minorē quantita
tem ſtante minore: vt patet ex penultima: igitur ſi
tantam ꝓportionem deꝑdat maior quantitas ſi-
cut deperdit minor quantitas: proportio illa in
ter maiorē et minorem nullã proportionē acquirit
nec deperdit: et ſic in illas quantitates manet
eadem proportio. ¶ Ex quo ſequitur / ſi tantam
proportioneꝫ adequate acquirat quãtitas minor
quantam acquirit quãtitas maior: ſemper mane
bit eadem proportio. Probatur / quia ſi ille quan
titates illas proportiones equales quas acquiſi-
uerunt deperdant manebunt in eadem proportio
ne in qua modo ſe habent: et illa eſt proportio in
qua ſe habebant ante acquiſitionem illarum pro
portionum equaliū: igitur quando quãtitates ac
quirunt ꝓpportiones equales ipſe manet in eadē
proportione in qua ſe habebant antea.
ſiue quantitates inequales ſe habeant in aliqua
proportione: et minor deperdat aliquam propor
tionem ſtante moiore: illam proportionem acqui
rit proportio que eſt inter maiorem quantitatem
et minorem. et ſi tantam proportionem deperdat
quantitas maior ſicut minor: tunc proportio in-
ter maiorem et minorem nec augetur nec diminui
tur: ſed ſemper manet equalis extremis manenti-
bus quãtitatis. vt ſi proportionis que eſt inter .8.
et .quattuor. minor numerus perdat proportionē
duplam ſtante maiore proportio inter maiorem
et minorem acquirit proportionem duplaꝫ: et ſi qñ
numerus minor perdit duplã etiaꝫ maior perdat
duplã: illi numeri manebūt in eadem proportiõe
in qua antea ſe habebant. Erunt enim tn fine
4. et .2. Probatur prima pars ſuppoſitionis. et
ſint .a. numerus maior et .b.c. numerus minor īter
quos ſit proportio .g. et īuariato .a. perdat nume-
rus minor proportionē que eſt .b.c. ad .c. / et manife
ſtum eſt / in fine proportio īter illos numeros cõ-
ponetur ex proportione .a. ad .b.c. et .b.c. ad .c. et an
tea proportio illa inter illos numeros puta .g. e-
rat preciſe proportio .a. ad .b.c: et modo ꝓportio
inter illos numeros cõponitur ex illa ꝓportione
g. que eſt .a. ad .b.c. et ex proportione .b.c. ad .c. / ergo
acquiſiuit ꝓportionē que eſt .b.c. ad .c. et illam de-
perdit quantitas minor .b.c. / igitur ꝓpoſitū. Se-
cunda pars facile deducitur ex prima et penultīa
ſuppoſitione: quoniam quantam ꝓportionem de
perdit quantitas minor tantam acquirit ꝓportio
inter maiorem et minorem ſtante maiore: vt patet
ex priori parte iſtius ſuppoſitionis: et quantam ꝓ
portionem deperdit quantitas maior tantam de
perdit proportio inter ipſam et minorē quantita
tem ſtante minore: vt patet ex penultima: igitur ſi
tantam ꝓportionem deꝑdat maior quantitas ſi-
cut deperdit minor quantitas: proportio illa in
ter maiorē et minorem nullã proportionē acquirit
nec deperdit: et ſic in illas quantitates manet
eadem proportio. ¶ Ex quo ſequitur / ſi tantam
proportioneꝫ adequate acquirat quãtitas minor
quantam acquirit quãtitas maior: ſemper mane
bit eadem proportio. Probatur / quia ſi ille quan
titates illas proportiones equales quas acquiſi-
uerunt deperdant manebunt in eadem proportio
ne in qua modo ſe habent: et illa eſt proportio in
qua ſe habebant ante acquiſitionem illarum pro
portionum equaliū: igitur quando quãtitates ac
quirunt ꝓpportiones equales ipſe manet in eadē
proportione in qua ſe habebant antea.
Undecima ſuppoſitio.
Quecū pro
portio eſt inter aliquos numeros ſiue quãtitates
talis eſt inter partes aliquotas conſimilis deno-
minationis. vt qualis eſt proportio inter .8. et .4.
talis eſt intermedietatē .8. et medietateꝫ .4. et quar
tam .8. et quartam .4. Probatur / ſint duo numeri
primus .a.b.c. ſecundus .d.e.f. diuiſi in partes ali-
quotas eiuſedem denominationis puta primus in
a.b.c. et ſecundus in .d.e. et .f. / tunc dico / qualis eſt
proportio .a.b.c. ad .d.e.f. talis eſt .c. ad .f. Quod ꝓ
batur ſic. et ſit inter illos numeros ſiue quantita
tes .g. ꝓportio: et deperdat numerus maior .a. per
tem aliquotam et minor .d. partem aliquotam cõ
ſimilis denominationis: et manifeſtum eſt / quã
tam proportionem deperdit numerus maior tan
tam deperdit numerus minor / vt patet ex prīo cor
relario octaue ſuppoſitionis / ergo reſidui numeri
adhuc manent in eadē proportione puta .g. Pa-
tet conſequentia ex ſeunda parte decime ſuppoſi
tionis: et reſidui numeri puta .b.c. et .e.f. adhuc ma
nent diuiſi in partes aliquotas eiuſdem denomi-
nationis / vt patet ex ſexta ſuppoſitiõe: perdat igi
tur numerus maior .b. partem aliquotam et nume
rus minor .e. partem aliquotam: et ſequitur / eq̈
lē ꝓportionē deperdit nūerꝰ maior et nūerꝰ minor /
vt iã argutū eſt: ergo reſidui numeri manent in ca
dem proportione in qua antea ſe habebant puta
g. / vt patet ex ſecunda parte decime ſuppoſitionis
et reſidui numeri ſunt .c. et .f. / ergo c. et .f. ſe habent
in .g. proportione et .c. et .f. ſunt ꝑtes aliquote eiuſ
dem denominationis datorum numerorum ſe ha
bentium in .g. proportione: igitur in quacun por
portione ſe habent alique quantitaters in eadem
ſe habent ſue partes aliquote eiuſdem denomina
tionis / quod fuit probandum. ¶ Et hac ſuppoſi-
portio eſt inter aliquos numeros ſiue quãtitates
talis eſt inter partes aliquotas conſimilis deno-
minationis. vt qualis eſt proportio inter .8. et .4.
talis eſt intermedietatē .8. et medietateꝫ .4. et quar
tam .8. et quartam .4. Probatur / ſint duo numeri
primus .a.b.c. ſecundus .d.e.f. diuiſi in partes ali-
quotas eiuſedem denominationis puta primus in
a.b.c. et ſecundus in .d.e. et .f. / tunc dico / qualis eſt
proportio .a.b.c. ad .d.e.f. talis eſt .c. ad .f. Quod ꝓ
batur ſic. et ſit inter illos numeros ſiue quantita
tes .g. ꝓportio: et deperdat numerus maior .a. per
tem aliquotam et minor .d. partem aliquotam cõ
ſimilis denominationis: et manifeſtum eſt / quã
tam proportionem deperdit numerus maior tan
tam deperdit numerus minor / vt patet ex prīo cor
relario octaue ſuppoſitionis / ergo reſidui numeri
adhuc manent in eadē proportione puta .g. Pa-
tet conſequentia ex ſeunda parte decime ſuppoſi
tionis: et reſidui numeri puta .b.c. et .e.f. adhuc ma
nent diuiſi in partes aliquotas eiuſdem denomi-
nationis / vt patet ex ſexta ſuppoſitiõe: perdat igi
tur numerus maior .b. partem aliquotam et nume
rus minor .e. partem aliquotam: et ſequitur / eq̈
lē ꝓportionē deperdit nūerꝰ maior et nūerꝰ minor /
vt iã argutū eſt: ergo reſidui numeri manent in ca
dem proportione in qua antea ſe habebant puta
g. / vt patet ex ſecunda parte decime ſuppoſitionis
et reſidui numeri ſunt .c. et .f. / ergo c. et .f. ſe habent
in .g. proportione et .c. et .f. ſunt ꝑtes aliquote eiuſ
dem denominationis datorum numerorum ſe ha
bentium in .g. proportione: igitur in quacun por
portione ſe habent alique quantitaters in eadem
ſe habent ſue partes aliquote eiuſdem denomina
tionis / quod fuit probandum. ¶ Et hac ſuppoſi-