230224ALHAZEN
49. In ſpeculo ſphærico cauo imago lineæ rectæ aliquando uidetur conuexa. 57 p 8.
HIs præoſtenſis, iteremus circulum, & perficiamus demonſtrationem, ne multiplicentur & li-
neæ, & dubitentur literæ. Sit ergo circulus in ſecunda figura a b g: & centrum d: & extraha-
mus lineam d q: & ſit d b æqualis d b in prima figura: & d o æqualis d o in prima figura: & d q
ſit compar ſibi in prima figura: & ſimiliter d u: & extrahamus ſuper d q perpendicularem ſuper ſu-
perficiem circuli [per 12 p 11] & ſit d h æqualis ſibi in prima figura. Angulus ergo h d q erit rectus:
[per 3 d 11] & circulus, quem facit h d q in ſpeculo, erit ex circulis, ex quibus forma punctorum o, u
reflectitur: & erit arcus, quem menſurant lineæ h d, d q, æqualis arcui a g in primo circulo: [per 33 p
6: quia uterque ſubtendit angulum rectum] & ex duobus punctis iſtius arcus, comparibus duobus
punctis b, f, reflectentur duo puncta lineæ u p ad duo puncta n, q æqualiter. Erit ergo q imago o, &
n imago u. Et extrahamus ex u perpendicularem lineam in ſuperficie circuli a b g, ſuper lineam d u
[per 11 p 1] & ſit z u e: & ſit d centrum: & in longitudine d o faciamus arcum circuli: ſecabit ergo li-
neam z u e in duobus punctis: [quia punctum o
200[Figure 200]k q t ſ n ſ g b o e u z d h a altius eſt puncto u, ex prima theſi] ſecet ergo in
z, e: & ſit arcus z o e: & continuemus d z, d e: &
extrahamus extra circulum: & à d & in longitu-
dine d q faciamus arcum t q: ſecabit ergo duas
lineas d z, d e in t, k: & continuemus t k: ſecabit
ergo lineam d q in l. Quia ergo h d eſt perpendi-
cularis ſuper ſuperficiem circuli: uterque angu-
lus h d t, h d k erit rectus: [per 3 d 11] & utraque
ſuperficies h d t, h d k faciet in ſuperficie ſpecu-
li circulum [per 1 th. 1 ſphær. ] & arcus, qui eſt in-
ter duas lineas h d, d t erit æqualis arcui, qui eſt
inter duas lineas h d, d q: & ſimiliter arcus, qui
eſt inter duas lineas h d, d k & utraque linea d z,
d e eſt æqualis lineę d o [per 15 d 1. ] Ergo hi duo
arcus ſunt huiuſmodi, quòd ex illis reflectentur
ſecundum angulos æquales duo puncta z, e: [ut
demonſtratum eſt 66 n 5] & duæ lineæ d t, d k
ſunt æquales lineæ d q [per 15 d 1. ] Ergo pun-
ctum t eſt imago z, & k eſt imago e. Et quia li-
neæ d t, d q, d k ſunt æquales: & lineæ d z, d o,
d e ſunt æquales: erit [per 7 p 5] proportio d t ad
d z, ſicut proportio q d ad d o, & ſicut proportio
k d ad d e. Sed proportio q d ad d o, ut in prima
figura [præcedentis numeri] præoſtendimus,
eſt maior proportione n d ad d u. Ergo propor-
tio d t ad d z eſt maior proportione n d ad d u: &
ſimiliter k d ad d e. Et quia duæ lineę z d, d e ſunt
æquales, & duę lineæ d t, d k ſunt æquales: erit li
nea t k æquidiſtans z e [per 2 p 6: eſt enim per 7
p 5 d t ad d z, ſicut d k ad d e: & per 17 p 5, ut t z ad
z d, ſic k e ad e d. ] Ergo [per 2 p 6. 18 p 5] utraq;
proportio d t ad d z, & k d ad d e erit, ſicut pro-
portio l d ad d u. Ergo proportio l d ad d u eſt maior proportione n d ad d u: ergo linea l d eſt maior
linea n d [per 10 p 5. ] Ergo n eſt inter l, u. Sed n eſt imago u: & duo puncta t, k ſunt imagines z, e. Er
go imago lineæ z u e rectæ, eſt linea tranſiens per puncta t n k: & linea, quæ tranſit per hæc puncta,
eſt conuexa. Ex quibus patet, quòd linea in ſpeculis concauis quandoque uidetur conuexa in
quibuſdam ſitibus.
neæ, & dubitentur literæ. Sit ergo circulus in ſecunda figura a b g: & centrum d: & extraha-
mus lineam d q: & ſit d b æqualis d b in prima figura: & d o æqualis d o in prima figura: & d q
ſit compar ſibi in prima figura: & ſimiliter d u: & extrahamus ſuper d q perpendicularem ſuper ſu-
perficiem circuli [per 12 p 11] & ſit d h æqualis ſibi in prima figura. Angulus ergo h d q erit rectus:
[per 3 d 11] & circulus, quem facit h d q in ſpeculo, erit ex circulis, ex quibus forma punctorum o, u
reflectitur: & erit arcus, quem menſurant lineæ h d, d q, æqualis arcui a g in primo circulo: [per 33 p
6: quia uterque ſubtendit angulum rectum] & ex duobus punctis iſtius arcus, comparibus duobus
punctis b, f, reflectentur duo puncta lineæ u p ad duo puncta n, q æqualiter. Erit ergo q imago o, &
n imago u. Et extrahamus ex u perpendicularem lineam in ſuperficie circuli a b g, ſuper lineam d u
[per 11 p 1] & ſit z u e: & ſit d centrum: & in longitudine d o faciamus arcum circuli: ſecabit ergo li-
neam z u e in duobus punctis: [quia punctum o
200[Figure 200]k q t ſ n ſ g b o e u z d h a altius eſt puncto u, ex prima theſi] ſecet ergo in
z, e: & ſit arcus z o e: & continuemus d z, d e: &
extrahamus extra circulum: & à d & in longitu-
dine d q faciamus arcum t q: ſecabit ergo duas
lineas d z, d e in t, k: & continuemus t k: ſecabit
ergo lineam d q in l. Quia ergo h d eſt perpendi-
cularis ſuper ſuperficiem circuli: uterque angu-
lus h d t, h d k erit rectus: [per 3 d 11] & utraque
ſuperficies h d t, h d k faciet in ſuperficie ſpecu-
li circulum [per 1 th. 1 ſphær. ] & arcus, qui eſt in-
ter duas lineas h d, d t erit æqualis arcui, qui eſt
inter duas lineas h d, d q: & ſimiliter arcus, qui
eſt inter duas lineas h d, d k & utraque linea d z,
d e eſt æqualis lineę d o [per 15 d 1. ] Ergo hi duo
arcus ſunt huiuſmodi, quòd ex illis reflectentur
ſecundum angulos æquales duo puncta z, e: [ut
demonſtratum eſt 66 n 5] & duæ lineæ d t, d k
ſunt æquales lineæ d q [per 15 d 1. ] Ergo pun-
ctum t eſt imago z, & k eſt imago e. Et quia li-
neæ d t, d q, d k ſunt æquales: & lineæ d z, d o,
d e ſunt æquales: erit [per 7 p 5] proportio d t ad
d z, ſicut proportio q d ad d o, & ſicut proportio
k d ad d e. Sed proportio q d ad d o, ut in prima
figura [præcedentis numeri] præoſtendimus,
eſt maior proportione n d ad d u. Ergo propor-
tio d t ad d z eſt maior proportione n d ad d u: &
ſimiliter k d ad d e. Et quia duæ lineę z d, d e ſunt
æquales, & duę lineæ d t, d k ſunt æquales: erit li
nea t k æquidiſtans z e [per 2 p 6: eſt enim per 7
p 5 d t ad d z, ſicut d k ad d e: & per 17 p 5, ut t z ad
z d, ſic k e ad e d. ] Ergo [per 2 p 6. 18 p 5] utraq;
proportio d t ad d z, & k d ad d e erit, ſicut pro-
portio l d ad d u. Ergo proportio l d ad d u eſt maior proportione n d ad d u: ergo linea l d eſt maior
linea n d [per 10 p 5. ] Ergo n eſt inter l, u. Sed n eſt imago u: & duo puncta t, k ſunt imagines z, e. Er
go imago lineæ z u e rectæ, eſt linea tranſiens per puncta t n k: & linea, quæ tranſit per hæc puncta,
eſt conuexa. Ex quibus patet, quòd linea in ſpeculis concauis quandoque uidetur conuexa in
quibuſdam ſitibus.
50. In ſpeculo ſphærico cauo imagines linearum: cauæ, conuexæ, aliquando uiden-
tur cauæ. 58 p 8.
tur cauæ. 58 p 8.
ITem:
ponamus in linea z u punctum m, quocun que modo ſit:
& circa centrum m, & in longitu-
dine m u faciamus arcum r u f. Iſte ergo arcus ſecabit arcum u o e in duobus punctis: [per 10 p
3] ſecet in r, f: & continuemus lineas d r, d f: & tranſeant rectè, quouſque concurrant in arcu
t q k, in p, i. Superficies ergo duarum linearum h d, d p faciet in ſpeculo circulum, à cuius circum-
ferentia reflectentur lineę ad r: & ſimiliter ſuperficies duarum linearum h d, d i faciet in ſpeculo cir-
culum, à cuius circumferentia reflectentur lineæ ad f. p ergo eſt imago r, & i eſt imago f: & n eſt ima
go u. Imago ergo arcus r u f, eſt linea tranſiens per i, p, n. Sed hęc linea erit concaua ex parte uiſus,
& arcus r u f eſt concauus ex parte ſuperficiei ſpeculi. Cum ergo uiſus fuerit in h, & unaquęque li-
nearum z u e, z o e, r u f fuerit in aliquo uiſibili: tunc linea z u e recta comprehendetur conuexa: &
dine m u faciamus arcum r u f. Iſte ergo arcus ſecabit arcum u o e in duobus punctis: [per 10 p
3] ſecet in r, f: & continuemus lineas d r, d f: & tranſeant rectè, quouſque concurrant in arcu
t q k, in p, i. Superficies ergo duarum linearum h d, d p faciet in ſpeculo circulum, à cuius circum-
ferentia reflectentur lineę ad r: & ſimiliter ſuperficies duarum linearum h d, d i faciet in ſpeculo cir-
culum, à cuius circumferentia reflectentur lineæ ad f. p ergo eſt imago r, & i eſt imago f: & n eſt ima
go u. Imago ergo arcus r u f, eſt linea tranſiens per i, p, n. Sed hęc linea erit concaua ex parte uiſus,
& arcus r u f eſt concauus ex parte ſuperficiei ſpeculi. Cum ergo uiſus fuerit in h, & unaquęque li-
nearum z u e, z o e, r u f fuerit in aliquo uiſibili: tunc linea z u e recta comprehendetur conuexa: &