230192NOUVEAU COURS
que l’égalité des côtés emporte néceſſairement l’égalité des
angles oppoſés aux côtés égaux. Si l’angle D n’eſt pas égal à
ſon correſpondant A, il ne peut être que plus petit ou plus
grand: or cela ne peut arriver ſans impliquer contradiction.
Que l’angle D, s’il eſt poſſible, ſoit plus petit que ſon correſ-
pondant A; ſoit fait l’angle L A C égal à l’angle D, & ſur le
côté indéfini A L du nouvel angle, ſoit priſe la partie A L = A B
ou D E, il eſt clair que le côté C L du triangle L A C ſera dans
ce cas plus petit que le côté C B: car puiſque l’angle eſt plus
petit, les points C, L, pris à égale diſtance du ſommet A, que
les points C, B, doivent être plus près l’un de l’autre, que dans
une plus grande ouverture d’angle, telle que C A B: donc au
triangle C A L le côté C L ſera plus petit que le côté C B.
On ne peut donc pas ſuppoſer dans le triangle D E F l’an-
gle D plus petit que l’angle en A, ſans ſuppoſer en même-
tems le côté E F plus petit que le côté A B; ce qui eſt contre
l’hypotheſe: de même on ne pourroit pas ſuppoſer l’angle D
plus grand que l’angle A ſans une pareille contradiction. L’an-
gle D eſt donc égal à l’angle A. On fera voir de même que
l’angle F eſt égal à l’angle C, & l’angle E égal à l’angle B:
donc ces triangles ſont parfaitement égaux, puiſqu’ils ont,
outre les côtés égaux, les angles compris entre ces côtés auſſi
égaux chacun à chacun. C. Q. F. D.
angles oppoſés aux côtés égaux. Si l’angle D n’eſt pas égal à
ſon correſpondant A, il ne peut être que plus petit ou plus
grand: or cela ne peut arriver ſans impliquer contradiction.
Que l’angle D, s’il eſt poſſible, ſoit plus petit que ſon correſ-
pondant A; ſoit fait l’angle L A C égal à l’angle D, & ſur le
côté indéfini A L du nouvel angle, ſoit priſe la partie A L = A B
ou D E, il eſt clair que le côté C L du triangle L A C ſera dans
ce cas plus petit que le côté C B: car puiſque l’angle eſt plus
petit, les points C, L, pris à égale diſtance du ſommet A, que
les points C, B, doivent être plus près l’un de l’autre, que dans
une plus grande ouverture d’angle, telle que C A B: donc au
triangle C A L le côté C L ſera plus petit que le côté C B.
On ne peut donc pas ſuppoſer dans le triangle D E F l’an-
gle D plus petit que l’angle en A, ſans ſuppoſer en même-
tems le côté E F plus petit que le côté A B; ce qui eſt contre
l’hypotheſe: de même on ne pourroit pas ſuppoſer l’angle D
plus grand que l’angle A ſans une pareille contradiction. L’an-
gle D eſt donc égal à l’angle A. On fera voir de même que
l’angle F eſt égal à l’angle C, & l’angle E égal à l’angle B:
donc ces triangles ſont parfaitement égaux, puiſqu’ils ont,
outre les côtés égaux, les angles compris entre ces côtés auſſi
égaux chacun à chacun. C. Q. F. D.
380.
On verra par la ſuite que les trois angles d’un triangle
peuvent être égaux chacun à chacun aux trois angles d’un au-
tre triangle, ſans qu’il y ait aucune égalité entre ces deux
triangles: ainſi de ce que l’égalité des côtés emporte avec
elle l’égalité des angles, il ne faut pas conclure que l’égalité
des angles emporte celle des côtés. De plus, il eſt bon d’avertir
que le triangle eſt le ſeul de toutes les figures qui ait cette pro-
priété. Par exemple, deux quadrilateres peuvent avoir les côtés
égaux chacun à chacun, ſans avoir leurs angles égaux ou leurs
ſuperficies; & par conſéquent ſans être parfaitement égaux.
peuvent être égaux chacun à chacun aux trois angles d’un au-
tre triangle, ſans qu’il y ait aucune égalité entre ces deux
triangles: ainſi de ce que l’égalité des côtés emporte avec
elle l’égalité des angles, il ne faut pas conclure que l’égalité
des angles emporte celle des côtés. De plus, il eſt bon d’avertir
que le triangle eſt le ſeul de toutes les figures qui ait cette pro-
priété. Par exemple, deux quadrilateres peuvent avoir les côtés
égaux chacun à chacun, ſans avoir leurs angles égaux ou leurs
ſuperficies; & par conſéquent ſans être parfaitement égaux.
PROPOSITION III,
Theoreme.
381.
Deux triangles G, H ſont égaux en tout, lorſqu’ils ont
11Figure 34. un angle égal B, E compris entre deux côtés égaux chacun à
chacun.
11Figure 34. un angle égal B, E compris entre deux côtés égaux chacun à
chacun.