231225OPTICAE LIBER VI.
linea z o e conuexa, comprehendetur concaua:
& r u f concaua:
conuexa.
Si ergo unaquęque linea
rum z u e, z o e, r u f habuerit unam imaginem:
201[Figure 201]k q p t ſ n g b o r f e u m z d h a tunc forma illarum linearum erit eodem modo,
quo declarauimus: & ſi habuerit alias imagines:
fortè erunt ſimiles alijs imaginibus, & fortè di-
uerſæ. Patet ergo ex iſtis figuris, quòd lineę re-
ctæ in ſpeculis concauis quandoque compre-
henduntur rectæ: quandoque conuexæ: quan-
doque concauæ: & lineæ conuexæ quandoque
comprehenduntur conuexæ: quandoque con-
cauę: & concauę quandoque comprehendun-
tur conuexę: quandoque concauę. Formę ergo
ſuperficierum uiſibilium comprehenduntur a-
liter, quàm ſunt, in huiuſmodi ſpeculis. Nam li-
neę rectę non ſunt, niſi in ſuperficiebus rectis: &
cum linea recta, quę exiſtit in ſuperficie plana,
comprehenditur conuexa aut concaua: tunc ſu-
perficies, in qua ipſa linea eſt, comprehendetur
conuexa aut concaua. Cum ergo uiſus compre-
hendat lineas conuexas & concauas, & rectas
aliter, quàm ſint: comprehendet ſuperficies, in
quibus ſunt, aliter, quàm ſint. Patet ergo ex prę
dictis, quòd in omnibus, quæ in ſpeculis con-
cauis comprehenduntur, accidit fallacia: ſed in
quibuſdam accidit ſemper, & in omni poſitio-
ne, in quibuſdam accidit in aliqua poſitione. Fal
lacię autem compoſitæ accidunt in his ſpeculis
eo modo, quo incompoſitæ. Et hoc uoluimus
declarare.
rum z u e, z o e, r u f habuerit unam imaginem:
201[Figure 201]k q p t ſ n g b o r f e u m z d h a tunc forma illarum linearum erit eodem modo,
quo declarauimus: & ſi habuerit alias imagines:
fortè erunt ſimiles alijs imaginibus, & fortè di-
uerſæ. Patet ergo ex iſtis figuris, quòd lineę re-
ctæ in ſpeculis concauis quandoque compre-
henduntur rectæ: quandoque conuexæ: quan-
doque concauæ: & lineæ conuexæ quandoque
comprehenduntur conuexæ: quandoque con-
cauę: & concauę quandoque comprehendun-
tur conuexę: quandoque concauę. Formę ergo
ſuperficierum uiſibilium comprehenduntur a-
liter, quàm ſunt, in huiuſmodi ſpeculis. Nam li-
neę rectę non ſunt, niſi in ſuperficiebus rectis: &
cum linea recta, quę exiſtit in ſuperficie plana,
comprehenditur conuexa aut concaua: tunc ſu-
perficies, in qua ipſa linea eſt, comprehendetur
conuexa aut concaua. Cum ergo uiſus compre-
hendat lineas conuexas & concauas, & rectas
aliter, quàm ſint: comprehendet ſuperficies, in
quibus ſunt, aliter, quàm ſint. Patet ergo ex prę
dictis, quòd in omnibus, quæ in ſpeculis con-
cauis comprehenduntur, accidit fallacia: ſed in
quibuſdam accidit ſemper, & in omni poſitio-
ne, in quibuſdam accidit in aliqua poſitione. Fal
lacię autem compoſitæ accidunt in his ſpeculis
eo modo, quo incompoſitæ. Et hoc uoluimus
declarare.
IN his autem accidunt ſimiles eis, qui accidũt in ſphęricis concauis.
Accidunt enim fallaciæ, quę
proueniunt ex reflexione, ſcilicet debilitas lucis & coloris: & diuerſitas ſitus, & remotionis, quę
accidunt omnibus ſpeculis. Accidit autem eis ex diuerſitate quantitatis ſimile illi, quod accidit
in ſpeculis ſphęricis concauis. Et uidetur etiam unum uiſibile, unum: & duo: & tria: & quatuor: &
rectum & conuexum ſecundum diuerſos ſitus: & planum uidetur concauum & conuexum. Oſten
demus ergo qualiter in his ſpeculis diuerſatur quantitas & numerus rei uiſæ: & qualiter apparet re
ctum & conuerſum eo modo, quo in ſpeculis ſphęricis concauis declarauimus.
proueniunt ex reflexione, ſcilicet debilitas lucis & coloris: & diuerſitas ſitus, & remotionis, quę
accidunt omnibus ſpeculis. Accidit autem eis ex diuerſitate quantitatis ſimile illi, quod accidit
in ſpeculis ſphęricis concauis. Et uidetur etiam unum uiſibile, unum: & duo: & tria: & quatuor: &
rectum & conuexum ſecundum diuerſos ſitus: & planum uidetur concauum & conuexum. Oſten
demus ergo qualiter in his ſpeculis diuerſatur quantitas & numerus rei uiſæ: & qualiter apparet re
ctum & conuerſum eo modo, quo in ſpeculis ſphęricis concauis declarauimus.
51. Siuiſ{us} ſit extra planũ lineærectæ, parallelæ axi ſpeculi cylindraceicaui: imago aliàs ui-
debitur recta & maior ipſa linea: aliâs caua: aliâs cõuexa: aliâs ſimplex: aliâs multiplex. 25 p 9.
debitur recta & maior ipſa linea: aliâs caua: aliâs cõuexa: aliâs ſimplex: aliâs multiplex. 25 p 9.
ITeremus ergo primam figuram ex duabus figuris pręmiſsis in fallacijs ſpeculorum columnariũ
conuexorum, & ijſdem literis. In illa autem figura [quę eſt 26 n] patuit, quòd lineę e g, g t, e b, q b,
e a, a h reflectuntur ſecundum angulos æquales: & quòd lineę e k, h a, q b, t g coniunguntur in o:
& quòd linea a b g eſt linea recta extenſa in longitudine ſpeculi: & quòd lineę g z, b l, a d ſunt perpẽ-
diculares ſuper ſuperficiẽ, contingentẽ ſuperficiem, quæ trãſit per lineã a b g: & quòd linea a b g eſt
perpẽdicularis ſuք ſuperficiẽ, in qua eſt triãgulũ e b o: & quòd linea t q eſt æqualis q h, & a b ęqualis
b g: & quòd s c, i ſunt imagines h, q, t: & quòd c eſt propinquius puncto e, quàm linea s i: & quòd li-
nea s i eſt in ſuperficie trianguli u h t: & quòd duæ lineæ u h, u t ſunt æquales: & quòd u s & u i ſunt
æquales: & quòd duæ lineæ e s, e i ſunt æquales. Et continuemus c u: & ſecet s i in æ: diuidet ergo i-
pſam in duo æqualia: nam h t eſt diuiſa in duo æqualia in q: [& linea i s parallela eſt ipſi t h: quia cũ
tota t u æqualis concluſa ſit toti h u, & pars i u parti s u: erit reliqua t i æqualis reliquæ h s: eſt igitur
per 7 p 5, ut u i ad i t, ſic u s ad s h: ergo per 2 p 6 h t & s i ſunt parallelæ. Itaque triangula t u q, i u æ: i-
tem q u h, æ u s ſunt æquiãgula per 29 p 1: & per 4 p 6, ut t q ad q u, ſic i æ ad æ u: & ut q u ad q h, ſic ę u
ad ę s: ergo per 22 p 5, ut t q ad q h, ſic i æ ad æ s. Quare cũ 26. 27 n, t q ęquata ſit ipſi q h: ęquabitur i æ
ipſi ę s] & erit c u in ſuperficie trianguli q u e, quæ eſt ſuperficies circuli b f, ęquidiſtantis baſi ſpecu-
li: ergo c erit in ſuperficie trianguli c u e: & eſt in ſuperficie trianguli c e i: ergo c eſt in linea, quæ eſt
differentia cõmunis his duabus ſuperficieb. ſed hęc differẽtia eſt linea e b: [ք 3 p 11] ergo c eſt in recti
tudine e b: & duę lineę h u, t u ſunt ſub duob. pũctis d, z: nã duę lineę h u, t u ſunt perpẽdiculares exe
untes ex h, t ſuper duas lineas, cõtingẽtes duas portiones, in quarũ circuferẽtia ſunt puncta a, g. Su-
perficies ergo triãguli u h t eſt ſub axe d l z. Sed nullũ pũctũ huius axis, quãuis exeat in infinitũ, erit
in ſuperficie trianguli u h t. Nam ſi eſſet: tunc ſi continuaretur cũ aliquo puncto lineæ h t linea re-
conuexorum, & ijſdem literis. In illa autem figura [quę eſt 26 n] patuit, quòd lineę e g, g t, e b, q b,
e a, a h reflectuntur ſecundum angulos æquales: & quòd lineę e k, h a, q b, t g coniunguntur in o:
& quòd linea a b g eſt linea recta extenſa in longitudine ſpeculi: & quòd lineę g z, b l, a d ſunt perpẽ-
diculares ſuper ſuperficiẽ, contingentẽ ſuperficiem, quæ trãſit per lineã a b g: & quòd linea a b g eſt
perpẽdicularis ſuք ſuperficiẽ, in qua eſt triãgulũ e b o: & quòd linea t q eſt æqualis q h, & a b ęqualis
b g: & quòd s c, i ſunt imagines h, q, t: & quòd c eſt propinquius puncto e, quàm linea s i: & quòd li-
nea s i eſt in ſuperficie trianguli u h t: & quòd duæ lineæ u h, u t ſunt æquales: & quòd u s & u i ſunt
æquales: & quòd duæ lineæ e s, e i ſunt æquales. Et continuemus c u: & ſecet s i in æ: diuidet ergo i-
pſam in duo æqualia: nam h t eſt diuiſa in duo æqualia in q: [& linea i s parallela eſt ipſi t h: quia cũ
tota t u æqualis concluſa ſit toti h u, & pars i u parti s u: erit reliqua t i æqualis reliquæ h s: eſt igitur
per 7 p 5, ut u i ad i t, ſic u s ad s h: ergo per 2 p 6 h t & s i ſunt parallelæ. Itaque triangula t u q, i u æ: i-
tem q u h, æ u s ſunt æquiãgula per 29 p 1: & per 4 p 6, ut t q ad q u, ſic i æ ad æ u: & ut q u ad q h, ſic ę u
ad ę s: ergo per 22 p 5, ut t q ad q h, ſic i æ ad æ s. Quare cũ 26. 27 n, t q ęquata ſit ipſi q h: ęquabitur i æ
ipſi ę s] & erit c u in ſuperficie trianguli q u e, quæ eſt ſuperficies circuli b f, ęquidiſtantis baſi ſpecu-
li: ergo c erit in ſuperficie trianguli c u e: & eſt in ſuperficie trianguli c e i: ergo c eſt in linea, quæ eſt
differentia cõmunis his duabus ſuperficieb. ſed hęc differẽtia eſt linea e b: [ք 3 p 11] ergo c eſt in recti
tudine e b: & duę lineę h u, t u ſunt ſub duob. pũctis d, z: nã duę lineę h u, t u ſunt perpẽdiculares exe
untes ex h, t ſuper duas lineas, cõtingẽtes duas portiones, in quarũ circuferẽtia ſunt puncta a, g. Su-
perficies ergo triãguli u h t eſt ſub axe d l z. Sed nullũ pũctũ huius axis, quãuis exeat in infinitũ, erit
in ſuperficie trianguli u h t. Nam ſi eſſet: tunc ſi continuaretur cũ aliquo puncto lineæ h t linea re-