232226ALHAZENcta:
tuncilla ſuperficies, in qua eſſet illa linea recta & linea h t eſſet ſuperficies trianguli u h t:
& illa ſuperficies eſſet illa, in qua ſunt duæ lineæ æquidiſtantes h t, d z: & ſic ſuperficies, in qua ſunt
duę lineæ h t, d z, eſſet ſuperficies trianguli h u t: & ſic axis eſſet in ſuperficie trianguli h u t: ſed axis
eſt æquidiſtans lineæ h t poſitione. Et axis ſecat duas lineas h u, t u: & linea t h eſt in ſuperficie trian
guli u e h, quæ eſt ſuperficies reflexionis: & linea communis huic ſuperficiei & ſuperficiei columnę,
eſt aliqua ſectio columnaris. Superficies ergo e u h ſecat axem columnæ in uno puncto, ſcilicet in d,
ut præoſten-
202[Figure 202]t i n g y z x q m b c œ f h z r a d p e K o dimus [27 n. ]
Et ſi axis ſe-
cet lineá h u:
punctum ſe-
ctionis cum
linea h u erit
in ſuperficie
trianguli u e
h: ſed in hac
ſuperficie nõ
eſt punctum,
per quod a-
xis tranſeat,
præter d: er-
go linea h u
iecat axem in d: & iam oſtendimus [24 n] quòd h u ſecat eum in puncto ſub d: quod eſt impoſsibile.
Ergo axis d z eſt extra ſuperficiem u h t, & propinquior puncto e, quàm ſuperficies h u t. Superfi-
cies ergo, in qua ſunt lineæ h t, d z, eſt propinquior puncto e, quàm ſuperficies u h t: & c eſt in ſuper-
ficie, in qua ſunt h t, d z: quia eſt in linea q l: & q l eſt in ſuperficie, in qua ſunt h t, d z: [per 7 p 11] er-
go c eſt propinquius e, quàm s i: ſed c eſt in rectitudine e b [ut patuit. ] Si ergo e b exiue-
rit in parte b: perueniet ad c: perueniet ergo ad c. His præoſtenſis, dico quòd linea s i, quæ eſt æ-
quidiſtans axi ſpeculi, cum fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in o ex parte concauitatis co-
lumnæ, & ſuperficies ſpeculata fuerit ſuperficies concaua: tunc s i comprehendetur ex o m ſpeculo
concauo a b g à linea a b g: & diuerſabuntur imagines eius ſecundum diuerſitatem diſtãtiæ ab axe,
cuius demonſtratio eſt. Quia angulus e b m eſt acutus [quia m b a eſt rectus ex theſi 26 n] ergo [per
15 p 1] l b c eſt acutus: & linea e b c eſt in ſuperficie circuli b f: & l b eſt diameter huius circuli [per 34
n 4. ] Ergo e b c ſecat circulum: ergo c b eſtintra concauitatem ſpeculi: & ſimiliter o b erit intra cõ-
cauitatem ſpeculi: quia angulus o b l eſt acutus, & duo anguli o b l, c b l ſunt æquales duobus angu
lis e b m, q b m: [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b m, q b m, ęqualibus concluſis 27 n] & l b eſt
perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem columnam, quæ tranſit per b. Forma ergo c
extenditur per c b, & peruenit ad b, & reflectitur per b o, & comprehenditur à uiſu in o [per 7 n
5. ] Item in quinto capitulo [27 n] cum fuimus locuti de ſpeculis columnaribus conuexis, decla-
rauimus, quod ſuperficies contingens columnam m g, erit ſub e: ergo e g ſecat ſuperficiem contin-
gentem: ſecat ergo lineam contingentem circum ferentiam ſectionis in g: ſecat ergo ſectionem, &
cadit intra ipſam: cadet ergo intra concauitatẽ ſpeculi: ergo duæ lineæ o g, g i ſunt intra concauita-
tem ſpeculi: & z g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentcm columnam in g [quia ex
theſi perpendicularis eſt a g lateri cylindraceo: & duo anguli o g z, i g z ſunt æquales: quia per 15 p 1
æquantur angulis e g n, t g n, æqualibus per 4 p 1. ] Ergo forma i extenditur per i g, & peruenit ad
g, & reflectitur per g o, & comprehenditur in o per lineam g o. Et ſimiliter s extenditur per s a, &
peruenit ad a, & reflectitur per a o, & comprehenditur in o. Et iam declarauimus, cum tractaui-
mus de fallacijs ſpeculorum columnarium conuexorum [27 n] quòd duæ lineæ h u, t u ſunt per-
pendiculares ſuper ſuperficies, contingentes ſectiones, tranſeuntes per duo puncta a, g. Imago er-
go s eſt in linea h u, & a o linea radialis, quæ extenditur ex uiſu ad punctum reflexionis: ergo ima-
go s eſt in a o: h ergo eſt imago s: [per 7 n 5] & ſic patet, quòd t eſt imago i. Et continuemus c l.
Quiaergo c reflectitur ad o ex circumferentiæ puncto b: erit imago c in line a cl: & o b eſt linea ra-
dialis, quæ extenditur inter uiſum & punctum reflexionis. Ergo imago c eſt in puncto communi
c l & o b [per 7 n 5] nempe in puncto q. Sed in capitulo de imagine, cum tractauimus de imagini-
bus ſpeculorum ſphæricorum concauorum [60 n 5] patuit, quòd imago puncti, cuius forma refle-
ctitur à concauitate circuli, fortè concurret cum radiali linea, quæ eſt inter uiſum & punctum refle-
xionis, ultra ſpeculum: & fortè inter uiſum & ſpeculum: & fortè in centro uiſus: & fortè ultra cen-
trum uiſus: & fortè c l æquidiſtans erit o b. Et in illo capitulo [86 n 5] patuit, quòd fortè imago
erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Imago ergo fortè erit in b q: fortè ultra o q: &
fortè in b o: & fortè in o: & fortè ultra: & fortè imago t q erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut
quatuor. Si ergo imago c fuerit q: tũc h q t erit diameter imaginis s i. Si ergo omnes imagines s i fue
rint in linea h q t: tunc forma eius erit linea recta: nã mediũ eius eſt in rectitudine duarũ extremita-
tũ h t. Si aũt imago c fueritultra q: tunc imago s i erit ferè cõcaua ex parte uiſus. Et ſi imago c fuerint
plura puncta: tunc imago cerunt plures lineæ, quarum omnium extremitates cõiungentur in duo-
& illa ſuperficies eſſet illa, in qua ſunt duæ lineæ æquidiſtantes h t, d z: & ſic ſuperficies, in qua ſunt
duę lineæ h t, d z, eſſet ſuperficies trianguli h u t: & ſic axis eſſet in ſuperficie trianguli h u t: ſed axis
eſt æquidiſtans lineæ h t poſitione. Et axis ſecat duas lineas h u, t u: & linea t h eſt in ſuperficie trian
guli u e h, quæ eſt ſuperficies reflexionis: & linea communis huic ſuperficiei & ſuperficiei columnę,
eſt aliqua ſectio columnaris. Superficies ergo e u h ſecat axem columnæ in uno puncto, ſcilicet in d,
ut præoſten-
202[Figure 202]t i n g y z x q m b c œ f h z r a d p e K o dimus [27 n. ]
Et ſi axis ſe-
cet lineá h u:
punctum ſe-
ctionis cum
linea h u erit
in ſuperficie
trianguli u e
h: ſed in hac
ſuperficie nõ
eſt punctum,
per quod a-
xis tranſeat,
præter d: er-
go linea h u
iecat axem in d: & iam oſtendimus [24 n] quòd h u ſecat eum in puncto ſub d: quod eſt impoſsibile.
Ergo axis d z eſt extra ſuperficiem u h t, & propinquior puncto e, quàm ſuperficies h u t. Superfi-
cies ergo, in qua ſunt lineæ h t, d z, eſt propinquior puncto e, quàm ſuperficies u h t: & c eſt in ſuper-
ficie, in qua ſunt h t, d z: quia eſt in linea q l: & q l eſt in ſuperficie, in qua ſunt h t, d z: [per 7 p 11] er-
go c eſt propinquius e, quàm s i: ſed c eſt in rectitudine e b [ut patuit. ] Si ergo e b exiue-
rit in parte b: perueniet ad c: perueniet ergo ad c. His præoſtenſis, dico quòd linea s i, quæ eſt æ-
quidiſtans axi ſpeculi, cum fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in o ex parte concauitatis co-
lumnæ, & ſuperficies ſpeculata fuerit ſuperficies concaua: tunc s i comprehendetur ex o m ſpeculo
concauo a b g à linea a b g: & diuerſabuntur imagines eius ſecundum diuerſitatem diſtãtiæ ab axe,
cuius demonſtratio eſt. Quia angulus e b m eſt acutus [quia m b a eſt rectus ex theſi 26 n] ergo [per
15 p 1] l b c eſt acutus: & linea e b c eſt in ſuperficie circuli b f: & l b eſt diameter huius circuli [per 34
n 4. ] Ergo e b c ſecat circulum: ergo c b eſtintra concauitatem ſpeculi: & ſimiliter o b erit intra cõ-
cauitatem ſpeculi: quia angulus o b l eſt acutus, & duo anguli o b l, c b l ſunt æquales duobus angu
lis e b m, q b m: [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b m, q b m, ęqualibus concluſis 27 n] & l b eſt
perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem columnam, quæ tranſit per b. Forma ergo c
extenditur per c b, & peruenit ad b, & reflectitur per b o, & comprehenditur à uiſu in o [per 7 n
5. ] Item in quinto capitulo [27 n] cum fuimus locuti de ſpeculis columnaribus conuexis, decla-
rauimus, quod ſuperficies contingens columnam m g, erit ſub e: ergo e g ſecat ſuperficiem contin-
gentem: ſecat ergo lineam contingentem circum ferentiam ſectionis in g: ſecat ergo ſectionem, &
cadit intra ipſam: cadet ergo intra concauitatẽ ſpeculi: ergo duæ lineæ o g, g i ſunt intra concauita-
tem ſpeculi: & z g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentcm columnam in g [quia ex
theſi perpendicularis eſt a g lateri cylindraceo: & duo anguli o g z, i g z ſunt æquales: quia per 15 p 1
æquantur angulis e g n, t g n, æqualibus per 4 p 1. ] Ergo forma i extenditur per i g, & peruenit ad
g, & reflectitur per g o, & comprehenditur in o per lineam g o. Et ſimiliter s extenditur per s a, &
peruenit ad a, & reflectitur per a o, & comprehenditur in o. Et iam declarauimus, cum tractaui-
mus de fallacijs ſpeculorum columnarium conuexorum [27 n] quòd duæ lineæ h u, t u ſunt per-
pendiculares ſuper ſuperficies, contingentes ſectiones, tranſeuntes per duo puncta a, g. Imago er-
go s eſt in linea h u, & a o linea radialis, quæ extenditur ex uiſu ad punctum reflexionis: ergo ima-
go s eſt in a o: h ergo eſt imago s: [per 7 n 5] & ſic patet, quòd t eſt imago i. Et continuemus c l.
Quiaergo c reflectitur ad o ex circumferentiæ puncto b: erit imago c in line a cl: & o b eſt linea ra-
dialis, quæ extenditur inter uiſum & punctum reflexionis. Ergo imago c eſt in puncto communi
c l & o b [per 7 n 5] nempe in puncto q. Sed in capitulo de imagine, cum tractauimus de imagini-
bus ſpeculorum ſphæricorum concauorum [60 n 5] patuit, quòd imago puncti, cuius forma refle-
ctitur à concauitate circuli, fortè concurret cum radiali linea, quæ eſt inter uiſum & punctum refle-
xionis, ultra ſpeculum: & fortè inter uiſum & ſpeculum: & fortè in centro uiſus: & fortè ultra cen-
trum uiſus: & fortè c l æquidiſtans erit o b. Et in illo capitulo [86 n 5] patuit, quòd fortè imago
erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Imago ergo fortè erit in b q: fortè ultra o q: &
fortè in b o: & fortè in o: & fortè ultra: & fortè imago t q erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut
quatuor. Si ergo imago c fuerit q: tũc h q t erit diameter imaginis s i. Si ergo omnes imagines s i fue
rint in linea h q t: tunc forma eius erit linea recta: nã mediũ eius eſt in rectitudine duarũ extremita-
tũ h t. Si aũt imago c fueritultra q: tunc imago s i erit ferè cõcaua ex parte uiſus. Et ſi imago c fuerint
plura puncta: tunc imago cerunt plures lineæ, quarum omnium extremitates cõiungentur in duo-