234228ALHAZEN
neis h t, r y, erunt æquidiſtantes & perpendiculares [per 18 p 11.
] Et quia r y eſt perpendicularis ſu-
per ſuperficiem tranſeuntem per axem & per l: ideo [per 18 p 11] ſuperficies duarum linearum rm,
m s erit perpendicularis ſuper ſuperficiem, tranſeuntem per axem & per l: & erit m s differentia cõ-
munis his duabus ſuperficiebus. Et quia a k eſt in ſuperficie tranſeunte per axem: [per 21 d 11: quia
pars eſt lateris cylindracei] & eſt perpendicularis ſuper m s [per fabricationem] quę eſt differentia
communis inter ſuperficiem, trãſeuntem per axem, & inter ſuperficiem duarum linearum r m, m s:
erit a k n perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum r m, m s: & linea a n eſt æquidiſtans
axi columnæ [per 21 d 11: ] ergo [per 8 p 11] axis columnæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in
qua ſunt r m, m s. Superficies ergo iſta eſt perpendicularis ſuper axem columnæ: s ergo eſt in ſuper-
ficie exeunte ex linea r y, perpendiculari ſuper axem columnæ: ſed linea h t eſt in ſuperficie perpen-
diculari ſuper axem, æquidiſtante ſuperficiei ex linea r y: s ergo eſt extra h t, & propinquius l, quàm
ſint h & t: & duo puncta h, t ſunt imagines r, y: & punctum s eſt imago m: imago ergo lineæ r m y eſt
linea tranſiens per h, s, t: ſed talis eſt linea arcualis: quia s eſt extra h t. Et tranſeat per puncta h, s, t li-
nea h s t arcualis. Et quia h t ſecundum poſitionem [29 n] fuit elongata à conuexo columnæ: erit
h t ultra ſuperficiem ſpeculi, reſpectu l: & iam declarauimus, quòd s eſt ultra concauitatem ſpeculi,
reſpectul. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem ſuperficiei ſpeculi: & e l eſt ſub concauitate
ſpeculi: ergo l eſt extra ſuperficiẽ, in qua eſt linea h s t: arcualitas igitur lineæ h s t apparebit uiſuil
manifeſtè. Et quia f eſt in ſuperficie columnæ, & t h ultra columnam, eſt in ſuperficie trianguli l h t:
erit linea l f s altior quàm ſuperficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, re-
ſpectu uiſus. Ergo s eſt altius, quàm duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit uiſuil concaua.
per ſuperficiem tranſeuntem per axem & per l: ideo [per 18 p 11] ſuperficies duarum linearum rm,
m s erit perpendicularis ſuper ſuperficiem, tranſeuntem per axem & per l: & erit m s differentia cõ-
munis his duabus ſuperficiebus. Et quia a k eſt in ſuperficie tranſeunte per axem: [per 21 d 11: quia
pars eſt lateris cylindracei] & eſt perpendicularis ſuper m s [per fabricationem] quę eſt differentia
communis inter ſuperficiem, trãſeuntem per axem, & inter ſuperficiem duarum linearum r m, m s:
erit a k n perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum r m, m s: & linea a n eſt æquidiſtans
axi columnæ [per 21 d 11: ] ergo [per 8 p 11] axis columnæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in
qua ſunt r m, m s. Superficies ergo iſta eſt perpendicularis ſuper axem columnæ: s ergo eſt in ſuper-
ficie exeunte ex linea r y, perpendiculari ſuper axem columnæ: ſed linea h t eſt in ſuperficie perpen-
diculari ſuper axem, æquidiſtante ſuperficiei ex linea r y: s ergo eſt extra h t, & propinquius l, quàm
ſint h & t: & duo puncta h, t ſunt imagines r, y: & punctum s eſt imago m: imago ergo lineæ r m y eſt
linea tranſiens per h, s, t: ſed talis eſt linea arcualis: quia s eſt extra h t. Et tranſeat per puncta h, s, t li-
nea h s t arcualis. Et quia h t ſecundum poſitionem [29 n] fuit elongata à conuexo columnæ: erit
h t ultra ſuperficiem ſpeculi, reſpectu l: & iam declarauimus, quòd s eſt ultra concauitatem ſpeculi,
reſpectul. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem ſuperficiei ſpeculi: & e l eſt ſub concauitate
ſpeculi: ergo l eſt extra ſuperficiẽ, in qua eſt linea h s t: arcualitas igitur lineæ h s t apparebit uiſuil
manifeſtè. Et quia f eſt in ſuperficie columnæ, & t h ultra columnam, eſt in ſuperficie trianguli l h t:
erit linea l f s altior quàm ſuperficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, re-
ſpectu uiſus. Ergo s eſt altius, quàm duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit uiſuil concaua.
53. Si uiſ{us} ſit in plano lineæ rectæ, obliquo adplanum axis ſpeculi cylindracei caui: imago
uidebitur caua & euerſa. 28 p 9.
uidebitur caua & euerſa. 28 p 9.
ITem:
ſecemus columnam per ſuperficiem decliuem ſuper axem eius:
faciet ergo ſectionem co-
lumnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni. ] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con
cauis [91 n 5] declaratum eſt, quòd in ſuperficie cuiuslibet ſectionis columnæ exit à puncto re-
flexionis perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur
formæ. Sit ergo perpendicularis g a: & ſit b e k perpendicularis ſuper lineam, contingentem circũ-
ferentiam ſectionis in b: & ſit b prope g. b k ergo ſecabit perpendicularem g a ſub axe, & continebit
cum ipſa angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propin quum ipſi g ſumitur, ut recta à
puncto b, & perpendicularis à reflexionis puncto in axe angulum acutum cõprehendant. ] Secet
ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p 1. ] Et extrahamus ex g lineam ad æquidiſtan-
tiam lineæ b k: & ſit g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia
204[Figure 204]p b o n m d r h c t a K per proximam fabricationem & 29 p 1 æquatur angulo b e g
acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnæ. Et pona
mus angulum e g l æqualem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo
concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g & e acuti,
minores ſunt duobus rectis] & ſignemus punctum m in li-
nea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p 1 minor eſt an-
gulo g e m acuto] ergo a m eſt intra ſectionem. Et ponamus
angulum g a d æqualem angulo g a m: ergo a d concurret cũ
g d: [per 11 ax. ] nam duo anguli, qui ſunt apud a, g, ſunt acuti,
Concurrant ergo in d. a d igitur ſecabit b k [per lemma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui
ſibili, & uiſus fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut oſtẽ
ſum eſt 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, & quia d g
eſt æquidiſtans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: &
t imago eſt m. Et tranſeat per d ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſeca
bit ergo ſectionem a b g, & faciet in ſuperficie columnæ circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum
Sereni. ] Superficies ergo huius circuli ſecabit b k: ſecat enim g d, quæ eſt ei æquidiſtans. Ergo ſe-
cet b k in k: & ſit centrum circuli p o r, punctũ h: & continuemus d h, & tranſeat ad r: & cõtinuemus
k h, & tranſeat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imagini-
bus ſpeculorum [73 n 5. ] Reflectatur ergo ex o: & cõtinuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui ſunt a-
pud o, ſunt æquales: [per 12 n 4] & d o ſecabit h p in n. n ergo eſt imago k. Et cõtinuemus k d: k d er
go erit differentia communis inter circulum r p & ſectionem a b g. Nam duo puncta k, d ſunt in u-
traque ſuperficie, & nihil de ſuperficie ſectionis a b g eſt in ſuperficie circuli r p, niſi linea k d: g ergo
eſt extra circulum: & ſimiliter b: & ſunt in ſuperficie ſectionis: & n eſt in ſuperficie circuli r p: & for-
ma l m k tranſit per puncta g, t, n: & linea, quæ tranſit per hæc puncta, eſt arcualis: ſed ſuperficies
ſectionis eſt decliuis ſuper ſuperficiem columnæ: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo ſectio
nis non tranſit per totum axem columnæ, neque eſt æquidiſtans baſi columnæ. Patet ergo ex hac
figura & duabus præmiſsis, quòd lineæ rectæ æquidiſtantes axi columnæ, & æquidiſtantes baſi e-
ius: & etiam illæ lineæ, quæ obliquantur ſuper ſuperficiem eius: fortè uidebuntur arcuales, fortè re
ctæ, fortè conuerſæ. Et quia t eſt imago m, & n imago k: erit forma m k conuerſa. Et ſi linea etiam
fuerit in ſuperficie circuli, æquidiſtante baſibus columnæ, cuius ſuperficies tranſit per centrũ uiſus,
lumnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni. ] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con
cauis [91 n 5] declaratum eſt, quòd in ſuperficie cuiuslibet ſectionis columnæ exit à puncto re-
flexionis perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur
formæ. Sit ergo perpendicularis g a: & ſit b e k perpendicularis ſuper lineam, contingentem circũ-
ferentiam ſectionis in b: & ſit b prope g. b k ergo ſecabit perpendicularem g a ſub axe, & continebit
cum ipſa angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propin quum ipſi g ſumitur, ut recta à
puncto b, & perpendicularis à reflexionis puncto in axe angulum acutum cõprehendant. ] Secet
ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p 1. ] Et extrahamus ex g lineam ad æquidiſtan-
tiam lineæ b k: & ſit g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia
204[Figure 204]p b o n m d r h c t a K per proximam fabricationem & 29 p 1 æquatur angulo b e g
acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnæ. Et pona
mus angulum e g l æqualem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo
concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g & e acuti,
minores ſunt duobus rectis] & ſignemus punctum m in li-
nea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p 1 minor eſt an-
gulo g e m acuto] ergo a m eſt intra ſectionem. Et ponamus
angulum g a d æqualem angulo g a m: ergo a d concurret cũ
g d: [per 11 ax. ] nam duo anguli, qui ſunt apud a, g, ſunt acuti,
Concurrant ergo in d. a d igitur ſecabit b k [per lemma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui
ſibili, & uiſus fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut oſtẽ
ſum eſt 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, & quia d g
eſt æquidiſtans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: &
t imago eſt m. Et tranſeat per d ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſeca
bit ergo ſectionem a b g, & faciet in ſuperficie columnæ circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum
Sereni. ] Superficies ergo huius circuli ſecabit b k: ſecat enim g d, quæ eſt ei æquidiſtans. Ergo ſe-
cet b k in k: & ſit centrum circuli p o r, punctũ h: & continuemus d h, & tranſeat ad r: & cõtinuemus
k h, & tranſeat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imagini-
bus ſpeculorum [73 n 5. ] Reflectatur ergo ex o: & cõtinuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui ſunt a-
pud o, ſunt æquales: [per 12 n 4] & d o ſecabit h p in n. n ergo eſt imago k. Et cõtinuemus k d: k d er
go erit differentia communis inter circulum r p & ſectionem a b g. Nam duo puncta k, d ſunt in u-
traque ſuperficie, & nihil de ſuperficie ſectionis a b g eſt in ſuperficie circuli r p, niſi linea k d: g ergo
eſt extra circulum: & ſimiliter b: & ſunt in ſuperficie ſectionis: & n eſt in ſuperficie circuli r p: & for-
ma l m k tranſit per puncta g, t, n: & linea, quæ tranſit per hæc puncta, eſt arcualis: ſed ſuperficies
ſectionis eſt decliuis ſuper ſuperficiem columnæ: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo ſectio
nis non tranſit per totum axem columnæ, neque eſt æquidiſtans baſi columnæ. Patet ergo ex hac
figura & duabus præmiſsis, quòd lineæ rectæ æquidiſtantes axi columnæ, & æquidiſtantes baſi e-
ius: & etiam illæ lineæ, quæ obliquantur ſuper ſuperficiem eius: fortè uidebuntur arcuales, fortè re
ctæ, fortè conuerſæ. Et quia t eſt imago m, & n imago k: erit forma m k conuerſa. Et ſi linea etiam
fuerit in ſuperficie circuli, æquidiſtante baſibus columnæ, cuius ſuperficies tranſit per centrũ uiſus,