235197DE MATHÉMATIQUE. Liv. IV.
prouver, ſoit a la baſe du premier, b celle du ſecond, &
c la
hauteur commune, la ſurface du premier ſera repréſentée par
a c, & celle du ſecond par b c: or il eſt évident que l’on a a c:
b c : : a : b, puiſque a b c = a b c. C. Q. F. D.
hauteur commune, la ſurface du premier ſera repréſentée par
a c, & celle du ſecond par b c: or il eſt évident que l’on a a c:
b c : : a : b, puiſque a b c = a b c. C. Q. F. D.
Corollaire.
392.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi deux triangles A B C,
11Figure 42. C D B, ont même hauteur, ou bien leur ſommet au même
point, ils ſeront entr’eux dans la raiſon de leurs baſes A C
C D: car ces triangles étant moitié des parallelogrammes cor-
reſpondans de même baſe & de même hauteur, il en ſera des
moitiés comme des tous.
11Figure 42. C D B, ont même hauteur, ou bien leur ſommet au même
point, ils ſeront entr’eux dans la raiſon de leurs baſes A C
C D: car ces triangles étant moitié des parallelogrammes cor-
reſpondans de même baſe & de même hauteur, il en ſera des
moitiés comme des tous.
PROPOSITION IX.
Théoreme.
Théoreme.
393.
Si l’on coupe les deux côtés A B, A C d’un triangle B A C
22Figure 43. par une ligne D E, parallele à la baſe B C de ce triangle, je dis
que les côtés A B, A C ſeront coupés proportionnellement, ou, ce
ce qui eſt la même choſe, que l’on aura cette proportion A D : D B : :
A E : E C.
22Figure 43. par une ligne D E, parallele à la baſe B C de ce triangle, je dis
que les côtés A B, A C ſeront coupés proportionnellement, ou, ce
ce qui eſt la même choſe, que l’on aura cette proportion A D : D B : :
A E : E C.
Demonstration.
Pour démontrer cette propoſition, ſoient tirées les lignes
B E, D C. Cela poſé, il eſt évident que les triangles D B E,
D C E ſont égaux, puiſqu’ils ont même baſe D E, & qu’ils
ſont compris entre paralleles. Mais les triangles A D E & D E B
ayant même ſommet, ſont entr’eux comme leurs baſes (art. 392);
ainſi que le même triangle A D E, & le triangle C D E qui ont
auſſi même ſommet en D.
B E, D C. Cela poſé, il eſt évident que les triangles D B E,
D C E ſont égaux, puiſqu’ils ont même baſe D E, & qu’ils
ſont compris entre paralleles. Mais les triangles A D E & D E B
ayant même ſommet, ſont entr’eux comme leurs baſes (art. 392);
ainſi que le même triangle A D E, & le triangle C D E qui ont
auſſi même ſommet en D.
On aura donc A D :
D B :
: A D E :
D E B;
&
parce que
D E B = D C E . . . A D E : D E B : : A D E : D C E : : A E : E C;
& comme la ſuite des rapports égaux n’eſt pas interrompue, on
en concluera que A D : D B : : A E : E C, c’eſt-à-dire que les côtés
A B, A C ſont coupés proportionnellement. C. Q. F. D.
D E B = D C E . . . A D E : D E B : : A D E : D C E : : A E : E C;
& comme la ſuite des rapports égaux n’eſt pas interrompue, on
en concluera que A D : D B : : A E : E C, c’eſt-à-dire que les côtés
A B, A C ſont coupés proportionnellement. C. Q. F. D.
Corollaire I.
394.
Puiſque A D :
D B :
: A E :
E C, on aura componendo
A D : A D + D B : : A E : A E + E C, ou en réduiſant A D:
A B : : A E : A C, c’eſt-à-dire que les côtés A B, A C ſont pro-
portionnels à leurs parties A D, A E.
A D : A D + D B : : A E : A E + E C, ou en réduiſant A D:
A B : : A E : A C, c’eſt-à-dire que les côtés A B, A C ſont pro-
portionnels à leurs parties A D, A E.